Differentiaalvergelijking van Hill

In de wiskunde is de Hill-vergelijking of Hill-differentiaalvergelijking de tweede-orde lineaire gewone differentiaalvergelijking

d 2 y d t 2 + f ( t ) y = 0 , {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}+f(t)y=0,}

waarbij f ( t ) {\displaystyle f(t)} een periodieke functie is met als minimale periode π {\displaystyle \pi } . Hiermee bedoelen we dat voor alle t {\displaystyle t}

f ( t + π ) = f ( t ) , {\displaystyle f(t+\pi )=f(t),}

en als p {\displaystyle p} een getal is met 0 < p < π {\displaystyle 0<p<pi } , de vergelijking f ( t + p ) = f ( t ) {{displaystyle f(t+p)=f(t)} moet voor sommige t {{Displaystyle t}} mislukken. . Het is genoemd naar George William Hill, die het in 1886 introduceerde.

Omdat f ( t ) {\displaystyle f(t)} periode π {\displaystyle \pi } , kan de Hill vergelijking worden herschreven met behulp van de Fourier reeksen van f ( t ) {\displaystyle f(t)} :

d 2 y d t 2 + ( θ 0 + 2 ∑ n = 1 ∞ θ n cos ( 2 n t ) + ∑ m = 1 ∞ ϕ m sin ( 2 m t ) ) y = 0. {\displaystyle {{frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+[\theta _{0}+2\sum _{n=1}^{\infty }\theta _{n}\cos(2nt)+\sum _{m=1}^{\infty }\phi _{m}\sin(2mt)\right)y=0.}

Belangrijke speciale gevallen van de vergelijking van Hill zijn de vergelijking van Mathieu (waarin alleen de termen corresponderend met n = 0, 1 zijn opgenomen) en de vergelijking van Meissner.

De vergelijking van Hill is een belangrijk voorbeeld voor het begrip van periodieke differentiaalvergelijkingen. Afhankelijk van de exacte vorm van f ( t ) {\displaystyle f(t)} , kunnen oplossingen de hele tijd begrensd blijven, of kan de amplitude van de oscillaties in oplossingen exponentieel groeien. De precieze vorm van de oplossingen van de vergelijking van Hill wordt beschreven door de theorie van Floquet. De oplossingen kunnen ook worden geschreven in termen van Hill determinanten.

Naast de oorspronkelijke toepassing op de stabiliteit van de maan, verschijnt de Hill vergelijking in vele settings, waaronder de modellering van een quadrupool massaspectrometer, als de eendimensionale Schrödinger vergelijking van een elektron in een kristal, kwantumoptica van twee-level systemen, en in de versneller fysica.