Ecuația diferențială Hill

În matematică, ecuația Hill sau ecuația diferențială Hill este ecuația diferențială ordinară liniară de ordinul doi

d 2 y d t 2 + f ( t ) y = 0 , {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+f(t)y=0,}

unde f ( t ) {\displaystyle f(t)} este o funcție periodică cu perioada minimă π {\displaystyle \pi } . Prin acestea înțelegem că pentru orice t {\displaystyle t}

f ( t + π ) = f ( t ) , {\displaystyle f(t+\pi )=f(t),}

și dacă p {\displaystyle p} este un număr cu 0 < p < π {\displaystyle 0<p<\pi } , ecuația f ( t + p ) = f ( t ) {\displaystyle f(t+p)=f(t)} trebuie să eșueze pentru un anumit t {\displaystyle t}. . Este numită după George William Hill, care a introdus-o în 1886.

Pentru că f ( t ) {\displaystyle f(t)} are perioada π {\displaystyle \pi } , ecuația Hill poate fi rescrisă folosind seria Fourier a lui f ( t ) {\displaystyle f(t)} :

d 2 y d t 2 + ( θ 0 + 2 ∑ n = 1 ∞ θ n cos ( 2 n t ) + ∑ m = 1 ∞ ϕ m sin ( 2 m t ) ) ) y = 0. {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\left(\theta _{0}+2\sum _{n=1}^{\infty }\theta _{n}\cos(2nt)+\sum _{m=1}^{\infty }\phi _{m}\sin(2mt)\right)y=0. }

Cazuri speciale importante ale ecuației lui Hill includ ecuația lui Mathieu (în care sunt incluși doar termenii corespunzători lui n = 0, 1) și ecuația lui Meissner.

Ecuația lui Hill este un exemplu important în înțelegerea ecuațiilor diferențiale periodice. În funcție de forma exactă a lui f ( t ) {\displaystyle f(t)}. , soluțiile pot rămâne mărginite pentru tot timpul, sau amplitudinea oscilațiilor din soluții poate crește exponențial. Forma precisă a soluțiilor la ecuația lui Hill este descrisă de teoria Floquet. Soluțiile pot fi, de asemenea, scrise în termeni de determinanți ai lui Hill.

În afară de aplicația sa originală la stabilitatea lunară, ecuația Hill apare în multe contexte, inclusiv în modelarea unui spectrometru de masă cvadripolar, ca ecuație Schrödinger unidimensională a unui electron într-un cristal, în optica cuantică a sistemelor cu două niveluri și în fizica acceleratoarelor.

.