Équation différentielle de Hill

En mathématiques, l’équation de Hill ou équation différentielle de Hill est l’équation différentielle ordinaire linéaire du second ordre

d 2 y d t 2 + f ( t ) y = 0 , {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}+f(t)y=0,}

où f ( t ) {\displaystyle f(t)} est une fonction périodique par période minimale π {\displaystyle \pi }. . On entend par là que pour tout t {\displaystyle t}

f ( t + π ) = f ( t ) , {\displaystyle f(t+\pi )=f(t),}

et si p {\displaystyle p} est un nombre avec 0 < p < π {\displaystyle 0<p<\pi } , l’équation f ( t + p ) = f ( t ) {\displaystyle f(t+p)=f(t)} doit échouer pour un certain t{displaystyle t} . Elle doit son nom à George William Hill, qui l’a introduite en 1886.

Parce que f ( t ) {\displaystyle f(t)} a une période π {\displaystyle \pi } , l’équation de Hill peut être réécrite en utilisant la série de Fourier de f ( t ) {\displaystyle f(t)} :

d 2 y d t 2 + ( θ 0 + 2 ∑ n = 1 ∞ θ n cos ( 2 n t ) + ∑ m = 1 ∞ ϕ m sin ( 2 m t ) ) y = 0. {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}+\left(\theta _{0}+2\sum _{n=1}^{\infty }\theta _{n}\cos(2nt)+\sum _{m=1}^{\infty }\phi _{m}\sin(2mt)\right)y=0.}

Des cas particuliers importants de l’équation de Hill incluent l’équation de Mathieu (dans laquelle seuls les termes correspondant à n = 0, 1 sont inclus) et l’équation de Meissner.

L’équation de Hill est un exemple important dans la compréhension des équations différentielles périodiques. Selon la forme exacte de f ( t ) {\displaystyle f(t)} , les solutions peuvent rester bornées pendant tout le temps, ou l’amplitude des oscillations des solutions peut croître exponentiellement. La forme précise des solutions de l’équation de Hill est décrite par la théorie de Floquet. Les solutions peuvent également être écrites en termes de déterminants de Hill.

En dehors de son application originale à la stabilité lunaire, l’équation de Hill apparaît dans de nombreux contextes, y compris la modélisation d’un spectromètre de masse quadripolaire, comme l’équation de Schrödinger unidimensionnelle d’un électron dans un cristal, l’optique quantique des systèmes à deux niveaux, et dans la physique des accélérateurs.