Hillsche Differentialgleichung

In der Mathematik ist die Hill-Gleichung oder Hill-Differentialgleichung die lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung

d 2 y d t 2 + f ( t ) y = 0 , {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+f(t)y=0,}

wobei f ( t ) {\displaystyle f(t)} eine periodische Funktion mit minimaler Periode π {\displaystyle \pi } . Damit meinen wir, dass für alle t {\displaystyle t}

f ( t + π ) = f ( t ) , {\displaystyle f(t+\pi )=f(t),}

und wenn p {\displaystyle p} eine Zahl ist mit 0 < p < π {\displaystyle 0<p<\pi } , die Gleichung f ( t + p ) = f ( t ) {\displaystyle f(t+p)=f(t)} muss für irgendein t {\displaystyle t} . Sie ist nach George William Hill benannt, der sie 1886 eingeführt hat.

Weil f ( t ) {\displaystyle f(t)} hat die Periode π {\displaystyle \pi } , kann die Hill-Gleichung mit Hilfe der Fourier-Reihe von f ( t ) {\displaystyle f(t)} neu geschrieben werden :

d 2 y d t 2 + ( θ 0 + 2 ∑ n = 1 ∞ θ n cos ( 2 n t ) + ∑ m = 1 ∞ ϕ m sin ( 2 m t ) ) y = 0. {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\left(\theta _{0}+2\sum _{n=1}^{\infty }\theta _{n}\cos(2nt)+\sum _{m=1}^{\infty }\phi _{m}\sin(2mt)\right)y=0.}

Wichtige Spezialfälle der Hillschen Gleichung sind die Mathieu-Gleichung (in der nur die Terme zu n = 0, 1 enthalten sind) und die Meissner-Gleichung.

Die Hillsche Gleichung ist ein wichtiges Beispiel für das Verständnis periodischer Differentialgleichungen. Je nach der genauen Form von f ( t ) {\displaystyle f(t)} können die Lösungen für alle Zeit begrenzt bleiben oder die Amplitude der Schwingungen in den Lösungen kann exponentiell wachsen. Die genaue Form der Lösungen der Hillschen Gleichung wird durch die Floquet-Theorie beschrieben. Lösungen können auch in Form von Hill-Determinanten geschrieben werden.

Abgesehen von ihrer ursprünglichen Anwendung auf die Mondstabilität findet die Hill-Gleichung in vielen Bereichen Anwendung, darunter die Modellierung eines Quadrupol-Massenspektrometers, als eindimensionale Schrödinger-Gleichung eines Elektrons in einem Kristall, in der Quantenoptik von Zwei-Niveau-Systemen und in der Beschleunigerphysik.