Spațiu Banach

Spațiu B

2010 Clasificare subiecte matematice: Primar: 46B Secundar: 46E15 $\newcommand{\abs}{\left|#1\right|}\newcommand{\norm}{\left\|#1\right\|}}\newcommand{\set}{\left\{#1\right\}}$

Un spațiu vectorial normat complet. Problemele implicate de spațiile Banach sunt de diferite tipuri: geometria bilei unitare, geometria subspațiilor, clasificarea topologică liniară, serii și secvențe în spații Banach, cele mai bune aproximări în spații Banach, funcții cu valori într-un spațiu Banach, etc. În ceea ce privește teoria operatorilor în spațiile Banach trebuie subliniat faptul că multe teoreme sunt direct legate de geometria și topologia spațiilor Banach.

Istorie

Spațiile de funcții introduse de D. Hilbert, M. Fréchet și F. Riesz între 1904 și 1918 au servit ca punct de plecare pentru teoria spațiilor Banach. În aceste spații au fost studiate inițial conceptele fundamentale de convergență puternică și slabă, compactitate, funcționalitate liniară, operator liniar etc. Spațiile Banach au fost denumite astfel după S. Banach, care în 1922 a început un studiu sistematic al acestor spații , bazat pe axiomele introduse de el însuși, și care a obținut rezultate foarte avansate.

Teoria spațiilor Banach s-a dezvoltat în paralel cu teoria generală a spațiilor topologice liniare. Aceste teorii s-au îmbogățit reciproc cu idei și fapte noi. Astfel, ideea de semi-norme, preluată din teoria spațiilor normate, a devenit un instrument indispensabil în construirea teoriei spațiilor topologice liniare local convexe. Ideile de convergență slabă a elementelor și a funcțiilor liniare în spațiile Banach au evoluat în cele din urmă către conceptul de topologie slabă. Teoria spațiilor Banach este o ramură temeinic studiată a analizei funcționale, cu numeroase aplicații în diverse ramuri ale matematicii – direct sau prin intermediul teoriei operatorilor.

Generalități

Un spațiu Banach $X$ este un spațiu vectorial pe $\R$ sau $\C$ cu o normă $\norm{\cdot}$ care este completă în raport cu această normă, adică orice secvență Cauchy în $X$ converge.

Pentru două spații Banach $X$, $Y$, se notează cu $B(X,Y)$ spațiul hărților liniare continue de la $X$ la $Y$. Acesta este în sine un spațiu Banach în raport cu norma$$\norm{T} = \sup_{x \neq 0} \frac{\norm{Tx}}}{\norm{x}}.$$

Exemple

Spațiile Banach întâlnite în analiză sunt în cea mai mare parte seturi de funcții sau secvențe de numere care sunt supuse anumitor condiții.

1. $\ell_p$, $p \geq 1$, este spațiul secvențelor numerice $\set{\xi_n}$ pentru care $$ \sum_{n=1}^\infty \abs{\xi_n}^p < \infty$$$ cu norma $$ \norm{x} = \left( \sum_{n=1}^\infty \abs{\xi_n}^p \right)^{1/p}. $$
2. $m$ este spațiul secvențelor numerice mărginite cu norma $$ \norm{x} = \sup_n\abs{\xi_n}. $$
3. $c$ este spațiul secvențelor numerice convergente cu norma $$norm{x} = \sup_n\abs{\xi_n}.$$
4. $c_0$ este spațiul secvențelor numerice care converg la zero cu norma $$ \norm{x} = \max_n\abs{\xi_n}.$$
5. $C$ este spațiul funcțiilor continue $x=x(t)$ pe $$ cu norma $$norm{x} = \max_{a \leq t \leq b}\abs{x(t)}. $$
6. $C$ este spațiul funcțiilor continue pe un compactum $K$ cu norma $$norm{x} = \max_{t \în K}\abs{x(t)}$$$.
7. $C^n$ este spațiul funcțiilor cu derivate continue până la ordinul $n$ inclusiv, cu norma $\norm{x} = \sum_{k=0}^n \max_{a \leq t \leq b}\abs{x^{(k)}(t)}. $$
8. $C^n$ este spațiul tuturor funcțiilor definite într-un cub $m$-dimensional care sunt continuu diferențiabile până la ordinul $n$ inclusiv, cu norma de delimitare uniformă în toate derivatele de ordin cel mult $n$. (Cf. spațiul Hölder.)
9. $M$ este spațiul funcțiilor măsurabile mărginite cu norma $$norm{x} = \mathop{\mathrm{ess\;max}}_{a \leq t \leq b} \abs{x(t)}.$$
10. $A(D)$ este spațiul funcțiilor care sunt analitice în discul unitate deschis $D$ și continue în discul închis $\bar{D}$, cu norma $$\norm{x} = \max_{z \în \bar{D}}\abs{x(z)}. $$
11. $L_p(S ; \Sigma, \mu)$, $p \geq 1$, este spațiul funcțiilor $x(s)$ definite pe un ansamblu $S$ prevăzut cu o măsură numeric-additivă $\mu$, cu norma $\norm{x} = \left( \int_S \abs{x(s)}^p \,\mu(\mathrm{d}s) \right)^{1/p}.$$ (Cf. spațiile $L^p$.)
12. $L_p$, $p \geq 1$, este un caz special al spațiului $L_p(S ; \Sigma, \mu)$. Este spațiul funcțiilor măsurabile Lebesgue, sumabile de grad $p$, cu norma $$\norm{x} = \left( \int_a^b \abs{x(s)}^p \,\mathrm{d}s \right)^{1/p}.$$
13. $AP$ este spațiul Bohr al funcțiilor aproape-periodice, cu norma $$norm{x} = \sup_{-\infty < t < \infty} \abs{x(t)}. $$

Spațiile $C$, $C^n$, $L_p$, $c$, $\ell_p$ sunt separabile; spațiile $M$, $m$, $AP$ sunt neseparabile; $C$ este separabil dacă și numai dacă $K$ este un spațiu metric compact.

Alte exemple includ spațiile Sobolev și spațiul Hardy $\mathcal{H}^1$. Toate spațiile Hilbert sunt spații Banach a forteriori.

Quotienți

Un subspațiu (liniar închis) $Y$ al unui spațiu Banach, considerat în afara spațiului învăluitor $X$, este un spațiu Banach. Spațiul cuotient $X/Y$ al unui spațiu normat cu un subspațiu $Y$ este un spațiu normat dacă norma este definită după cum urmează. Fie $Y_1 = x_1 + Y$ un coset. Atunci$$$ \norm{Y_1} = \inf_{y \in Y} \norm{x_1 + y}.$$$Dacă $X$ este un spațiu Banach, atunci și $X/Y$ este un spațiu Banach.

În acest caz, dacă $Z$ este un alt spațiu normat și $T\în B(X,Z)$ îndeplinește $T(Y)=\{0\}$, atunci există $\hat T \în B(X/Y,Z)$ astfel încât $T = \hat T \circ Q$ și $\norm{T}=\norm{\hat T}$, unde $Q:X \la X/Y$ este cartografierea de cuotient.

Funcționale liniare, spațiu dual

Setul tuturor funcțiilor liniare continue definite pe spațiul normat $X$, cu norma$$\norm{f} = \sup_{x \în X} \frac{\abs{f(x)}}{\norm{x}}, \quad x \neq 0 $$ se spune că este spațiul dual al lui $X$, și se notează cu $X^*$. Este un spațiu Banach.

Teorema Hahn-Banach

Spațiile Banach satisfac teorema Hahn-Banach privind extensia funcțiilor liniare: Dacă o funcțională liniară este definită pe un subspațiu $Y$ al unui spațiu normat $X$, ea poate fi extinsă, păstrându-și liniaritatea și continuitatea, pe întregul spațiu $X$. Mai mult, extensia poate fi făcută să aibă aceeași normă:$$ \norm{f}_X = \sup_{x \în X} \frac{\abs{f(x)}}{\norm{x}} = \norm{f}_Y = \sup_{y \în Y} \frac{\abs{f(y)}}}{\norm{y}}.$$Este valabilă și o teoremă mai generală: Fie o funcție cu valori reale $p(x)$ definită pe un spațiu liniar care satisface condițiile:$$ p(x+y) \leq p(x) + p(y), \quadp(\lambda x) = \lambda p(x), \quad \lambda \geq 0, \quad x,y \în X,$$și fie $f(x)$ o funcțională liniară cu valori reale definită pe un subspațiu $Y \subansamblu X$ și astfel încât$$ f(x) \leq p(x), \quad x \în Y.$$ Atunci există o funcțională liniară $F(x)$ definită pe întregul $X$ astfel încât$$$ F(x) = f(x), \quadru x \în Y; \quadruF(x) \leq p(x), \quadru x \în X.$$O consecință a teoremei Hahn-Banach este formula „inversă” care leagă normele lui $X$ și $X^*$:$$norm{x} = \max_{f \în X^*} \frac{\abs{f(x)}}{\norm{f}}},\quadf \neq 0, \quadx \în X.$$$Maximul din această formulă este atins pentru un anumit $f=f_X\în X^*$. O altă consecință importantă este existența unui set separator de funcționale liniare continue, ceea ce înseamnă că pentru orice $x_1 \neq x_2 \în X$ există o funcțională liniară $f$ pe $X$ astfel încât $f(x_1) \neq f(x_2)$ (cf.Set complet de funcționale).

Structura generală a funcțiilor liniare

Forma generală a unei funcționale liniare este cunoscută pentru multe spații Banach specifice. Astfel, pe $L_p$, $p>1$, toate funcționalele liniare sunt date de o formulă$$$ f(x) = \int_a^b x(t)y(t) \,\mathrm{d}t,$$unde $y \în L_q$, $1/p + 1/q = 1$, și orice funcție $y(t) \în L_q$ definește o funcțională liniară $f$ prin această formulă, în plus$$ \norm{f} = \left( \int_a^b \abs{y(t)}^q \,\mathrm{d}t \right)^{1/q}.$$ Astfel, spațiul dual al lui $L_p$ este $L_q$: $L_p^* = L_q$. Funcționalele liniare pe $L_1$ se definesc prin aceeași formulă, dar în acest caz $y ȋn M$, astfel încât $L_1^* = M$.

Biduale, reflexivitate

Spațiul $X^{**}$, dual cu $X^*$, se spune că este al doilea dual sau bidual. A treia, a patra etc., spații duale se definesc în mod similar. Fiecare element din $X$ poate fi identificat cu o anumită funcțională liniară definită pe $X^*$:$$ \text{$F(f) = f(x)$ pentru toate $f \în X^*$ ($F \în X^{**}$, $x \în X$),}$$$ unde $\norm{F} = \norm{x}$. Se poate considera atunci că $X$ este un subspațiu al spațiului $X^{**}$ și că $X \subansamblul X^{**} \subansamblu X^\text{IV} \subansamblu \cdots$, $X^* \subansamblu X^{***} \subansamblu \cdots$. Dacă, ca urmare a acestor incluziuni, spațiul Banach coincide cu cel de-al doilea dual al său, acesta se numește reflexiv. În acest caz, toate incluziunile sunt egalități. Dacă $X$ nu este reflexiv, toate incluziunile sunt stricte. Dacă spațiul cotitor $X^{**}/X$ are dimensiunea finită $n$, se spune că $X$ este cvasi-reflexiv de ordinul $n$. Există spații cvasi-reflexive pentru toți $n$.

Criterii de reflexivitate pentru spații Banach

1. $X$ este reflexiv dacă și numai dacă pentru fiecare $f \în X^*$ este posibil să se găsească un $x \în X$ pe care se atinge „sup” din formula $$ \norm{f} = \sup_{x \în X} \frac{\abs{f(x)}}{\norm{x}}, \quad x \neq 0, $$.
2. În spațiile Banach reflexive și numai în astfel de spații fiecare ansamblu delimitat este relativ compact în ceea ce privește convergența slabă: Oricare dintre părțile sale infinite conține o secvență slab convergentă (teorema Eberlein-Shmul’yan). Spațiile $L_p$ și $\ell_p$, $p>1$, sunt reflexive. Spațiile $L_1$, $\ell_1$, $C$, $M$, $c$, $m$, $AP$ sunt nereflexive.

Cazuri speciale

Spații slab complete

Un spațiu Banach se spune că este slab complet dacă fiecare secvență Cauchy slabă din el converge slab la un element al spațiului. Orice spațiu reflexiv este slab complet. Mai mult, spațiile Banach $L_1$ și $\ell_1$ sunt slab complete. Spațiile Banach care nu conțin un subspațiu izomorf la $c_0$ formează o clasă și mai largă. Aceste spații se aseamănă cu spațiile slab complete în mai multe privințe.

Spații strict convexe

Un spațiu Banach se spune că este strict convex dacă sfera sa unitară $S$ nu conține segmente. Se introduc module de convexitate pentru o estimare cantitativă a convexității sferei unitare; acestea sunt modulul de convexitate locală$$ \delta(x,\epsilon) =\inf\set{1 – \norm{\frac{x+y}{2}} :y \în S,\, \norm{x-y} \geq \epsilon}, \quad x \în S, \quad 0 < \epsilon \leq 2,$$și modulul de convexitate uniformă$$ \delta(\epsilon) = \inf_{x \în S} \delta(x,\epsilon).$$Dacă $\delta(x,\epsilon) > 0$ pentru tot $x \în S$ și tot $\epsilon > 0$, se spune că spațiul Banach este uniform convex local. Dacă $\delta(x) > 0$, se spune că spațiul este uniform convex. Toate spațiile Banach uniform convexe sunt uniform convexe la nivel local; toate spațiile Banach uniform convexe la nivel local sunt strict convexe. În spațiile Banach finit-dimensionale sunt adevărate și contrariile. Dacă un spațiu Banach este uniform convex, el este reflexiv.

Spații netede

Un spațiu Banach se spune că este neted dacă pentru orice elemente liniar independente $x$ și $y$ funcția $\psi(t)=\norm{x+ty}$ este diferențiabilă pentru toate valorile lui $t$. Un spațiu Banach se spune că este uniform neted dacă modulul său de netezime$$ \rho(t) = \sup_{x,y \în S}\set{\frac{\norm{x + \tau y} + \norm{x – \tau y}}{2}{2} -1}, \quad \tau > 0,$$satisface condiția$$ \lim_{\tau \rightarrow 0}\frac{\rho(\tau)}{\tau} = 0.$$În spații uniform netede, și numai în astfel de spații, norma este uniform diferențiabilă cu Fréchet. Un spațiu Banach uniform neted este neted. Inversul este adevărat dacă spațiul Banach este finit-dimensional. Un spațiu Banach $X$ este uniform convex (uniform de neted) dacă și numai dacă $X^*$ este uniform de neted (uniform de convex). Următoarea relație leagă modulul de convexitate al unui spațiu Banach $X$ și modulul de netezime al lui $X^*$:$$ \rho_{X^*}(\tau) = \sup_{0 < \epsilon \leq 2}\set{\frac{\epsilon\tau}{2} – \delta_X(\epsilon)}. $$Dacă un spațiu Banach este uniform convex (uniform de neted), la fel sunt și toate subspațiile și spațiile sale cuotiente. Spațiile Banach $L_p$ și $\ell_p$, $p>1$, sunt uniform convexe și uniform netede, iar $$$ \delta(\epsilon) \simeq\begin{cazuri}\epsilon^2 & (1 < p \leq 2) \\\\epsilon^p & (2 \leq p < \infty);\end{cases}$$$$ \rho(\tau) \simeq\begin{cases}\tau^p & (1 < p \leq 2) \\\tau^2 & (2 \leq p < \infty);\end{cases}$$$$ \left(f(\epsilon) \simeq \phi(\epsilon) \Leftrightarrow a < \frac{f(\epsilon)}{\phi(\epsilon)} < b\right).$$Spațiile Banach $M$, $C$, $A$, $L_1$, $AP$, $m$, $c$, $\ell_1$ nu sunt strict convexe și nu sunt netede.

Operatori liniari

Următoarele teoreme importante pentru operatorii liniari sunt valabile în spații Banach:

Teorema Banach-Steinhaus.

Dacă o familie de operatori liniari $T=\set{T_\alpha}$ este mărginită în fiecare punct,$$sup_\alpha \norm{T_\alpha x} < \infty, \quadru x \în X,$$atunci ea este mărginită de normă:$$ \sup_\alpha \norm{T_\alpha} < \infty.$$

Teorema deschiderii de corespondență Banach.

Dacă un operator liniar continuu mapează un spațiu Banach $X$ pe un spațiu Banach $Y$ într-o corespondență biunivocă, operatorul invers $T^{-1}$ este de asemenea continuu.

Teorema grafurilor închise.

Dacă un operator liniar închis mapează un spațiu Banach $X$ într-un spațiu Banach $Y$, atunci acesta este continuu.

Isometrii și izomorfisme

Isometrii între spații Banach apar rar. Exemplul clasic este dat de spațiile Banach $L_1$ și $\ell_2$. Spațiile Banach $C$ și $C$ sunt izometrice dacă și numai dacă $K_1$ și $K_2$ sunt homeomorfe (teorema Banach-Stone). O măsură a proximității spațiilor Banach izomorfe este numărul$$$ d(X,Y) = \ln\inf\bigl\|T\bigr\|\bigl\|T^{-1}\bigr\|,$$ unde $T$ parcurge toți operatorii posibili care realizează un izomorfism (topologic liniar) între $X$ și $Y$. Dacă $X$ este izometrică față de $Y$, atunci $d(X,Y)=0$. Cu toate acestea, există și spații neizometrice pentru care $d(X,Y)=0$; se spune că acestea sunt aproape izometrice. Proprietățile spațiilor Banach conservate sub un izomorfism se spune că sunt topologice liniare. Acestea includ separabilitatea, reflexivitatea și completitudinea slabă. Clasificarea izomorfică a spațiilor Banach conține, în special, următoarele teoreme:$$ L_r \neq L_s; \quadru \ell_r \neq \ell_s, \quadru r \neq s$$$$ L_r \neq \ell_s, \quadru r \neq s; \quadru L_r = \ell_s, \quadru r = s = 2;$$$$ M=m; \quad C \neq A(D);$$$$C = C$ dacă $K$ este un compactum metric cu cardinalitatea continuumului;$$ C^n \neq C.$$

Care spațiu Banach separabil este izomorf cu un spațiu Banach uniform convex local. Nu se știe (1985) dacă există spații Banach care nu sunt izomorfe la nici unul dintre hiperplanele lor. Există spații Banach care nu sunt izomorfe cu spații strict convexe. Indiferent de natura liniară a spațiilor normate, este posibil să se ia în considerare clasificarea lor topologică. Două spații sunt homeomorfe dacă între elementele lor se poate stabili o corespondență continuă unu la unu, astfel încât și inversa sa să fie continuă. Un spațiu normat incomplet nu este homeomorf cu nici un spațiu Banach. Toate spațiile Banach separabile infinit-dimensionale sunt homeomorfe.

În clasa spațiilor Banach separabile, $C$ și $A(D)$ sunt universale (cf. Spațiu universal). Clasa spațiilor Banach separabile reflexive separabile nu conține nici măcar spații universale izomorfe. Spațiul Banach $\ell_1$ este universal într-un sens oarecum diferit: Toate spațiile Banach separabile sunt izometrice față de unul dintre spațiile sale cotitoare.

Subspații necomplementabile

Care dintre spațiile Banach menționate mai sus, cu excepția $L_2$ și $\ell_2$, conține subspații fără complement. În particular, în $m$ și $M$ fiecare subspațiu separabil infinit-dimensional este necomplementabil, în timp ce în $C$ toate subspațiile reflexive infinit-dimensionale sunt necomplementabile. În cazul în care toate subspațiile dintr-un spațiu Banach sunt complementabile, spațiul este izomorf cu un spațiu Hilbert. Nu se știe (1985) dacă toate spațiile Banach sunt sau nu sume directe ale unor două subspații infinit-dimensionale. Un subspațiu $Y$ este complementabil dacă și numai dacă există o proiecție care trasează $X$ pe $Y$. Limita inferioară a normelor proiecțiilor pe $Y$ se numește constanta de proiecție relativă $\lambda(Y,X) $ a subspațiului $Y$ în $X$. Fiecare subspațiu $n$-dimensional al unui spațiu Banach este complementabil și $\lambda(Y_n,X) \leq \sqrt{n}$. Constanta absolută de proiecție $\lambda(Y)$ a unui spațiu Banach $Y$ este$$$ \lambda(Y) = \sup_X \lambda(Y,X),$$ unde $X$ trece prin toate spațiile Banach care conțin $Y$ ca subspațiu. Pentru orice spațiu Banach separabil infinit-dimensional $Y$ se are $\lambda(Y) = \infty$. Spațiile Banach pentru care $\lambda(Y) \leq Y < \infty$ formează clasa $\mathcal{P}_\lambda$ ($\lambda \geq 1$). Clasa $\mathcal{P}_1$ coincide cu clasa de spații $C(Q)$ în care $Q$ sunt compacte extrem de deconectate (cf.Spațiu extrem de deconectat).

Cazul finit-dimensional

Teoreme fundamentale pe spații Banach finit-dimensionale:

1. Un spațiu finit-dimensional este complet, adică este un spațiu Banach.
2. Toți operatorii liniari dintr-un spațiu Banach finit-dimensional sunt continui.
3. Un spațiu Banach finit-dimensional este reflexiv (dimensiunea lui $X^*$ este egală cu dimensiunea lui $X$).
4. Un spațiu Banach este finit-dimensional dacă și numai dacă bila sa unitară este compactă.
5. Toate spațiile Banach $n$-dimensionale sunt izomorfe pe perechi; ansamblul lor devine compact dacă se introduce distanța

$$ d(X,Y) = \ln\inf_T\bigl\|T\bigr\|T\bigl\|T^{-1}\bigr\|.$$

Convergența seriilor

O serie\începe{equation}\sum_{k=1}^\infty x_k, \quadruplu x_k \în X \label{eq:series}\end{equation}se spune că este convergentă dacă există o limită $S$ a secvenței de sume parțiale:$$ \lim_{n \rightarrow \infty}\norm{S – \sum_{k=1}^n x_k} = 0.$$If$$\sum_{k=1}^\infty \norm{x_k} < \infty,$$$seria $\eqref{eq:series}$ este convergentă, și se spune în acest caz că este absolut convergentă. O serie se spune că este necondiționat convergentă dacă aceasta converge atunci când termenii săi sunt rearanjați în mod arbitrar. Suma unei serii absolut convergente este independentă de aranjarea termenilor săi. În cazul seriilor într-un spațiu finit-dimensional (și, în special, pentru seriile de numere), convergența necondiționată și convergența absolută sunt echivalente. În spațiile Banach infinit-dimensionale, convergența necondiționată rezultă din convergența absolută, dar inversul nu este adevărat în niciun spațiu Banach infinit-dimensional. Aceasta este o consecință a teoremei Dvoretskii-Rogers: Pentru toate numerele $\alpha_k \geq 0$, sub rezerva condiției $\sum\alpha_k^2 < \infty$, există în fiecare spațiu Banach infinit-dimensional o serie necondiționat convergentă $\sum x_k$ astfel încât $\norm{x_k} = \alpha_k$, $k=1,2,\ldots$. În spațiul $c_0$ (și deci și în orice spațiu Banach care conține un subspațiu izomorf cu $c_0$), pentru orice succesiune $\alpha_k \geq 0$ care converge la zero, există o serie necondiționat convergentă $\sum x_k$, $\norm{x_k} = \alpha_k$. În $L_p(S ; \Sigma, \mu)$ convergența necondiționată a seriei $\sum x_k$ implică faptul că$$ \sum_{k=1}^\infty \norm{x_k}^s < \infty,$$ unde$$$ s = \begin{cases}2 & (1 \leq p \leq 2), \\p & (p \geq 2).\end{cases}$$Într-un spațiu Banach uniform convex cu modul de convexitate $\delta(\epsilon)$ convergența necondiționată a seriei $\sum x_k$ implică faptul că$$ \sum_{k=1}^\infty\delta(\norm{x_k}) < \infty.$$

O serie $\sum x_k$ se spune că este slab necondiționat Cauchy dacă seria de numere $\sum\abs{f(x_k)}$ converge pentru fiecare $f \în X^*$. Fiecare serie Cauchy slab necondiționată în $X$ converge dacă și numai dacă $X$ nu conține nici un subspațiu izomorf cu $c_0$.

O secvență de elemente $\set{e_k}_1^\infty$ a unui spațiu Banach se spune că este minimă dacă fiecare dintre termenii săi se află în afara închiderii lui $X^{(n)} = _{k \neq n}$, carena liniară a elementelor rămase. O secvență se spune că este uniform minimală dacă$$ \rho(e_n ; X^{(n)}) \geq \gamma\norm{e_n}, \quad0 < \gamma \leq 1, \quadn = 1, 2, \ldots.$$$Dacă $\gamma=1$, se spune că seria este un sistem Auerbach. În fiecare spațiu Banach cu $n$ dimensiuni există un sistem Auerbach complet $\set{e_k}_1^n$. Nu se știe (1985) dacă în fiecare spațiu Banach separabil există sau nu un sistem Auerbach complet. Pentru fiecare sistem minimal există un sistem adiacent de funcționale liniare $\set{f_n}$, care este legat de $\set{e_k}$ prin relațiile de biortogonalitate: $f_i(e_j) = \delta_{ij}$. În acest caz, se spune că sistemul $\set{e_k,f_k}$ este biortogonal. Un set de funcționale liniare se spune că este total dacă anihilează numai elementul zero al spațiului. În fiecare spațiu Banach separabil există un sistem complet, minimal, cu un adjunct total. Fiecare element $x \în X$ poate fi dezvoltat în mod formal într-o serie prin sistemul biortogonal:$$ x \sim \sum_{k=1}^\infty f_k(x)e_k,$$dar în cazul general această serie este divergentă.

Baze

Un sistem de elemente $\set{e_k}_1^\infty$ se spune că este o bază în $X$ dacă fiecare element $x \în X$ poate fi reprezentat în mod unic ca o serie convergentă $x = \sum_{k=1}^\infty \alpha_k e_k, \quad \alpha_k = \alpha_k(x). $$Care bază într-un spațiu Banach este un sistem minim uniform complet cu un adjunct total. Inversul nu este adevărat, după cum se poate vedea din exemplul sistemului $\set{e^{int}}_{-\infty}^\infty$ în $C$ și $L_1$.

Se spune că o bază este necondiționată dacă toate rearanjamentele sale sunt de asemenea baze; în caz contrar, se spune că este condiționată. Sistemul $\set{e^{{int}}_{-\infty}^\infty$ în $L_p$, $p>1$, $p \neq 2$, este o bază condițională. Sistemul Haar este o bază necondiționată în $L_p$, $p > 1$. Nu există o bază necondiționată în spațiile $C$ și $L_1$. Nu se știe (1985) dacă fiecare spațiu Banach conține sau nu un subspațiu infinit-dimensional cu o bază necondiționată. Orice spațiu Banach nereflexiv cu o bază necondiționată conține un subspațiu izomorf la $\ell_1$ sau $c_0$.

Două baze normalizate $\set{e_k^\prime}$ și $\set{e_k^{\prime\prime}} $ în două spații Banach $X_1$ și $X_2$ se spune că sunt echivalente dacă corespondența $e_k^\prime \leftrightarrow e_k^{\prime\prime}$, $k=1,2,\ldots$, poate fi extinsă la un izomorfism între $X_1$ și $X_2$. În fiecare dintre spațiile $\ell_2$, $\ell_1$, $c_0$ toate bazele necondiționate normalizate sunt echivalente cu baza naturală. Bazele construite în spații Banach care au aplicații importante nu sunt întotdeauna potrivite pentru rezolvarea unor probleme, de exemplu în teoria operatorilor. În acest context, au fost introduse bazele $T$, sau bazele de sumare. Fie $\set{t_{i,j}}_1^\infty$ matricea unei metode regulate de sumare. Sistemul de elemente $\set{e_n} \subansamblu X$ se spune că este o bază $T$ corespunzătoare metodei de însumare date dacă fiecare $x \în X$ poate fi reprezentat în mod unic printr-o serie$$ x \sim \sum_{k=1}^\infty \alpha_k e_k,$$ care este însumabilă la $x$ prin această metodă. Sistemul trigonometric $\set{e^{int}}_{-\infty}^\infty$ în $C$ este o bază de însumare pentru metodele lui Cesàro și Abel. Fiecare bază $T$ este un sistem minim complet (nu neapărat uniform minim) cu un adjunct total. Inversul nu este adevărat. Până în anii 1970, una dintre principalele probleme ale teoriei spațiilor Banach a fost problema bazelor tratată de Banach însuși: Există o bază în fiecare spațiu Banach separabil? Problema existenței unei baze în spații Banach definite în mod specific a rămas, de asemenea, deschisă. Primul exemplu de spațiu Banach separabil fără bază a fost construit în 1972; au fost construite baze în spațiile $C^n(I^m)$ și $A(D)$.

	S. Banach, „Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales” Fund. Math., 3 (1922) pp. 133-181 JFM Zbl 48.0201.01
		S.S. Banach, „A course of functional analysis”, Kiev (1948) (În ucraineană)
		B. Beauzamy, „Introduction to Banach spaces and their geometry”, North-Holland (1985) MR0889253 Zbl 0585.46009
		N. Bourbaki, „Elemente de matematică. Spații vectoriale topologice”, Addison-Wesley (1977) (Tradus din limba franceză) MR0583191 Zbl 1106.46003 Zbl 1115.46002 Zbl 0622.46001 Zbl 0482.46001
		M.M. Day, „Normed linear spaces”, Springer (1958) MR0094675 Zbl 0082.10603
		J.J. Diestel, „Geometry of Banach spaces. Selected topics”, Springer (1975) MR0461094 Zbl 0307.46009
		N. Dunford, J.T. Schwartz, „Linear operators. General theory”, 1, Interscience (1958) MR0117523
		J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, „Classical Banach spaces”, 1-2, Springer (1977-1979) MR0500056 Zbl 0362.46013
		R.V. Kadison, J.R. Ringrose, „Fundamentals of the Theory of Operator Algebras”, Volume I: Elementary Theory, AMS (1997) MR1468229
		Z. Semanedi, „Banach spaces of continuous functions”, Polish Sci. Publ. (1971)
		I.M. Singer, „Bases in Banach spaces”, 1-2, Springer (1970-1981) MR0298399 MR0268648 Zbl 0198.16601 Zbl 0189.42901

.