Cosinusfunktion

Cosinusfunktionen är en periodisk funktion inom trigonometrin.

Cosinusfunktionen eller cos-funktionen kan definieras som förhållandet mellan längden på basen och längden på hypotenusan i en rätvinklig triangel.

Låtsas att vi försöker förstå begreppet cosinusfunktion genom att analysera de fyra kvadranterna i koordinataxelsystemet.

Nu betraktar vi en enhetscirkel centrerad vid koordinatplanets origo.

En variabel punkt \(P\) tas på cirkelns omkrets och den fortsätter att förflytta sig på denna cirkels omkrets.

Från figuren ser vi att \(P\) ligger i den första kvadranten, och \(OP\) bildar en spetsig vinkel på \(x\) radianer med den positiva \(x\)-axeln.

\(PQ\) är den vinkelrätt som faller från \(P\)(en punkt på omkretsen) på x-axeln.

Triangeln bildas alltså genom att sammanfoga punkterna O, P och Q enligt figuren, där OQ är basen och PQ är triangelns höjd.

Följaktligen kan cosinusfunktionen eller cos-funktionen för ovanstående fall skrivas matematiskt som:

\( \cos x = \frac{{{{OQ}}}{{OP}}} \)

Här är x den spetsiga vinkeln som bildas mellan hypotenusan och basen i en rätvinklig triangel.

Kosinkurva

Den följande figuren visar en enhetscirkel med centrum \(O\) vid origo, och en punkt \(P\) som rör sig längs cirkelns omkrets.

Vinkeln som \(OP\) bildar med \(x\)-axelns positiva riktning är \(x\) (radianer).

\(PQ\) är basen som fallit från \(P\) till den horisontella axeln.

Vi noterar att: \

Vidare \(x\) varierar, studerar vi att:

Värdet av \(\cos x\) varierar med variationen av längden på \(OQ\).

Fall 1: Variation av OQ i den första kvadranten.

Anta att \(P\) till en början ligger på den horisontella axeln. Låt oss betrakta en rörelse av \(P\) genom \(90^\circ \) eller \(\frac{\pi }{2}\) rad.

Följande figur visar olika positioner för \(P\) för denna rörelse:

Det är tydligt att \(OQ\) har minskat i längd, från ett startvärde på 1 (när \(x\) är 0 radianer) till ett slutvärde på 0 (när \(x\) är \(\frac{\pi }{2}\) radianer).

Vi kan nu plotta denna variation.

Den horisontella axeln representerar ingångsvariabeln \(x\) är vinkeln i radianer, och den vertikala axeln representerar värdet av cosinusfunktionen för \(x\).

Den plotta som på så sätt erhålls visas nedan:

Fall 2: Variation av OQ i den andra kvadranten.

Nu ska vi se vad som händer när \(P\) rör sig vidare.

Följande figur visar olika positioner för \(P\) när den senare rör sig från en position \(90^\circ \) till \(180^\circ \):

I denna fas av rörelsen ökar längden \(OQ\), från ett minimum på 0 vid \(90^\circ \) till ett maximum på 1 vid \(180^\circ \).

Tyvärr ökar längden eller storleken på \(OQ\) men det algebraiska värdet av \(OQ\)kommer att öka på grund av dess riktning som är längs den negativa y-axeln.

Därmed minskar värdet av cosinusfunktionen för vinkeln x.

Vi fortsätter att plotta denna variation på samma graf som vi plottade tidigare:

Fall 3: Variation av OQ i den tredje kvadranten.

När \(P\) rör sig från en position \(180^\circ \) till en position \(270^\circ \), minskar visserligen längden eller storleken på \(OQ\), men eftersom riktningen är längs den negativa y-axeln ökar det faktiska värdet OQ från -1 till 0.

Därmed ökar värdet av cosinusfunktionen för vinkel x.

Vi lägger till den här variationen till vår graf:

Fall 4: Variation av OQ i den fjärde kvadranten.

Slutligt, när \(P\) rör sig från en position av \(180^\circ \) till en position av \(360^\circ \), ökar \(OQ\) från \( 0\) till 1.

Den plott som erhålls på detta sätt visas nedan:

Genom att slå samman variationssvaret i värdet av \(OQ\) för alla fyra kvadranter har vi erhållit den kompletta plotten av OQ vs x eller cos x vs x, för en komplett cykel från \(0\) radianer till \(2 \pi \pi) radianer\((0^\cirkel till 360^\cirkel)\).

Vad händer när \(P\) rör sig längre nu? Samma variationscykel börjar om igen.

Om vi utvidgar cosinusfunktionen till att omfatta alla reella indata får vi följande graf för cosinusfunktionen: