Kosinusfunktion

Die Kosinusfunktion ist eine periodische Funktion in der Trigonometrie.

Die Kosinusfunktion oder cos-Funktion kann definiert werden als das Verhältnis der Länge der Basis zur Länge der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck.

Lassen Sie uns versuchen, das Konzept der Kosinusfunktion zu verstehen, indem wir die vier Quadranten des Koordinatenachsensystems analysieren.

Betrachten wir nun einen Einheitskreis, der im Ursprung der Koordinatenebene zentriert ist.

Ein variabler Punkt \(P\) wird auf dem Umfang des Kreises genommen und er bewegt sich weiter auf dem Umfang dieses Kreises.

Aus der Abbildung geht hervor, dass \(P\) im ersten Quadranten liegt und \(OP\) mit der positiven \(x\)-Achse einen spitzen Winkel von \(x\) Bogenmaß einschließt.

\(PQ\) ist die Senkrechte, die von \(P\) (einem Punkt auf dem Umfang) auf die x-Achse fällt.

Das Dreieck wird also gebildet, indem man die Punkte O, P und Q wie in der Abbildung dargestellt verbindet, wobei OQ die Basis und PQ die Höhe des Dreiecks ist.

Die Kosinusfunktion oder cos-Funktion für den obigen Fall kann also mathematisch wie folgt geschrieben werden:

\( \cos x = \frac{{OQ}}{{OP}} \)

Hier ist x der spitze Winkel, der zwischen der Hypotenuse und der Basis eines rechtwinkligen Dreiecks entsteht.

Cosinus-Diagramm

Die folgende Abbildung zeigt einen Einheitskreis mit Mittelpunkt \(O\) im Ursprung und einem Punkt \(P\), der sich auf dem Umfang dieses Kreises bewegt.

Der Winkel, den \(OP\) mit der positiven Richtung der \(x\)-Achse bildet, ist \(x\) (Bogenmaß).

\(PQ\) ist die Basis, die von \(P\) zur horizontalen Achse fällt.

Wir stellen fest, dass:

Wenn \(x\) variiert, untersuchen wir, dass:

Der Wert von \(\cos x\) variiert mit der Variation der Länge von \(OQ\).

Fall 1: Variation von OQ im ersten Quadranten.

Angenommen, \(P\) liegt anfangs auf der horizontalen Achse. Betrachten wir eine Bewegung von \(P\) um \(90^\circ \) oder \(\frac{\pi }{2}\) rad.

Die folgende Abbildung zeigt verschiedene Positionen von \(P\) für diese Bewegung:

Es ist klar, dass \(OQ\) in der Länge abgenommen hat, von einem Anfangswert von 1 (wenn \(x\) 0 Radiant ist) zu einem Endwert von 0 (wenn \(x\) \(\frac{\pi }{2}\) Radiant ist).

Wir können nun diese Variation aufzeichnen.

Die horizontale Achse stellt die Eingangsvariable \(x\) ist der Winkel im Bogenmaß, und die vertikale Achse stellt den Wert der Kosinusfunktion für \(x\) dar.

Das so erhaltene Diagramm ist unten dargestellt:

Fall 2: Variation von OQ im zweiten Quadranten.

Nun wollen wir sehen, was passiert, wenn sich \(P\) weiter bewegt.

Die folgende Abbildung zeigt verschiedene Positionen von \(P\), wenn es sich anschließend von einer \(90^\circ \)-Position zu einer \(180^\circ \)-Position bewegt:

In dieser Phase der Bewegung nimmt die Länge \(OQ\) zu, von einem Minimum von 0 bei \(90^\circ \) bis zu einem Maximum von 1 bei \(180^\circ \).

Die Länge oder der Betrag von \(OQ\) nimmt zwar zu, aber der algebraische Wert von \(OQ\) nimmt aufgrund seiner Richtung, die entlang der negativen y-Achse verläuft, zu.

Daher nimmt der Wert der Kosinusfunktion für den Winkel x ab.

Wir zeichnen diese Veränderung auf demselben Graphen weiter, den wir zuvor gezeichnet haben:

Fall 3: Veränderung von OQ im dritten Quadranten.

Wenn sich \(P\) von einer Position von \(180^\circ \) zu einer Position von \(270^\circ \) bewegt, nimmt zwar die Länge oder der Betrag von \(OQ\) ab, aber da die Richtung entlang der negativen y-Achse verläuft, steigt der tatsächliche Wert OQ von -1 auf 0.

Der Wert der Kosinusfunktion für den Winkel x nimmt also zu.

Wir fügen diese Variation zu unserem Diagramm hinzu:

Fall 4: Variation von OQ im vierten Quadranten.

Schließlich, wenn \(P\) sich von einer Position von \(180^\circ \) zu einer Position von \(360^\circ \) bewegt, steigt \(OQ\) von \( 0\) auf 1.

Das so erhaltene Diagramm ist unten dargestellt:

Wenn man die Reaktion der Variation des Wertes von \(OQ\) für alle vier Quadranten zusammenfasst, erhält man die vollständige Darstellung von OQ gegen x oder cos x gegen x, für einen vollständigen Zyklus von \(0\) Radiant bis \(2 \pi \) Radiant ((0^\circ bis 360^\circ)\).

Was passiert, wenn sich \(P\) nun weiter bewegt? Der gleiche Variationszyklus beginnt von vorn.

Wenn wir also die Kosinusfunktion so erweitern, dass sie alle reellen Eingaben annimmt, erhalten wir den folgenden Graphen der Kosinusfunktion: