Hillova diferenciální rovnice

V matematice je Hillova rovnice nebo Hillova diferenciální rovnice lineární obyčejná diferenciální rovnice druhého řádu

d 2 y d t 2 + f ( t ) y = 0 , {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+f(t)y=0,}

kde f ( t ) {\displaystyle f(t)} je periodická funkce s minimální periodou π {\displaystyle \pi } . Myslíme tím, že pro všechna t {\displaystyle t}

f ( t + π ) = f ( t ) , {\displaystyle f(t+\pi )=f(t),}

a jestliže p {\displaystyle p} je číslo s 0 < p < π {\displaystyle 0<p<\pi } , rovnice f ( t + p ) = f ( t ) {\displaystyle f(t+p)=f(t)} musí pro nějaké t {\displaystyle t} selhat. . Je pojmenována po Georgi Williamu Hillovi, který ji zavedl v roce 1886.

Protože f ( t ) {\displaystyle f(t)} má periodu π {\displaystyle \pi }. , lze Hillovu rovnici přepsat pomocí Fourierovy řady f ( t ) {\displaystyle f(t)}. :

d 2 y d t 2 + ( θ 0 + 2 ∑ n = 1 ∞ θ n cos ( 2 n t ) + ∑ m = 1 ∞ ϕ m sin ( 2 m t ) ) y = 0. {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\left(\theta _{0}+2\sum _{n=1}^{\infty }\theta _{n}\cos(2nt)+\sum _{m=1}^{\infty }\phi _{m}\sin(2mt)\right)y=0.}

Důležitými speciálními případy Hillovy rovnice jsou Mathieuova rovnice (v níž jsou zahrnuty pouze členy odpovídající n = 0, 1) a Meissnerova rovnice.

Hillova rovnice je důležitým příkladem pro pochopení periodických diferenciálních rovnic. V závislosti na přesném tvaru f ( t ) {\displaystyle f(t)}. , mohou řešení zůstat po celou dobu omezená, nebo amplituda oscilací v řešeních může růst exponenciálně. Přesný tvar řešení Hillovy rovnice popisuje Floquetova teorie. Řešení lze také zapsat v termínech Hillových determinantů.

Kromě původní aplikace na stabilitu Měsíce se Hillova rovnice objevuje v mnoha prostředích, včetně modelování kvadrupólového hmotnostního spektrometru, jako jednorozměrná Schrödingerova rovnice elektronu v krystalu, v kvantové optice dvouhladinových systémů a ve fyzice urychlovačů.

.