Harmonická analýza

Harmonická analýza, matematický postup pro popis a analýzu jevů periodicky se opakující povahy. Mnoho složitých problémů bylo redukováno na zvládnutelné pojmy pomocí techniky rozkladu složitých matematických křivek na součty relativně jednoduchých složek.

Mnoho fyzikálních jevů, jako jsou zvukové vlny, střídavé elektrické proudy, příliv a odliv, pohyby a vibrace strojů, může mít periodický charakter. Takové pohyby lze měřit při řadě po sobě jdoucích hodnot nezávislé proměnné, obvykle času, a tyto údaje nebo z nich vynesená křivka budou představovat funkci této nezávislé proměnné. Obecně platí, že matematické vyjádření funkce bude neznámé. U periodických funkcí, které se vyskytují v přírodě, však lze funkci vyjádřit jako součet několika sinusových a kosinusových členů. Takový součet se nazývá Fourierova řada podle francouzského matematika Josepha Fouriera (1768-1830) a určení koeficientů těchto členů se nazývá harmonická analýza. Jeden z členů Fourierovy řady má periodu rovnou periodě funkce f(x) a nazývá se základní. Ostatní členy mají zkrácené periody, které jsou integrálními podnásobky fundamentu; ty se nazývají harmonické. Terminologie pochází z jedné z prvních aplikací, ze studia zvukových vln vytvářených houslemi (viz analýza: Hudební počátky a Fourierova analýza).

V roce 1822 Fourier uvedl, že funkci y = f(x) lze mezi hranicemi x = 0 a x = 2π vyjádřit nekonečnou řadou, která je nyní dána ve tvaruza předpokladu, že funkce je jednohodnotová, konečná a spojitá s výjimkou konečného počtu nespojitostí, a kdeapro k ≥ 0. V roce 1822 Fourier uvedl, že funkce y = f(x) může být vyjádřena nekonečnou řadou. S dalším omezením, že existuje pouze konečný počet extrémů (lokálních maxim a minim), větu dokázal německý matematik Peter Lejeune Dirichlet v roce 1829.

Použití většího počtu členů zvýší přesnost aproximace a velké množství potřebných výpočtů nejlépe provedou stroje zvané harmonické (nebo spektrální) analyzátory; ty měří relativní amplitudy sinusových složek periodicky se opakující funkce. První takový přístroj vynalezl britský matematik a fyzik William Thomson (později baron Kelvin) v roce 1873. Tento přístroj, používaný k harmonické analýze pozorování přílivu a odlivu, obsahoval 11 sad mechanických integrátorů, jeden pro každou měřenou harmonickou. Ještě složitější stroj, který zvládal až 80 koeficientů, zkonstruovali v roce 1898 američtí fyzikové Albert Abraham Michelson a Samuel W. Stratton.

Rané stroje a metody využívaly experimentálně určenou křivku nebo soubor dat. V případě elektrických proudů nebo napětí je možná zcela jiná metoda. Místo provedení oscilografického záznamu napětí nebo proudu a jeho matematické analýzy se analýza provádí přímo na elektrické veličině záznamem odezvy při změně vlastní frekvence naladěného obvodu v širokém rozsahu. Harmonické analyzátory a syntetizátory 20. století tak byly spíše elektromechanickými než čistě mechanickými zařízeními. Moderní analyzátory zobrazují frekvenčně modulované signály vizuálně pomocí katodové trubice a k automatickému provádění Fourierovy analýzy se používají digitální nebo analogové počítačové principy, čímž se dosahuje aproximací s velkou přesností

.