Kozinuszfüggvény

A kozinuszfüggvény a trigonometria egyik periodikus függvénye.

A kozinuszfüggvény vagy cos függvény egy derékszögű háromszögben az alap és a hipotenzus hosszának hányadosaként határozható meg.

Próbáljuk meg megérteni a kozinuszfüggvény fogalmát a koordinátatengelyrendszer négy kvadránsának elemzésével.

Most tekintsünk egy egységnyi kört, amelynek középpontja a koordinátasík origója.

Egy változó pontot \(P\) veszünk a kör kerületén, és az tovább mozog e kör kerületén.

Az ábráról megfigyelhetjük, hogy \(P\) az első kvadránsban van, és \(OP\) a pozitív \(x\)-tengellyel \(x\)-radiánnyi hegyesszöget zár be.

\(PQ\) az \(P\)(a kerület egy pontjából) az x-tengelyre eső merőleges.

A háromszög tehát az O, P és Q pontok összekötésével jön létre az ábrán látható módon, ahol OQ a háromszög alapja, PQ pedig a háromszög magassága.

A fenti esetben tehát a koszinusz- vagy cos-függvény matematikailag a következőképpen írható fel:

\( \cos x = \frac{{OQ}}}{{OP}}} \)

Itt x a derékszögű háromszög hipotenuzája és alapja között képzett hegyesszög.

Kozinuszgrafikon

A következő ábra egy olyan egységkört mutat, amelynek középpontja \(O\) az origóban van, és egy \(P\) pont mozog e kör kerületén.

A szög, amelyet \(OP\) az \(x\)-tengely pozitív irányával bezár, \(x\) (radián).

\(PQ\) az \(P\) és a vízszintes tengely között lejtett alap.

Megjegyezzük, hogy: \

Amint \(x\) változik, azt vizsgáljuk, hogy:

Az \(\cos x\) értéke az \(OQ\) hosszának változásával változik.

1. eset: OQ változása az első kvadránsban.

Tegyük fel, hogy kezdetben \(P\) a vízszintes tengelyen van. Tekintsük \(P\) mozgását \(90^\circ \) vagy \(\frac{\pi }{2}\) radon keresztül.

A következő ábra az \(P\) különböző helyzeteit mutatja erre a mozgásra:

Látható, hogy az \(OQ\) hossza csökkent, a kezdeti 1 értékről (amikor az \(x\) 0 radián) a végső 0 értékre (amikor az \(x\) \(\frac{\pi }{2}\) radián).

Ezt a változást most ábrázolhatjuk.

A vízszintes tengelyen a bemeneti változó \(x\) a szög radiánban, a függőleges tengelyen pedig az \(x\) koszinuszfüggvény értéke látható.

Az így kapott grafikon az alábbiakban látható:

2. eset: Az OQ változása a második kvadránsban.

Most nézzük meg, mi történik, ha \(P\) tovább mozog.

A következő ábra az \(P\) különböző helyzeteit mutatja, ahogy a későbbiekben \(90^\circ \) helyzetből \(180^\circ \) helyzetbe kerül:

A mozgásnak ebben a fázisában az \(OQ\) hossza növekszik, az \(90^\circ \) pontban lévő 0-s minimumról az \(180^\circ \) pontban lévő 1-es maximumra.

Az \(OQ\) hossza vagy nagysága ugyan nő, de az \(OQ\) algebrai értéke nő az iránya miatt, amely a negatív y tengely mentén van.

Ezért az x szögre vonatkozó koszinuszfüggvény értéke csökken.

Ezt a változást ábrázoljuk tovább ugyanazon a grafikonon, amelyet korábban ábrázoltunk:

3. eset: OQ változása a harmadik kvadránsban.

Amikor \(P\) a \(180^\circ \) helyzetből a \(270^\circ \) helyzetbe kerül, az \(OQ\) hossza vagy nagysága ugyan csökken, de mivel az irány a negatív y-tengely mentén van, az OQ tényleges értéke -1-ről 0-ra nő.

Így az x szögre vonatkozó koszinuszfüggvény értéke nő.

Ezt a variációt adjuk hozzá a grafikonunkhoz:

4. eset: OQ variációja a negyedik kvadránsban.

Amikor \(P\) a \(180^\circ \) helyzetből a \(360^\circ \) helyzetbe kerül, \(OQ\) \( 0\) értékről 1-re nő.

Az így kapott grafikon az alábbiakban látható:

Az \(OQ\) értékének változására adott választ mind a négy kvadránsra összevonva megkaptuk az OQ vs x vagy cos x vs x teljes grafikonját, egy teljes ciklusra \(0\) radiántól \(2 \pi \) radiánig\((0^\circ 360^\circ)\).

Mi történik, ha \(P\) most tovább mozog? Ugyanaz a variációs ciklus kezdődik elölről.

Ha tehát a koszinuszfüggvényt kiterjesztjük az összes valós bemenetre, akkor a koszinuszfüggvény következő grafikonját kapjuk:

.