Równanie różniczkowe Hilla

W matematyce równanie Hilla lub równanie różniczkowe Hilla to liniowe równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu

d 2 y d t 2 + f ( t ) y = 0 , {{displaystyle {{frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+f(t)y=0,}

gdzie f ( t ) {{displaystyle f(t)} jest funkcją okresową o okresie minimalnym π {displaystyle \i } . Rozumiemy przez to, że dla wszystkich t {{displaystyle t}

f ( t + π ) = f ( t ) , {displaystyle f(t+ π )=f(t),}

i jeśli p {displaystyle p} jest liczbą o wartości 0 < p < π {displaystyle 0<p<pi } , równanie f ( t + p ) = f ( t ) { {displaystyle f(t+p)=f(t)} musi zawieść dla jakiegoś t {{displaystyle t} . Nazwa pochodzi od nazwiska George’a Williama Hilla, który wprowadził ją w 1886 roku.

Because f ( t ) {displaystyle f(t)} ma okres π {displaystyle \i } , równanie Hilla może być przepisane przy użyciu szeregu Fouriera f ( t ) {displaystyle f(t)} :

d 2 y d t 2 + ( θ 0 + 2 ∑ n = 1 ∞ θ n cos ( 2 n t ) + ∑ m = 1 ∞ ϕ m sin ( 2 m t ) ) y = 0. {displaystyle { {frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+left(\theta _{0}+2\sum _{n=1}^{infty } \theta _{n} \cos(2nt)+\sum _{m=1}^{infty } \phi _{m} \sin(2mt)\right)y=0.}

Ważne przypadki szczególne równania Hilla obejmują równanie Mathieu (w którym uwzględnione są tylko wyrażenia odpowiadające n = 0, 1) oraz równanie Meissnera.

Równanie Hilla jest ważnym przykładem w zrozumieniu równań różniczkowych okresowych. W zależności od dokładnego kształtu f ( t ) {{displaystyle f(t)} , rozwiązania mogą pozostawać związane przez cały czas, lub amplituda oscylacji w rozwiązaniach może rosnąć wykładniczo. Dokładna postać rozwiązań równania Hilla opisana jest przez teorię Floqueta. Rozwiązania mogą być również zapisane w kategoriach wyznaczników Hilla.

Oprócz pierwotnego zastosowania do stabilizacji księżyca, równanie Hilla pojawia się w wielu sytuacjach, w tym w modelowaniu kwadrupolowego spektrometru masowego, jako jednowymiarowe równanie Schrödingera elektronu w krysztale, optyce kwantowej układów dwupoziomowych oraz w fizyce akceleratorów.

.