Hill differentialekvation

I matematiken är Hillsekvationen eller Hilldifferentialekvationen den linjära ordinära differentialekvationen av andra ordningen

d 2 y d t 2 + f ( t ) y = 0 , {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+f(t)y=0,}

där f ( t ) {\displaystyle f(t)} är en periodisk funktion med minimal period π {\displaystyle \pi } . Med dessa menar vi att för alla t {\displaystyle t}

f ( t + π ) = f ( t ) , {\displaystyle f(t+\pi )=f(t),}

och om p {\displaystyle p} är ett tal med 0 < p < π {\displaystyle 0<p<\pi } , är ekvationen f ( t + p ) = f ( t ) {\displaystyle f(t+p)=f(t)} måste misslyckas för ett visst t {\displaystyle t} . Den är uppkallad efter George William Hill, som introducerade den 1886.

För att f ( t ) {\displaystyle f(t)} har perioden π {\displaystyle \pi } , kan Hill-ekvationen skrivas om med hjälp av Fourier-serien för f ( t ) {\displaystyle f(t)} :

d 2 y d t 2 + ( θ 0 + 2 ∑ n = 1 ∞ θ n cos ( 2 n t ) + ∑ m = 1 ∞ ϕ m sin ( 2 m t ) ) y = 0. {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\left(\theta _{0}+2\sum _{n=1}^{\infty }\theta _{n}\cos(2nt)+\sum _{m=1}^{\infty }\phi _{m}\sin(2mt)\right)y=0.}

Viktiga specialfall av Hills ekvation är bland annat Mathieu-ekvationen (där endast termerna som motsvarar n = 0, 1 ingår) och Meissner-ekvationen.

Hills ekvation är ett viktigt exempel för förståelsen av periodiska differentialekvationer. Beroende på den exakta formen av f ( t ) {\displaystyle f(t)} kan lösningarna förbli avgränsade under hela tiden, eller så kan amplituden av svängningarna i lösningarna växa exponentiellt. Den exakta formen på lösningarna till Hills ekvation beskrivs av Floquet-teorin. Lösningarna kan också skrivas i termer av Hill-determinanter.

Bortsett från dess ursprungliga tillämpning på månens stabilitet förekommer Hill-ekvationen i många sammanhang, bl.a. vid modellering av en fyrpolig masspektrometer, som den endimensionella Schrödinger-ekvationen för en elektron i en kristall, kvantoptik för tvånivåsystem och inom acceleratorfysik.