Hill differentialligning

I matematikken er Hillligningen eller Hilldifferentialligningen den andenordens lineære ordinære ordinære differentialligning

d 2 y d t 2 + f ( t ) y = 0 , {\displaystyle {\frac {\frac {d^{{2}y}{dt^{2}}}}+f(t)y=0,}

hvor f ( t ) {\displaystyle f(t)} er en periodisk funktion med minimal periode π {\displaystyle \pi } . Hermed mener vi, at for alle t {\displaystyle t}

f ( t + π ) = f ( t ) , {\displaystyle f(t+\pi )=f(t),}

og hvis p {\displaystyle p} er et tal med 0 < p < π {\displaystyle 0<p<\pi } , er ligningen f ( t + p ) = f ( t ) {\displaystyle f(t+p)=f(t)} må fejle for et bestemt t {\displaystyle t} . Den er opkaldt efter George William Hill, som introducerede den i 1886.

Da f ( t ) {\displaystyle f(t)} har perioden π {{\displaystyle \pi } , kan Hill ligningen omskrives ved hjælp af Fourierrækken for f ( t ) {\displaystyle f(t)} :

d 2 y d t 2 + ( θ 0 + 2 ∑ n = 1 ∞ θ n cos ( 2 n t ) + ∑ m = 1 ∞ ϕ m sin ( 2 m t ) ) y = 0. {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\left(\theta _{0}+2\sum _{n=1}^{\infty }\theta _{n}\cos(2nt)+\sum _{m=1}^{\infty }\phi _{m}\sin(2mt)\right)y=0.}

Vigtige specialtilfælde af Hill’s ligning omfatter Mathieu-ligningen (hvor kun termerne svarende til n = 0, 1 er medtaget) og Meissner-ligningen.

Hill’s ligning er et vigtigt eksempel i forståelsen af periodiske differentialligninger. Afhængigt af den nøjagtige form af f ( t ) {\displaystyle f(t)} , kan løsningerne forblive afgrænsede i hele tiden, eller amplituden af svingningerne i løsningerne kan vokse eksponentielt. Den præcise form af løsningerne til Hill’s ligning er beskrevet af Floquet-teorien. Løsningerne kan også skrives i form af Hill-determinanter.

Suden sin oprindelige anvendelse på månens stabilitet optræder Hill-ligningen i mange sammenhænge, herunder modellering af et quadrupol-massespektrometer, som den endimensionelle Schrödinger-ligning for en elektron i en krystal, kvanteoptik af to-niveau-systemer og i acceleratorfysik.