Funcția cosinus

Funcția cosinus este o funcție periodică în trigonometrie.

Funcția cosinus sau funcția cos poate fi definită ca fiind raportul dintre lungimea bazei și cea a ipotenuzei într-un triunghi dreptunghic.

Să încercăm să înțelegem conceptul de funcție cosinus analizând cele patru cadrane ale sistemului de axe de coordonate.

Considerăm acum un cerc unitar centrat în originea planului de coordonate.

Un punct variabil \(P\) este luat pe circumferința cercului și continuă să se deplaseze pe circumferința acestui cerc.

Din figură observăm că \(P\) se află în primul cadran, iar \(OP\) face un unghi ascuțit de \(x\) radiani cu axa pozitivă \(x\).

\(PQ\) este perpendiculara căzută din \(P\)(un punct de pe circumferință) pe axa x.

Trigunghiul este astfel format prin unirea punctelor O, P și Q, așa cum se arată în figură, unde OQ este baza, iar PQ este înălțimea triunghiului.

În consecință, funcția cosinus sau funcția cos pentru cazul de mai sus poate fi scrisă matematic sub forma:

\( \cos x = \frac{{{OQ}}{{{OP}} \)

Aici, x este unghiul ascuțit format între ipotenuza și baza unui triunghi dreptunghic.

Graficul cosinusului

Figura următoare prezintă un cerc unitar cu centrul \(O\) la origine și un punct \(P\) care se deplasează de-a lungul circumferinței acestui cerc.

Unghiul pe care îl face \(OP\) cu direcția pozitivă a axei \(x\) este \(x\) (radiani).

\(PQ\) este baza căzută de la \(P\) la axa orizontală.

Notăm că: \

Cum variază \(x\), studiem că:

Valoarea lui \(\cos x\) variază odată cu variația lungimii lui \(OQ\).

Cazul 1: Variația lui OQ în primul cadran.

Să presupunem că inițial, \(P\) este pe axa orizontală. Să considerăm o mișcare a \(P\) prin \(90^\circ \) sau \(\frac{\pi }{2}\) rad.

Figura următoare arată diferite poziții ale lui \(P\) pentru această mișcare:

Evident, \(OQ\) a scăzut în lungime, de la o valoare inițială de 1 (când \(x\) este 0 radiani) la o valoare finală de 0 (când \(x\) este \(\frac{\pi }{2}\) radiani).

Acum putem reprezenta grafic această variație.

Axa orizontală reprezintă variabila de intrare \(x\) este unghiul în radiani, iar axa verticală reprezintă valoarea funcției cosinus pentru \(x\).

Graficul astfel obținut este prezentat mai jos:

Cazul 2: Variația lui OQ în cadranul al doilea.

Acum, să vedem ce se întâmplă pe măsură ce \(P\) se deplasează mai departe.

Figura următoare arată diferite poziții ale lui \(P\) pe măsură ce acesta se deplasează ulterior dintr-o poziție \(90^circ \) în poziția \(180^circ \):

În această fază a mișcării, lungimea \(OQ\) crește, de la un minim de 0 la \(90^\circ \), la un maxim de 1 la \(180^\circ \).

Chiar dacă lungimea sau mărimea lui \(OQ\) crește, dar valoarea algebrică a lui \(OQ\)va crește datorită direcției sale care este de-a lungul axei y negative.

Astfel, valoarea funcției cosinus pentru unghiul x scade.

Continuăm să trasăm această variație pe același grafic pe care l-am trasat anterior:

Cazul 3: Variația lui OQ în cadranul al treilea.

Când \(P\) se deplasează de la o poziție de \(180^\circ \) la o poziție de \(270^\circ \), deși lungimea sau mărimea lui \(OQ\) scade, dar, deoarece direcția este de-a lungul axei y negative, valoarea reală OQ crește de la -1 la 0.

Acum, valoarea funcției cosinus pentru unghiul x crește.

Aducem această variație la graficul nostru:

Cazul 4: Variația lui OQ în cadranul al patrulea.

În cele din urmă, atunci când \(P\) se deplasează de la o poziție de \(180^\circ \) la o poziție de \(360^\circ \), \(OQ\) crește de la \( 0\) la 1.

Tracul astfel obținut este prezentat mai jos:

Mergând răspunsul de variație a valorii lui \(OQ\) pentru toate cele patru cadrane, am obținut graficul complet al lui OQ vs x sau cos x vs x, pentru un ciclu complet de la \(0\) radiani la \(2 \pi \) radiani((0^\circ la 360^\circ)\).

Ce se întâmplă când \(P\\) se deplasează mai departe acum? Același ciclu de variație începe din nou.

Atunci, dacă extindem funcția cosinus pentru a prelua toate intrările reale, obținem următorul grafic al funcției cosinus:

.