Hill differenciálegyenlet

A matematikában a Hill-egyenlet vagy Hill-differenciálegyenlet a másodrendű lineáris közönséges differenciálegyenlet

d 2 y d t 2 + f ( t ) y = 0 , {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}}+f(t)y=0,}

ahol f ( t ) {\displaystyle f(t)} egy minimális periódusú π {\displaystyle \pi } periodikus függvény. . Ez alatt azt értjük, hogy minden t {\displaystyle t}

f ( t + π ) = f ( t ) , {\displaystyle f(t+\pi )=f(t),}

és ha p {\displaystyle p} egy olyan szám, amelynek 0 < p < π {\displaystyle 0<p<\pi } p < p < π {\displaystyle 0<p<\pi } , az f ( t + p ) = f ( t ) egyenlet {\displaystyle f(t+p)=f(t)} bizonyos t {\displaystyle t} esetén meg kell buknia. . Nevét George William Hill után kapta, aki 1886-ban bevezette.

Mert f ( t ) {\displaystyle f(t)} {\displaystyle f(t)} periódusa π {\displaystyle \pi } {\displaystyle f(t)}. , a Hill-egyenlet átírható az f ( t ) {\displaystyle f(t)} Fourier-sorozatának segítségével. {\displaystyle f(t)}:

d 2 y d t 2 + ( θ 0 + 2 ∑ n = 1 ∞ θ n cos ( 2 n t ) + ∑ m = 1 ∞ ϕ m sin ( 2 m t ) ) y = 0. {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\left(\theta _{0}+2\sum _{n=1}^{\infty }\theta _{n}\cos(2nt)+\sum _{m=1}^{\infty }\phi _{m}\sin(2mt)\right)y=0.}

A Hill-egyenlet fontos speciális esetei közé tartozik a Mathieu egyenlet (amelyben csak az n = 0, 1 értékeknek megfelelő tagok szerepelnek) és a Meissner-egyenlet.

A Hill-egyenlet fontos példa a periodikus differenciálegyenletek megértésében. Az f ( t ) pontos alakjától függően {\displaystyle f(t)} {\displaystyle f(t)}, a megoldások egész idő alatt korlátos maradhatnak, vagy a megoldások oszcillációinak amplitúdója exponenciálisan nőhet. A Hill-egyenlet megoldásainak pontos alakját a Floquet-elmélet írja le. A megoldások Hill-determinánsok formájában is felírhatók.

A Hold stabilitására vonatkozó eredeti alkalmazásán kívül a Hill-egyenlet számos környezetben megjelenik, többek között egy négypólusú tömegspektrométer modellezésében, egy kristályban lévő elektron egydimenziós Schrödinger-egyenleteként, kétszintű rendszerek kvantumoptikájában és a gyorsító fizikában.