Análise harmônica

Análise harmônica, procedimento matemático para descrever e analisar fenômenos de natureza periodicamente recorrentes. Muitos problemas complexos foram reduzidos a termos manejáveis pela técnica de quebrar curvas matemáticas complicadas em somas de componentes relativamente simples.

Muitos fenômenos físicos, tais como ondas sonoras, correntes elétricas alternadas, marés e movimentos e vibrações de máquinas, podem ser de caráter periódico. Tais movimentos podem ser medidos em vários valores sucessivos da variável independente, geralmente o tempo, e esses dados ou uma curva traçada a partir deles representarão uma função dessa variável independente. Geralmente, a expressão matemática para a função será desconhecida. Entretanto, com as funções periódicas encontradas na natureza, a função pode ser expressa como a soma de um número de termos senoidais e cosseno. Tal soma é conhecida como série de Fourier, após o matemático francês Joseph Fourier (1768-1830), e a determinação dos coeficientes desses termos é chamada de análise harmônica. Um dos termos de uma série de Fourier tem um período igual ao da função, f(x), e é chamado de fundamental. Outros termos têm períodos reduzidos que são sub-múltiplos integrais do fundamental; estes são chamados de harmônicos. A terminologia deriva de uma das primeiras aplicações, o estudo das ondas sonoras criadas por um violino (ver análise: origens musicais e análise de Fourier).

Em 1822 Fourier afirmou que uma função y = f(x) poderia ser expressa entre os limites x = 0 e x = 2π pela série infinita que agora é dada na forma desde que a função seja de valor único, finita e contínua, exceto por um número finito de descontinuidades, e ondeepara k ≥ 0. Com a restrição adicional de haver apenas um número finito de extremos (máximos e mínimos locais), o teorema foi provado pelo matemático alemão Peter Lejeune Dirichlet em 1829.

O uso de um número maior de termos aumentará a precisão da aproximação, e as grandes quantidades de cálculos necessários são melhor feitas por máquinas chamadas analisadores harmônicos (ou de espectro); estes medem as amplitudes relativas dos componentes sinusoidais de uma função periodicamente recorrente. O primeiro instrumento desse tipo foi inventado pelo matemático e físico britânico William Thomson (mais tarde Barão Kelvin) em 1873. Esta máquina, utilizada para a análise harmônica de observações de marés, incorporou 11 conjuntos de integradores mecânicos, um para cada harmônico a ser medido. Uma máquina ainda mais complicada, manipulando até 80 coeficientes, foi projetada em 1898 pelos físicos americanos Albert Abraham Michelson e Samuel W. Stratton.

Máquinas e métodos precursores que fazem uso de uma curva ou conjunto de dados determinados experimentalmente. No caso de correntes eléctricas ou tensões, é possível um método completamente diferente. Em vez de fazer um registro oscilográfico da tensão ou corrente e analisá-la matematicamente, a análise é feita diretamente sobre a quantidade elétrica, registrando a resposta, uma vez que a freqüência natural de um circuito sintonizado é variada através de uma ampla faixa. Assim, os analisadores e sintetizadores harmónicos do século XX tendem a ser electromecânicos em vez de dispositivos puramente mecânicos. Os analisadores modernos exibem visualmente os sinais modulados em freqüência por meio de um tubo de raios catódicos, e os princípios digitais ou analógicos do computador são usados para realizar a análise de Fourier automaticamente, obtendo assim aproximações de grande precisão.