Fonction cosinus

La fonction cosinus est une fonction périodique en trigonométrie.

La fonction cosinus ou fonction cos peut être définie comme le rapport de la longueur de la base à celle de la longueur de l’hypoténuse dans un triangle rectangle.

Tentons de comprendre le concept de la fonction cosinus en analysant les quatre quadrants du système d’axes de coordonnées.

Maintenant, considérons un cercle unitaire centré à l’origine du plan de coordonnées.

Un point variable \(P\) est pris sur la circonférence du cercle et il continue à se déplacer sur la circonférence de ce cercle.

Selon la figure, on observe que \(P\) est dans le premier quadrant, et \(OP\) fait un angle aigu de \(x\) radians avec l’axe \(x\) positif.

\(PQ\) est la perpendiculaire tombée de \(P\)(un point de la circonférence) sur l’axe des x.

Le triangle est donc formé en joignant les points O, P, et Q comme indiqué sur la figure, où OQ est la base, et PQ la hauteur du triangle.

Donc, la fonction cosinus ou fonction cos pour le cas ci-dessus peut être mathématiquement écrite comme:

\( \cos x = \frac{{OQ}}{OP}} \)

Ici, x est l’angle aigu formé entre l’hypoténuse et la base d’un triangle rectangle.

Graphe du cosinus

La figure suivante représente un cercle unitaire dont le centre \(O\) est à l’origine, et un point \(P\) se déplaçant sur la circonférence de ce cercle.

L’angle que fait \(OP\) avec la direction positive de l’axe \(x\) est \(x\) (radians).

\(PQ\) est la base tombée de \(P\) à l’axe horizontal.

On note que : \

Comme \(x\) varie, nous étudions que :

La valeur de \(\cos x\) varie avec la variation de la longueur de \(OQ\).

Cas 1 : variation de OQ dans le premier quadrant.

Supposons qu’initialement, \(P\) est sur l’axe horizontal. Considérons un mouvement de \(P\) de \(90^\circuit \) ou \(\frac{\pi }{2}\) rad.

La figure suivante montre différentes positions de \(P\) pour ce mouvement:

Il est clair que \(OQ\) a diminué en longueur, d’une valeur initiale de 1 (lorsque \(x\) est de 0 radians) à une valeur finale de 0 (lorsque \(x\) est de \(\frac{\pi }{2}\) radians).

Nous pouvons maintenant tracer cette variation.

L’axe horizontal représente la variable d’entrée \(x\) est l’angle en radians, et l’axe vertical représente la valeur de la fonction cosinus pour \(x\).

Le tracé ainsi obtenu est représenté ci-dessous :

Cas 2 : variation de OQ dans le deuxième quadrant.

Maintenant, voyons ce qui se passe lorsque \(P\) se déplace plus loin.

La figure suivante montre différentes positions de \(P\) alors qu’il se déplace ensuite d’une position \(90^\circ \) à une position \(180^\circ \) :

Dans cette phase du mouvement, la longueur \(OQ\) augmente, d’un minimum de 0 à \(90^\circ \), à un maximum de 1 à \(180^\circ \).

Bien que la longueur ou la magnitude de \(OQ\) augmente, mais la valeur algébrique de \(OQ\)augmentera en raison de sa direction qui est le long de l’axe y négatif.

Donc, la valeur de la fonction cosinus pour l’angle x diminue.

Nous continuons à tracer cette variation sur le même graphique que nous avons tracé précédemment :

Cas 3 : variation de OQ dans le troisième quadrant.

Lorsque \(P\) passe d’une position de \(180^\circuit \) à une position de \(270^\circuit \), bien que la longueur ou la magnitude de \(OQ\) diminue, mais puisque la direction est le long de l’axe y négatif, la valeur réelle OQ augmente de -1 à 0.

Donc, la valeur de la fonction cosinus pour l’angle x augmente.

Nous ajoutons cette variation à notre graphique :

Cas 4 : variation de OQ dans le quatrième quadrant.

Enfin, lorsque \(P\) passe d’une position de \(180^\circuit \) à une position de \(360^\circuit \), \(OQ\) passe de \( 0\) à 1.

Le tracé ainsi obtenu est représenté ci-dessous :

Enregistrant la réponse de la variation de la valeur de \(OQ\) pour les quatre quadrants, nous avons obtenu le tracé complet de OQ en fonction de x ou cos x en fonction de x, pour un cycle complet de \(0\) radians à \(2 \pi \) radians\((0^\circ à 360^\circ)\).

Que se passe-t-il lorsque \(P\) se déplace plus loin maintenant ? Le même cycle de variation recommence.

Donc, si nous étendons la fonction cosinus pour prendre toutes les entrées réelles, nous obtenons le graphique suivant de la fonction cosinus:

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