Kosinusfunktio

Kosinusfunktio on trigonometrian jaksollinen funktio.

Kosinusfunktio eli cos-funktio voidaan määritellä suorakulmaisen kolmion perusosan pituuden ja hypotenuusan pituuden suhteena.

Yritetään ymmärtää kosinusfunktion käsitettä analysoimalla koordinaattiakselijärjestelmän neljää kvadranttia.

Harkitaan nyt yksikköympyrää, jonka keskipisteenä on koordinaattitason origo.

Ympyrän kehälle otetaan muuttuva piste \(P\), joka liikkuu jatkossakin tämän ympyrän kehällä.

Kuvasta havaitaan, että \(P\) on ensimmäisessä kvadrantissa, ja \(OP\) muodostaa \(x\) radiaanin suuruisen terävän kulman positiivisen \(x\)-akselin kanssa.

\(PQ\) on \(P\)(kehän pisteestä) x-akselille pudotettu kohtisuora.

Kolmio muodostuu siis yhdistämällä pisteet O, P ja Q kuvan osoittamalla tavalla, missä OQ on kolmion pohja ja PQ on kolmion korkeus.

Kosinusfunktio eli cos-funktio voidaan siis edellä esitetyssä tapauksessa kirjoittaa matemaattisesti seuraavasti:

\( \cos x = \frac{{OQ}}{{OP}} \)

Tässä x on suorakulmaisen kolmion hypotenuusan ja pohjan välille muodostuva terävä kulma.

Kosinuksen kuvaaja

Seuraavassa kuvassa on yksikköympyrä, jonka keskipiste \(O\) on origossa, ja piste \(P\) liikkuu tämän ympyrän kehällä.

Kulma, jonka \(OP\) muodostaa \(x\)-akselin positiivisen suunnan kanssa, on \(x\) (radiaania).

\(PQ\) on \(P\):n ja vaaka-akselin väliltä pudotettu perusarvo.

Huomautetaan, että: \

Kun \(x\) muuttuu, tutkimme, että:

\(\cos x\) arvo muuttuu \(OQ\) pituuden muuttuessa.

Tapaus 1: OQ:n muuttuminen ensimmäisessä kvadrantissa.

Esitetään, että aluksi \(P\) on vaaka-akselilla. Tarkastellaan \(P\):n liikettä \(90^\circ \) tai \(\frac{\pi }{2}\) rad.

Seuraavassa kuvassa on esitetty \(P\):n eri sijainnit tässä liikkeessä:

Ymmärrettävästi \(OQ\) on lyhentynyt alkuarvosta 1 (kun \(x\) on 0 radiaania) loppuarvoon 0 (kun \(x\) on \(\frac{\pi }{2}\) radiaania).

Voidaan nyt piirtää tämä vaihtelu.

Vaaka-akseli edustaa tulomuuttujaa \(x\) on kulma radiaaneina ja pystyakseli edustaa kosinifunktion arvoa \(x\).

Siten saatu piirto on seuraavassa kuvassa:

Tilanne 2: OQ:n vaihtelu toisessa kvadrantissa.

Katsotaan nyt, mitä tapahtuu, kun \(P\) siirtyy pidemmälle.

Seuraavassa kuvassa on esitetty \(P\):n eri asentoja, kun se myöhemmin siirtyy \(90^\circ \) -asennosta \(180^\circ \) -asentoon:

Tässä liikkeen vaiheessa pituus \(OQ\) kasvaa minimistä 0 kohdassa \(90^\circ \) maksimiin 1 kohdassa \(180^\circ \).

Vaikka \(OQ\):n pituus tai suuruus kasvaa, mutta \(OQ\):n algebrallinen arvo kasvaa, koska sen suunta on negatiivisen y-akselin suuntainen.

Siten kulman x kosinifunktion arvo pienenee.

Jatkamme tämän muutoksen piirtämistä samaan kuvaajaan, jonka piirsimme aiemmin:

Tapaus 3: OQ:n vaihtelu kolmannessa kvadrantissa.

Kun \(P\) siirtyy paikasta \(180^\circ \) paikkaan \(270^\circ \), vaikka \(OQ\) pituus tai suuruus pienenee, mutta koska suunta on negatiivisen y-akselin suuntainen, varsinainen arvo OQ kasvaa -1:stä 0:een.

Siten kulman x kosinifunktion arvo kasvaa.

Lisäämme kuvaajaamme tämän muunnoksen:

Tapaus 4: OQ:n muunnos neljännessä kvadrantissa.

Loppujen lopuksi, kun \(P\) siirtyy paikasta \(180^\circ \) paikkaan \(360^\circ \), \(OQ\) kasvaa \( 0\) arvosta 1:een.

Näin saatu kuvaaja on esitetty alla:

Sulauttamalla yhteen \(OQ\)-arvon vaihteluvaste kaikkien neljän kvadrantin osalta saimme täydellisen kuvaajan OQ:n ja x:n tai cos x:n ja x:n välille yhdelle täydelliselle syklille \(0\) radiaania \(2 \pi \) radiaania \((0 ^ \ympyrä 360 ^ ^ \ympyrässä)\).

Mitä tapahtuu, kun \(P\) liikkuu nyt pidemmälle? Sama variaatiosykli alkaa alusta.

Jos siis laajennamme kosinifunktion ottamaan vastaan kaikki reaaliset tulot, saamme seuraavan kosinifunktion kuvaajan: