Funzione coseno

La funzione coseno è una funzione periodica in trigonometria.

La funzione coseno o funzione cos può essere definita come il rapporto tra la lunghezza della base e quella dell’ipotenusa in un triangolo rettangolo.

Cerchiamo di capire il concetto di funzione coseno analizzando i quattro quadranti del sistema di assi delle coordinate.

Ora, consideriamo un cerchio unitario centrato nell’origine del piano di coordinate.

Un punto variabile \(P\) viene preso sulla circonferenza del cerchio e continua a muoversi sulla circonferenza di questo cerchio.

Dalla figura si osserva che \(P\) è nel primo quadrante, e \(OP\) fa un angolo acuto di \(x\) radianti con l’asse positivo \(x\).

PQ è la perpendicolare caduta da \(P\) (un punto della circonferenza) sull’asse delle x.

Il triangolo è così formato unendo i punti O, P, e Q come mostrato in figura, dove OQ è la base, e PQ è l’altezza del triangolo.

Quindi, la funzione coseno o funzione coseno per il caso di cui sopra può essere scritta matematicamente come:

\( \cos x = \frac{OQ}}{OP}})

Qui, x è l’angolo acuto formato tra l’ipotenusa e la base di un triangolo rettangolo.

Grafico del coseno

La figura seguente mostra un cerchio unitario con centro \(O) nell’origine, e un punto \(P) che si muove lungo la circonferenza di questo cerchio.

L’angolo che \(OP\) fa con la direzione positiva dell’asse \(x\)- è \(x\) (radianti).

\(PQ\) è la base caduta da \(P\) all’asse orizzontale.

Si nota che: \

Al variare di \(x\), studiamo che:

Il valore di \(\cos x\) varia al variare della lunghezza di \(OQ\).

Caso 1: variazione di OQ nel primo quadrante.

Supponiamo che inizialmente, \(P\) sia sull’asse orizzontale. Consideriamo un movimento di \(P\) attraverso \(90^\circuito \) o \(\frac{\pi}{2}} rad.

La figura seguente mostra diverse posizioni di \P\ per questo movimento:

E’ chiaro che \(OQ\) è diminuito in lunghezza, da un valore iniziale di 1 (quando \(x\) è 0 radianti) a un valore finale di 0 (quando \(x\) è \frac{\pi }2}} radianti).

Possiamo ora tracciare questa variazione.

L’asse orizzontale rappresenta la variabile di ingresso \(x\) è l’angolo in radianti, e l’asse verticale rappresenta il valore della funzione coseno per \(x\).

Il grafico così ottenuto è mostrato sotto:

Caso 2: Variazione di OQ nel secondo quadrante.

Ora, vediamo cosa succede quando \(P\) si sposta ulteriormente.

La figura seguente mostra diverse posizioni di \(P\) mentre si sposta successivamente da una posizione \(90^circa) a \(180^circa):

In questa fase del movimento, la lunghezza \(OQ\) aumenta, da un minimo di 0 a \(90^circ \), ad un massimo di 1 a \(180^circ \).

Anche se la lunghezza o grandezza di \(OQ\) aumenta, ma il valore algebrico di \(OQ\) aumenterà a causa della sua direzione che è lungo l’asse y negativo.

Quindi, il valore della funzione coseno per l’angolo x diminuisce.

Continuiamo a tracciare questa variazione sullo stesso grafico che abbiamo tracciato prima:

Caso 3: Variazione di OQ nel terzo quadrante.

Quando \(P\) si sposta da una posizione di \(180^\circa \) a una posizione di \(270^\circa \), anche se la lunghezza o la grandezza di \(OQ\) diminuisce, ma poiché la direzione è lungo l’asse y negativo, il valore reale OQ aumenta da -1 a 0.

Quindi, il valore della funzione coseno per l’angolo x aumenta.

Aggiungiamo questa variazione al nostro grafico:

Caso 4: variazione di OQ nel quarto quadrante.

Infine, quando \(P\) passa da una posizione di \(180^\circa \) a una posizione di \(360^\circa \), \(OQ\) aumenta da \(0\) a 1.

Il grafico così ottenuto è mostrato sotto:

Unendo la risposta di variazione del valore di \(OQ\) per tutti e quattro i quadranti, abbiamo ottenuto il grafico completo di OQ vs x o cos x vs x, per un ciclo completo di \(0\) radianti a \(2 \pi \) radianti \(0^\circa a 360^\circa)\.

Cosa succede quando \(P\) si sposta ulteriormente ora? Lo stesso ciclo di variazione ricomincia da capo.

Quindi, se estendiamo la funzione coseno per assumere tutti gli input reali, otteniamo il seguente grafico della funzione coseno: