Harmonische Analyse

Harmonische Analyse, mathematisches Verfahren zur Beschreibung und Analyse von Phänomenen periodisch wiederkehrender Natur. Viele komplexe Probleme wurden durch die Technik der Zerlegung komplizierter mathematischer Kurven in Summen vergleichsweise einfacher Komponenten auf handhabbare Begriffe reduziert.

Viele physikalische Phänomene, wie Schallwellen, elektrische Wechselströme, Gezeiten und Maschinenbewegungen und -vibrationen, können periodischen Charakter haben. Solche Bewegungen können bei einer Reihe von aufeinanderfolgenden Werten der unabhängigen Variablen, in der Regel der Zeit, gemessen werden, und diese Daten oder eine daraus abgeleitete Kurve stellen eine Funktion dieser unabhängigen Variablen dar. Im Allgemeinen ist der mathematische Ausdruck für diese Funktion unbekannt. Bei den in der Natur vorkommenden periodischen Funktionen kann die Funktion jedoch als Summe einer Reihe von Sinus- und Kosinustermen ausgedrückt werden. Eine solche Summe wird als Fourier-Reihe bezeichnet, nach dem französischen Mathematiker Joseph Fourier (1768-1830), und die Bestimmung der Koeffizienten dieser Terme wird als harmonische Analyse bezeichnet. Einer der Terme einer Fourier-Reihe hat eine Periode, die der der Funktion f(x) entspricht, und wird als Grundwelle bezeichnet. Andere Terme haben verkürzte Perioden, die ganzzahlige Untervielfache der Grundschwingung sind; diese werden als Oberschwingungen bezeichnet. Die Terminologie leitet sich von einer der frühesten Anwendungen ab, der Untersuchung der von einer Geige erzeugten Schallwellen (siehe Analyse: Musikalische Ursprünge und Fourier-Analyse).

Im Jahr 1822 stellte Fourier fest, dass eine Funktion y = f(x) zwischen den Grenzwerten x = 0 und x = 2π durch die unendliche Reihe ausgedrückt werden kann, die nun in der Formgegeben ist, vorausgesetzt, die Funktion ist einwertig, endlich und bis auf eine endliche Anzahl von Unstetigkeiten stetig, und woundfür k ≥ 0. Mit der weiteren Einschränkung, dass es nur eine endliche Anzahl von Extremwerten (lokale Maxima und Minima) gibt, wurde der Satz 1829 von dem deutschen Mathematiker Peter Lejeune Dirichlet bewiesen.

Die Verwendung einer größeren Anzahl von Termen erhöht die Genauigkeit der Annäherung, und die großen Mengen an Berechnungen, die erforderlich sind, werden am besten von Maschinen durchgeführt, die als harmonische (oder Spektrum-) Analysatoren bezeichnet werden; diese messen die relativen Amplituden von sinusförmigen Komponenten einer periodisch wiederkehrenden Funktion. Das erste Gerät dieser Art wurde 1873 von dem britischen Mathematiker und Physiker William Thomson (später Baron Kelvin) erfunden. Diese Maschine, die für die harmonische Analyse von Gezeitenbeobachtungen verwendet wurde, bestand aus 11 mechanischen Integratoren, einen für jede zu messende Harmonische. Eine noch kompliziertere Maschine, die bis zu 80 Koeffizienten verarbeiten konnte, wurde 1898 von den amerikanischen Physikern Albert Abraham Michelson und Samuel W. Stratton entwickelt.

Frühe Maschinen und Methoden nutzten eine experimentell ermittelte Kurve oder einen Satz von Daten. Im Falle von elektrischen Strömen oder Spannungen ist eine ganz andere Methode möglich. Anstatt die Spannung oder den Strom oszillographisch aufzuzeichnen und mathematisch zu analysieren, wird die Analyse direkt an der elektrischen Größe durchgeführt, indem die Reaktion aufgezeichnet wird, wenn die Eigenfrequenz eines abgestimmten Kreises über einen weiten Bereich variiert wird. Die Oberwellenanalysatoren und Synthesizer des 20. Jahrhunderts waren daher eher elektromechanische als rein mechanische Geräte. Jahrhundert eher elektromechanische als rein mechanische Geräte. Moderne Analysatoren stellen die frequenzmodulierten Signale mit Hilfe einer Kathodenstrahlröhre visuell dar, und die Fourier-Analyse wird mit Hilfe digitaler oder analoger Computerprinzipien automatisch durchgeführt, wodurch Annäherungen von großer Genauigkeit erreicht werden.