Hillin differentiaaliyhtälö

Matematiikassa Hillin yhtälö tai Hillin differentiaaliyhtälö on toisen asteen lineaarinen tavallinen differentiaaliyhtälö

d 2 y d t 2 + f ( t ) y = 0 , {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+f(t)y=0,} {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}{dt^{2}}}+f(t)y=0,

jossa f ( t ) {\displaystyle f(t)} on jaksollinen funktio minimijaksolla π {\displaystyle \pi } . Näillä tarkoitamme, että kaikilla t {\displaystyle t}

f ( t + π ) = f ( t ) , {\displaystyle f(t+\pi )=f(t),}

ja jos p {\displaystyle p} on luku, jossa 0 < p < π {\displaystyle 0<p<\pi } , yhtälö f ( t + p ) = f ( t ) {\displaystyle f(t+p)=f(t)} täytyy epäonnistua jollekin t {\displaystyle t} . Se on nimetty George William Hillin mukaan, joka esitteli sen vuonna 1886.

Koska f ( t ) {\displaystyle f(t)} {\displaystyle f(t)} on periodi π {\displaystyle \pi } . , Hillin yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen f ( t ) {\displaystyle f(t)} Fourier-sarjan avulla. {\displaystyle f(t)}:

d 2 y d t 2 + ( θ 0 + 2 ∑ n = 1 ∞ θ n cos ( 2 n t ) + ∑ m = 1 ∞ ϕ m sin ( 2 m t ) ) y = 0. {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\left(\theta _{0}+2\sum _{n=1}^{\infty }\theta _{n}\cos(2nt)+\sum _{m=1}^{\infty }\phi _{m}\sin(2mt)\right)y=0.}

Hillin yhtälön tärkeitä erikoistapauksia ovat Mathieun yhtälö (jossa vain n = 0, 1 vastaavat termit ovat mukana) ja Meissnerin yhtälö.

Hillin yhtälö on tärkeä esimerkki jaksollisten differentiaaliyhtälöiden ymmärtämisessä. Riippuen f ( t ) tarkasta muodosta {\displaystyle f(t)} {\displaystyle f(t)}, ratkaisut voivat pysyä rajoittuneina koko ajan tai ratkaisujen värähtelyjen amplitudi voi kasvaa eksponentiaalisesti. Hillin yhtälön ratkaisujen tarkkaa muotoa kuvaa Floquet’n teoria. Ratkaisut voidaan kirjoittaa myös Hillin determinanttien avulla.

Sen lisäksi, että Hillin yhtälö on alun perin sovellettu kuun stabiilisuuteen, se esiintyy monissa yhteyksissä, kuten kvadrupolimassaspektrometrin mallintamisessa, elektronin yksiulotteisena Schrödingerin yhtälönä kiteessä, kaksitasoisten systeemien kvanttioptiikassa ja kiihdytinfysiikassa.