Función coseno

La función coseno es una función periódica en trigonometría.

La función coseno o función cos puede definirse como el cociente entre la longitud de la base y la de la longitud de la hipotenusa en un triángulo rectángulo.

Intentemos comprender el concepto de función coseno analizando los cuatro cuadrantes del sistema de ejes de coordenadas.

Consideremos ahora una circunferencia unitaria centrada en el origen del plano de coordenadas.

Se toma un punto variable \(P\) en la circunferencia y se sigue moviendo en la circunferencia de dicha circunferencia.

A partir de la figura, observamos que \(P\) está en el primer cuadrante, y \(OP\) forma un ángulo agudo de \(x\) radianes con el eje positivo \(x\).

(PQ\) es la perpendicular que se deja caer desde \(P\)(un punto de la circunferencia) sobre el eje x.

El triángulo se forma, pues, uniendo los puntos O, P y Q como se indica en la figura, donde OQ es la base, y PQ es la altura del triángulo.

Por lo tanto, la función coseno o función cos para el caso anterior se puede escribir matemáticamente como:

( \cos x = \frac{{OQ}}{OP}} \)

Aquí, x es el ángulo agudo que se forma entre la hipotenusa y la base de un triángulo rectángulo.

Gráfica del coseno

La siguiente figura muestra una circunferencia unitaria con centro \(O\) en el origen, y un punto \(P\) que se mueve a lo largo de la circunferencia de esta circunferencia.

El ángulo que forma \(OP\) con la dirección positiva del eje \(x\) es \(x\) (radianes).

Se trata de la base caída desde \(P\) hasta el eje horizontal.

Notamos que: \

Al variar \(x\), estudiamos que:

El valor de \(\cos x\) varía con la variación de la longitud de \(OQ\).

Caso 1: Variación de OQ en el primer cuadrante.

Supongamos que inicialmente, \(P\) está en el eje horizontal. Consideremos un movimiento de \(P\) por \(90^\c \) o \(\frac{\pi }{2}\) rad.

La siguiente figura muestra diferentes posiciones de \(P\) para este movimiento:

Claramente, \(OQ\) ha disminuido su longitud, desde un valor inicial de 1 (cuando \(x\) es 0 radianes) hasta un valor final de 0 (cuando \(x\) es \(\frac{\pi }{2}\) radianes).

Ahora podemos graficar esta variación.

El eje horizontal representa la variable de entrada \(x\) es el ángulo en radianes, y el eje vertical representa el valor de la función coseno para \(x\).

La gráfica así obtenida se muestra a continuación:

Caso 2: Variación de OQ en el segundo cuadrante.

Ahora, veamos qué ocurre a medida que \(P\) se desplaza más.

La siguiente figura muestra diferentes posiciones de \(P\) a medida que se desplaza posteriormente desde una posición \(90^\c \) hasta una posición \(180^\c \):

En esta fase del movimiento, la longitud \(OQ\c) aumenta, desde un mínimo de 0 en \(90^\c \), hasta un máximo de 1 en \(180^\c \c).

Aunque la longitud o magnitud de \(OQ\) aumenta, pero el valor algebraico de \(OQ\)aumentará debido a su dirección que es a lo largo del eje y negativo.

Así, el valor de la función coseno para el ángulo x disminuye.

Continuamos trazando esta variación en la misma gráfica que hemos trazado anteriormente:

Caso 3: Variación de OQ en el tercer cuadrante.

Cuando \(P\) pasa de una posición de \(180^\c \) a una posición de \(270^\c \), aunque la longitud o magnitud de \(OQ\) disminuye, pero como la dirección es a lo largo del eje y negativo, el valor real OQ aumenta de -1 a 0.

Así, el valor de la función coseno para el ángulo x aumenta.

Agregamos esta variación a nuestra gráfica:

Caso 4: Variación de OQ en el cuarto cuadrante.

Finalmente, cuando \(P\) pasa de una posición de \(180^\c \) a una posición de \(360^\c \), \(OQ\) aumenta de \( 0\) a 1.

La gráfica así obtenida se muestra a continuación:

Fusionando la respuesta de variación del valor de \(OQ\) para los cuatro cuadrantes, obtuvimos la gráfica completa de OQ vs x o cos x vs x, para un ciclo completo de \(0\) radianes a \(2 \pi \) radianes((0^\c a 360^\c)\c).

¿Qué ocurre cuando \(P\) se mueve ahora más lejos? Vuelve a empezar el mismo ciclo de variación.

Así, si extendemos la función coseno para que tome todas las entradas reales, obtenemos la siguiente gráfica de la función coseno: