Funkcja cosinus

Funkcja cosinus jest funkcją okresową w trygonometrii.

Funkcję cosinus lub funkcję cos można zdefiniować jako stosunek długości podstawy do długości przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym.

Postarajmy się zrozumieć pojęcie funkcji cosinus analizując cztery kwadranty układu osi współrzędnych.

Rozważmy teraz okrąg jednostkowy o środku w początku płaszczyzny współrzędnych.

Przyjmujemy na obwodzie okręgu punkt zmienny ∗, który w dalszym ciągu porusza się po obwodzie tego okręgu.

Z rysunku wynika, że punkt P leży w pierwszym czworokącie, a z osią dodatnią tworzy kąt ostry o mierze ∗ radianów.

(PQ) jest prostopadłą poprowadzoną z punktu na obwodzie na oś x.

Trójkąt powstaje więc przez połączenie punktów O, P i Q, jak pokazano na rysunku, gdzie OQ jest podstawą, a PQ wysokością trójkąta.

Więc funkcję cosinusa lub funkcję cos dla powyższego przypadku można zapisać matematycznie jako:

( cos x = \frac{{OQ}}{{OP}} \)

Tutaj x jest kątem ostrym utworzonym między przeciwprostokątną i podstawą trójkąta prostokątnego.

Wykres cosinusów

Następujący rysunek przedstawia okrąg jednostkowy o środku w punkcie początkowym oraz punkt poruszający się po obwodzie tego okręgu.

Kąt, jaki \(OP\) tworzy z dodatnim kierunkiem osi \(x\), wynosi \(x\) (radianów).

Podstawa opuszczona z punktu \(P\) na oś poziomą.

Zauważamy, że:

Wraz ze zmianą długości OQ badamy, że:

Wartość funkcji sinus zmienia się wraz ze zmianą długości OQ.

Przypadek 1: Zmienność OQ w pierwszym czworokącie.

Załóżmy, że początkowo Q(P) znajduje się na osi poziomej. Rozważmy przesunięcie ∗(P) o ∗(90^crc ∗) lub ∗(∗frac{pi }{2}}) rad.

Następujący rysunek przedstawia różne położenia \(P) dla tego ruchu:

Wyraźnie widać, że \(OQ\) zmniejszyła swoją długość, od wartości początkowej 1 (gdy \(x\) wynosi 0 radianów) do wartości końcowej 0 (gdy \(x\) wynosi \(\frac{pi }{2}radianów).

Możemy teraz wykreślić tę zmienność.

Oś pozioma reprezentuje zmienną wejściową \(x) jest kątem w radianach, a oś pionowa reprezentuje wartość funkcji cosinus dla \(x).

Wynik uzyskany w ten sposób jest przedstawiony poniżej:

Przypadek 2: Zmienność OQ w drugim kwadrancie.

Teraz zobaczmy, co się dzieje, gdy P przesuwa się dalej.

Następujący rysunek pokazuje różne pozycje ∗(P), gdy przesuwa się ona z pozycji ∗(90^obwód ∗) do pozycji ∗(180^obwód ∗):

W tej fazie ruchu długość \(OQ\) wzrasta, od minimum równego 0 w położeniu \(90^circ \), do maksimum równego 1 w położeniu \(180^circ \).

Chociaż długość lub wielkość ∗ wzrasta, ale wartość algebraiczna ∗ wzrośnie ze względu na jej kierunek, który jest wzdłuż ujemnej osi y.

Więc wartość funkcji cosinus dla kąta x maleje.

Kontynuujemy wykreślanie tej zmienności na tym samym wykresie, który wykreśliliśmy wcześniej:

Przypadek 3: Zmienność OQ w trzecim kwadrancie.

Gdy P przechodzi z położenia 180 do położenia 270, długość lub wielkość OQ maleje, ale ponieważ kierunek jest wzdłuż ujemnej osi y, rzeczywista wartość OQ wzrasta od -1 do 0.

Więc wartość funkcji cosinus dla kąta x rośnie.

Dodajemy tę wariację do naszego wykresu:

Przypadek 4: Wariacja OQ w czwartym kwadrancie.

W końcu, gdy P przechodzi z położenia 180 do położenia 360, to OQ wzrasta z 0 do 1.

Tak otrzymany wykres przedstawiono poniżej:

Łącząc odpowiedź zmienności wartości OQ dla wszystkich czterech kwadrantów, otrzymaliśmy kompletny wykres OQ vs x lub cos x vs x, dla jednego pełnego cyklu od ∗ radianów do ∗ 2 ∗ radianów ((0^circ do 360^circ)∗).

Co się stanie, gdy P przesunie się teraz dalej? Ten sam cykl wariacyjny zaczyna się od nowa.

Więc, jeśli rozszerzymy funkcję cosinusową tak, aby przyjmowała wszystkie rzeczywiste dane wejściowe, otrzymamy następujący wykres funkcji cosinusowej:

.