Cosinusfunctie

De cosinusfunctie is een periodieke functie in de goniometrie.

De cosinusfunctie of cosfunctie kan worden gedefinieerd als de verhouding van de lengte van de basis tot die van de lengte van de schuine zijde in een rechthoekige driehoek.

Laten we proberen het begrip cosinusfunctie te begrijpen door de vier kwadranten van het assenstelsel van de coördinaten te analyseren.

Nu beschouwen we een eenheidscirkel met het middelpunt in de oorsprong van het assenvlak.

Een variabel punt \(P\) wordt op de omtrek van de cirkel genomen en het blijft op de omtrek van deze cirkel voortbewegen.

Van de figuur zien we dat \(P\) in het eerste kwadrant ligt, en \(OP\) maakt een scherpe hoek van \(x)radialen met de positieve as.

(PQ\) is de loodlijn die van \(P\)(een punt op de omtrek) op de x-as valt.

De driehoek wordt dus gevormd door de punten O, P, en Q te verbinden zoals in de figuur is aangegeven, waarbij OQ de basis is, en PQ de hoogte van de driehoek.

Hieruit volgt dat de cosinusfunctie of cosfunctie voor het bovenstaande geval wiskundig kan worden geschreven als:

( \cos x = \frac{OQ}}{OP}} \)

Hierbij is x de scherpe hoek die gevormd wordt tussen de schuine zijde en de basis van een rechthoekige driehoek.

Cosinusgrafiek

De volgende figuur toont een eenheidscirkel met middelpunt \(O) in de oorsprong, en een punt \(P\) dat langs de omtrek van deze cirkel beweegt.

De hoek die \(OP) maakt met de positieve richting van de x-as is \(x) (radialen).

(PQ) is de basis die van \(P\) naar de horizontale as is afgevallen.

We stellen vast dat:

Als \(x) varieert, bestuderen we dat:

De waarde van \(\cos x) varieert met de variatie van de lengte van \(OQ).

Geval 1: Variatie van OQ in het eerste kwadrant.

Voorstel dat \(P) aanvankelijk op de horizontale as ligt. Laten we eens kijken naar een beweging van \(P\) door \(90^circ \) of \(\frac{\pi }{2}) rad.

De volgende figuur toont verschillende posities van \(P\) voor deze beweging:

Het is duidelijk dat \(OQ\) in lengte is afgenomen, van een beginwaarde van 1 (wanneer \(x\) 0 radialen is) naar een eindwaarde van 0 (wanneer \(x\) \(\frac{\pi }{2}\) radialen is).

We kunnen deze variatie nu plotten.

De horizontale as is de ingangsvariabele \(x) is de hoek in radialen, en de verticale as is de waarde van de cosinusfunctie voor \(x).

De aldus verkregen plot ziet er als volgt uit:

Geval 2: Variatie van OQ in het tweede kwadrant.

Nu zien we wat er gebeurt als \(P\) verder opschuift.

De volgende figuur toont verschillende posities van P als deze van een 90° positie naar een 180° positie gaat:

In deze fase van de beweging neemt de lengte \(OQ\) toe, van een minimum van 0 bij \(90^circ \), tot een maximum van 1 bij \(180^circ \).

De lengte of grootte van \(OQ\) neemt weliswaar toe, maar de algebraïsche waarde van \(OQ\) neemt toe door zijn richting, die langs de negatieve y-as ligt.

Dus neemt de waarde van de cosinusfunctie voor hoek x af.

We plotten deze variatie verder op dezelfde grafiek die we eerder hebben uitgezet:

Geval 3: Variatie van OQ in het derde kwadrant.

Wanneer \(P) van een positie van \(180^circ \) naar een positie van \(270^circ \) gaat, neemt weliswaar de lengte of de grootte van \(OQ\) af, maar omdat de richting langs de negatieve y-as ligt, neemt de werkelijke waarde OQ toe van -1 tot 0.

Dus de waarde van de cosinusfunctie voor hoek x neemt toe.

We voegen deze variatie toe aan onze grafiek:

Geval 4: Variatie van OQ in het vierde kwadrant.

Ten slotte, als \(P) van 180 ^circu \) naar 360 ^circu \ gaat, neemt \(OQ) toe van 0 tot 1.

De aldus verkregen plot is hieronder weergegeven:

Samenvoeging van de respons van de variatie in de waarde van Q(OQ) voor alle vier kwadranten, levert de volledige grafiek van OQ vs x of cos x vs x, voor een volledige cyclus van Q(0) radialen tot Q(2 \pi \) radialen((0 \circ tot 360 \circ)\).

Wat gebeurt er als \(P\) nu verder opschuift? Dezelfde variatiecyclus begint opnieuw.

Dus, als we de cosinusfunctie uitbreiden tot alle reële ingangen, krijgen we de volgende grafiek van de cosinusfunctie: