Cosinusfunktion

Cosinusfunktionen er en periodisk funktion i trigonometri.

Cosinusfunktionen eller cos-funktionen kan defineres som forholdet mellem basisens længde og hypotenusens længde i en retvinklet trekant.

Lad os prøve at forstå begrebet cosinusfunktion ved at analysere de fire kvadranter i koordinatsystemet.

Vurder nu en enhedscirkel med centrum i koordinatplanets oprindelse.

Et variabelt punkt \(P\) tages på cirklens omkreds, og det fortsætter med at bevæge sig på denne cirkels omkreds.

Af figuren kan vi se, at \(P\) ligger i den første kvadrant, og \(OP\) danner en spids vinkel på \(x\) radianer med den positive \(x\)-akse.

\(PQ\) er den vinkelret, der falder fra \(P\)(et punkt på omkredsen) på x-aksen.

Den trekant dannes således ved at forbinde punkterne O, P og Q som vist i figuren, hvor OQ er basen, og PQ er trekantens højde.

Dermed kan cosinusfunktionen eller cos-funktionen for ovenstående tilfælde matematisk skrives som:

\( \cos x = \frac{{{{OQ}}}{{{OP}}} \)

Her er x den spidse vinkel, der dannes mellem hypotenusen og basen i en retvinklet trekant.

Kosinusgrafen

Den følgende figur viser en enhedscirkel med centrum \(O\) ved oprindelsen, og et punkt \(P\), der bevæger sig langs cirklens omkreds.

Vinklen, som \(OP\) danner med den positive retning af \(x\)-aksen, er \(x\) (radianer).

\(PQ\) er basen faldet fra \(P\) til den vandrette akse.

Vi bemærker, at: \

Som \(x\) varierer, undersøger vi, at:

Værdien af \(\cos x\) varierer med variationen af længden af \(OQ\).

Fald 1: Variation af OQ i den første kvadrant.

Antag, at \(P\) oprindeligt ligger på den vandrette akse. Lad os betragte en bevægelse af \(P\) gennem \(90^\circ \) eller \(\(\frac{\pi }{2}\) rad.

Følgende figur viser forskellige positioner af \(P\) for denne bevægelse:

Det er tydeligt, at \(OQ\) er blevet mindre og mindre lang, fra en begyndelsesværdi på 1 (når \(x\) er 0 radian) til en slutværdi på 0 (når \(x\) er \(\frac{\pi }{2}\) radian).

Vi kan nu plotte denne variation.

Den vandrette akse repræsenterer inputvariablen \(x\) er vinklen i radianer, og den lodrette akse repræsenterer værdien af cosinusfunktionen for \(x\).

Det således opnåede plot er vist nedenfor:

Fald 2: Variation af OQ i den anden kvadrant.

Nu skal vi se, hvad der sker, når \(P\) bevæger sig videre.

Den følgende figur viser forskellige positioner for \(P\), når den efterfølgende bevæger sig fra en \(90^\cirkel \) position til \(180^\cirkel \) position:

I denne fase af bevægelsen øges længden \(OQ\), fra et minimum på 0 ved \(90^\cirk \) til et maksimum på 1 ved \(180^\cirk \).

Selv om længden eller størrelsen af \(OQ\) stiger, vil den algebraiske værdi af \(OQ\)stige på grund af dens retning, som er langs den negative y-akse.

Dermed falder værdien af cosinusfunktionen for vinkel x.

Vi fortsætter med at plotte denne variation på den samme graf, som vi plottede tidligere:

Fald 3: Variation af OQ i den tredje kvadrant.

Når \(P\) bevæger sig fra en position \(180^\cirk \) til en position \(270^\cirk \), falder længden eller størrelsen af \(OQ\) ganske vist, men da retningen er langs den negative y-akse, stiger den faktiske værdi OQ fra -1 til 0.

Dermed stiger værdien af cosinusfunktionen for vinkel x.

Vi tilføjer denne variation til vores graf:

Fald 4: Variation af OQ i fjerde kvadrant.

Endeligt, når \(P\) bevæger sig fra en position på \(180^\cirk \) til en position på \(360^\cirk \), stiger \(OQ\) fra \( 0\) til 1.

Det således fremkomne plot er vist nedenfor:

Sammenlægning af svaret på variationen i værdien af \(OQ\) for alle fire kvadranter giver det komplette plot af OQ vs x eller cos x vs x for en komplet cyklus fra \(0\) radianer til \(2 \pi \pi) radianer\((0^\cirkel til 360^\cirkel)\).

Hvad sker der, når \(P\) bevæger sig længere nu? Den samme variationscyklus starter forfra igen.

Så hvis vi udvider cosinusfunktionen til at omfatte alle reelle indgange, får vi følgende graf for cosinusfunktionen: