Equazione differenziale di Hill

In matematica, l’equazione di Hill o equazione differenziale di Hill è l’equazione differenziale ordinaria lineare del secondo ordine

d 2 y d t 2 + f ( t ) y = 0 , {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}+f(t)y=0,}

dove f ( t ) {\displaystyle f(t)} è una funzione periodica per periodo minimo π {displaystyle \pi } . Con questo intendiamo che per tutti i t {displaystyle t}

f ( t + π ) = f ( t ) , {displaystyle f(t+\pi )=f(t),}

e se p {displaystyle p} è un numero con 0 < p < π {\displaystyle 0<p<\pi } , l’equazione f ( t + p ) = f ( t ) {displaystyle f(t+p)=f(t)} deve fallire per qualche t {displaystyle t} . Prende il nome da George William Hill, che lo introdusse nel 1886.

Perché f ( t ) {displaystyle f(t)} ha periodo π {displaystyle \pi } , l’equazione di Hill può essere riscritta usando la serie di Fourier di f ( t ) {displaystyle f(t)} :

d 2 y d t 2 + ( θ 0 + 2 ∑ n = 1 ∞ θ n cos ( 2 n t ) + ∑ m = 1 ∞ ϕ m sin ( 2 m t ) ) y = 0. {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+sinistra(\theta _{0}+2sum _{n=1}^{infty }theta _{n}cos(2nt)+\sum _{m=1}^{infty }\phi _{m}sin(2mt)\destra)y=0.}

Casi speciali importanti dell’equazione di Hill includono l’equazione di Mathieu (in cui solo i termini corrispondenti a n = 0, 1 sono inclusi) e l’equazione di Meissner.

L’equazione di Hill è un esempio importante nella comprensione delle equazioni differenziali periodiche. A seconda della forma esatta di f ( t ) {displaystyle f(t)} , le soluzioni possono rimanere limitate per tutto il tempo, o l’ampiezza delle oscillazioni delle soluzioni può crescere esponenzialmente. La forma precisa delle soluzioni dell’equazione di Hill è descritta dalla teoria di Floquet. Le soluzioni possono anche essere scritte in termini di determinanti di Hill.

A parte la sua applicazione originale alla stabilità lunare, l’equazione di Hill appare in molti contesti tra cui la modellazione di uno spettrometro di massa a quadrupolo, come equazione di Schrödinger unidimensionale di un elettrone in un cristallo, ottica quantistica di sistemi a due livelli, e nella fisica degli acceleratori.