Equação diferencial de Hill

Em matemática, a equação de Hill ou equação diferencial de Hill é a equação diferencial linear ordinária de segunda ordem

d 2 y d t 2 + f ( t ) y = 0 , estilo de jogo f(t)y=0,

where f ( t ) estilo de jogo f(t)} é uma função periódica por período mínimo π {\f(t)} . Com estes queremos dizer que para todos os t {\i1}

f ( t + π ) = f ( t ) , {\f(t+\pi )=f(t),}

e se p {\f(t),} é um número com 0 < p < π {\displaystyle 0<p<\pi } , a equação f ( t + p ) = f ( t ) {\displaystyle f(t+p)=f(t)} deve falhar para algum t {\i1}displaystyle t . Tem o nome de George William Hill, que o introduziu em 1886.

Porque f ( t ) f(t)} tem período π {\i}displaystyle , a equação Hill pode ser reescrita usando a série Fourier de f ( t ) f(t)} :

d 2 y d t 2 + ( θ 0 + 2 ∑ n = 1 ∞ θ n cos ( 2 n t ) + ∑ m = 1 ∞ ϕ m sin ( 2 m t ) ) y = 0.

Casos especiais importantes da equação de Hill incluem a equação de Mathieu (na qual apenas os termos correspondentes a n = 0, 1 estão incluídos) e a equação de Meissner.

A equação de Hill é um exemplo importante na compreensão das equações diferenciais periódicas. Dependendo da forma exata de f ( t ) {\displaystyle f(t)} , as soluções podem permanecer limitadas por todo o tempo, ou a amplitude das oscilações nas soluções pode crescer exponencialmente. A forma precisa das soluções para a equação de Hill é descrita pela teoria de Floquet. Soluções também podem ser escritas em termos de determinantes de Hill.

Além de sua aplicação original à estabilidade lunar, a equação de Hill aparece em muitos cenários, incluindo a modelagem de um espectrômetro de massa quadripolar, como a equação unidimensional de Schrödinger de um elétron em um cristal, ótica quântica de sistemas de dois níveis, e em física aceleradora.