Ecuación diferencial de Hill

En matemáticas, la ecuación de Hill o ecuación diferencial de Hill es la ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden

d 2 y d t 2 + f ( t ) y = 0 , {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}+f(t)y=0,}

donde f ( t ) {\displaystyle f(t)} es una función periódica de período mínimo π {\displaystyle \pi } . Con esto queremos decir que para todo t {\displaystyle t}

f ( t + π ) = f ( t ) , {\displaystyle f(t+\pi )=f(t),}

y si p {\displaystyle p} es un número con 0 < p < π {\displaystyle 0<p<\pi } , la ecuación f ( t + p ) = f ( t ) {\displaystyle f(t+p)=f(t)} debe fallar para algún t {\displaystyle t} . Lleva el nombre de George William Hill, que la introdujo en 1886.

Porque f ( t) {\displaystyle f(t)} tiene periodo π {\displaystyle \pi } , la ecuación de Hill puede reescribirse utilizando la serie de Fourier de f ( t ) {\displaystyle f(t)} :

d 2 y d t 2 + ( θ 0 + 2 ∑ n = 1 ∞ θ n cos ( 2 n t ) + ∑ m = 1 ∞ ϕ m sin ( 2 m t ) ) y = 0. {\displaystyle {\frac {d^2}y}{dt^2}}+\left(\theta _{0}+2\sum _{n=1}^{infty }\theta _{n}\cos(2nt)+\fum _{m=1}^{infty }\phi _{m}\sin(2mt)\right)y=0.}

Casos especiales importantes de la ecuación de Hill incluyen la ecuación de Mathieu (en la que sólo se incluyen los términos correspondientes a n = 0, 1) y la ecuación de Meissner.

La ecuación de Hill es un ejemplo importante en la comprensión de las ecuaciones diferenciales periódicas. Dependiendo de la forma exacta de f ( t ) {\displaystyle f(t)} , las soluciones pueden permanecer acotadas durante todo el tiempo, o la amplitud de las oscilaciones de las soluciones puede crecer exponencialmente. La forma precisa de las soluciones de la ecuación de Hill se describe mediante la teoría de Floquet. Las soluciones también pueden escribirse en términos de determinantes de Hill.

Además de su aplicación original a la estabilidad lunar, la ecuación de Hill aparece en muchos escenarios, incluyendo el modelado de un espectrómetro de masas cuadrupolar, como la ecuación de Schrödinger unidimensional de un electrón en un cristal, la óptica cuántica de sistemas de dos niveles, y en la física de aceleradores.