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ヒル微分方程式

ヒル方程式（生化学）とは混同しないように。

数学では、ヒル方程式またはヒル微分方程式は、2階線形常微分方程式

d 2 y d t 2 + f ( t ) y = 0 …である。 597>{frac {d^{2}y}{dt^{2}}+f(t)y=0,}

where f ( t ) {displaystyle f(t)}} {d^{2}y}{dt^{2}}+f(t)y=0,} {displaystyle {dt(t)y}}{frac{d^{3}y}{dt{3}}{dt(t)y}{f(t)y}{dat(t) {displaystyle f(t)} is a periodic function by minimal period π {displaystyle \pi }. Phi 。 これらは、すべてのtに対して{displaystyle t}という意味です。 t

f ( t + π ) = f ( t ) , {displaystyle f(t+pi )=f(t),} {displaystyle f(t+pi )=f(t),}

and if p {displaystyle p} {t+π )=t+π}, {displaystyle f(t+π )=t+π}{displaystyle f(t+π )=f(t),}

p は 0 < p < π {displaystyle 0<p<pi } の数である。 {displaystyle 0ppi }, the equation f ( t + p ) = f ( t ) { {displaystyle f(t+p)=f(t)}, the equation f ( t + p ) = f ( t ) {displaystyle f(t+p)=f(t) }. {displaystyle f(t+p)=f(t)} must fail for some t {displaystyle t}. t. 1886年に発表したGeorge William Hillにちなんで名付けられた。

Because f ( t ) {displaystyle f(t)}. {displaystyle f(t)} has period π {displaystyle \pi }. pi とすると、Hill方程式はf ( t ) {displaystyle f(t)} のフーリエ級数を使って書き直されることになる。 {Thinkdisplaystyle f(t)}:

d 2 y d t 2 + ( θ 0 + 2 ∑ n = 1 ∞ θ n cos ( 2 n t ) + ∑ m = 1 ∞ ϕ m sin ( 2 m t ) ) y = 0.0.0.です。 {ddisplaystyle {frac {d^{2}y}{dt^{2}}+Centaleft(\theta _{0}+2}sum _{n=1}^{infty }theta _{n}cos(2nt)+sum _{m=1}^{infty }pi _{m}sin(2mt)\right)y=0.} ←クリックすると拡大します。 {frac {d^{2}y}{dt^{2}}+Centaleft(\theta _{0}+2sum _{n=1}}^{infty }}theta _{n}Cos(2nt)+Sum _{m=1}}^{infty }φ _{m}Chin(2mt)\right)y=0.

Hill方程式の重要な特殊例として、Mathieu方程式（n = 0, 1に対応する項のみを含む）、Meissner方程式がある。

Hill方程式は周期微分方程式を理解する上で重要な例であり、Hill方程式はMathieu方程式のように、n = 1に対応する項のみを含む。 f ( t ) {displaystyle f(t)} の正確な形状に依存する。 {Thinkdisplaystyle f(t)}では、解がずっと有界にとどまる場合と、解の振動の振幅が指数関数的に大きくなる場合がある。 Hill方程式の解の正確な形はFloquet理論で記述される。

月の安定性への当初の応用のほか、ヒル方程式は四重極質量分析計のモデル化、結晶中の電子の一次元シュレーディンガー方程式、二層系の量子光学、加速器物理など、多くの場面で登場する。

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