Kosinová funkce

Kosinová funkce je periodická funkce v trigonometrii.

Kosinovou funkci neboli funkci cos lze definovat jako poměr délky základny a délky přepony v pravoúhlém trojúhelníku.

Pokusíme se pochopit pojem kosinové funkce rozborem čtyř kvadrantů soustavy souřadnicových os.

Uvažujme nyní jednotkovou kružnici se středem v počátku roviny souřadnic.

Na obvodu kružnice je vzat proměnný bod \(P\), který se dále pohybuje po obvodu této kružnice.

Z obrázku vidíme, že \(P\) leží v prvním kvadrantu a \(OP\) svírá s kladnou osou \(x\) ostrý úhel \(x\) radiánů.

\(PQ\) je kolmice spuštěná z \(P\)(bodu na obvodu) na osu x.

Trojúhelník tedy vznikne spojením bodů O, P a Q podle obrázku, kde OQ je základna a PQ je výška trojúhelníku.

Pro výše uvedený případ lze tedy funkci cosinus neboli funkci cos matematicky zapsat takto:

\( \cos x = \frac{{OQ}}{{OP}} \)

Zde je x ostrý úhel, který vzniká mezi přeponou a základnou pravoúhlého trojúhelníku.

Kosinový graf

Následující obrázek znázorňuje jednotkovou kružnici se středem \(O\) v počátku a bod \(P\) pohybující se po obvodu této kružnice.

Úhel, který svírá \(OP\) s kladným směrem osy \(x\), je \(x\) (radiány).

\(PQ\) je základna spadlá z \(P\) na vodorovnou osu.

Poznamenáme, že: \

Při změně \(x\) studujeme, že:

Velikost \(\cos x\) se mění se změnou délky \(OQ\).

Případ 1: Změna OQ v prvním kvadrantu.

Předpokládejme, že na počátku je \(P\) na vodorovné ose. Uvažujme pohyb \(P\) přes \(90^\circ \) nebo \(\frac{\pi }{2}\) rad.

Následující obrázek ukazuje různé polohy \(P\) pro tento pohyb:

Je zřejmé, že \(OQ\) se zmenšila z počáteční hodnoty 1 (když \(x\) je 0 radiánů) na konečnou hodnotu 0 (když \(x\) je \(\frac{\pi }{2}\) radiánů).

Tuto změnu můžeme nyní vynést do grafu.

Vodorovná osa představuje vstupní proměnnou \(x\) je úhel v radiánech a svislá osa představuje hodnotu kosinové funkce pro \(x\).

Takto získaný graf je zobrazen níže:

Případ 2: Změna OQ ve druhém kvadrantu.

Nyní se podívejme, co se stane, když se \(P\) posune dále.

Následující obrázek ukazuje různé polohy \(P\) při jeho následném pohybu z polohy \(90^\circ \) do polohy \(180^\circ \):

V této fázi pohybu se délka \(OQ\) zvětšuje z minima 0 v poloze \(90^\circ \) na maximum 1 v poloze \(180^\circ \).

Délka nebo velikost \(OQ\) se sice zvětší, ale algebraická hodnota \(OQ\)se zvětší díky svému směru, který je podél záporné osy y.

Tak se hodnota funkce kosinus pro úhel x zmenší.

Pokračujeme v zakreslování této variace do stejného grafu, který jsme zakreslili dříve:

Případ 3: Variace OQ ve třetím kvadrantu.

Pokud se \(P\) pohybuje z polohy \(180^\oběh \) do polohy \(270^\oběh \), délka neboli velikost \(OQ\) se sice zmenšuje, ale protože směr je podél záporné osy y, skutečná hodnota OQ se zvětšuje z -1 na nulu.

Zvětšuje se tedy hodnota funkce kosinus pro úhel x.

Dopíšeme do našeho grafu tuto variaci:

Případ 4: Variace OQ ve čtvrtém kvadrantu.

Když se \(P\) přesune z polohy \(180^\oběh \) do polohy \(360^\oběh \), \(OQ\) se zvětší z \( 0\) na hodnotu 1.

Takto získaný graf je uveden níže:

Spojením odezvy změny hodnoty \(OQ\) pro všechny čtyři kvadranty jsme získali úplný graf závislosti OQ na x nebo cos x na x, pro jeden úplný cyklus \(0\) radiánů až \(2 \pi \) radiánů\((0^\circ až 360^\circ)\).

Co se stane, když se nyní \(P\) posune dále? Stejný variační cyklus začíná znovu.

Pokud tedy rozšíříme kosinovou funkci tak, aby přijímala všechny reálné vstupy, dostaneme následující graf kosinové funkce:

.