Banach-avaruus

B-avaruus

2010 Mathematics Subject Classification: Ensisijainen: 46B Toissijainen: 46E15 $\newcommand{\abs}{\left|#1\right|}\newcommand{\norm}{\left\|#1\right\|}\newcommand{\set}{\left\{#1\right\}}$

Täydellinen normitettu vektoriavaruus. Banach-avaruuksiin liittyviä ongelmia on erityyppisiä: yksikköpallon geometria, aliavaruuksien geometria, lineaarinen topologinen luokittelu, sarjat ja sekvenssit Banach-avaruuksissa, parhaat approksimaatiot Banach-avaruuksissa, funktiot, joiden arvot ovat Banach-avaruudessa, jne. Banach-avaruuksien operaattoreiden teorian osalta on huomattava, että monet teoreemat liittyvät suoraan Banach-avaruuksien geometriaan ja topologiaan.

Historia

D. Hilbertin, M. Fréchet’n ja F. Rieszin vuosina 1904-1918 esittelemät funktioavaruudet toimivat Banach-avaruuksien teorian lähtökohtana. Näissä tiloissa tutkittiin alun perin peruskäsitteitä vahva ja heikko konvergenssi, kompaktius, lineaarinen funktio, lineaarinen operaattori jne. Banach-avaruudet nimettiin S. Banachin mukaan, joka vuonna 1922 aloitti näiden avaruuksien systemaattisen tutkimuksen , joka perustui hänen itsensä käyttöön ottamiin aksioomiin ja sai erittäin edistyksellisiä tuloksia.

Banach-avaruuksien teoria kehittyi rinnakkain lineaaristen topologisten avaruuksien yleisen teorian kanssa. Nämä teoriat rikastuttivat toisiaan vastavuoroisesti uusilla ideoilla ja tosiasioilla. Niinpä normitettujen avaruuksien teoriasta otetusta seminormien ideasta tuli välttämätön väline paikallisesti koverien lineaaristen topologisten avaruuksien teorian rakentamisessa. Banach-avaruuksien elementtien ja lineaaristen funktioiden heikon konvergenssin ideat kehittyivät lopulta heikon topologian käsitteeksi. Banach-avaruuksien teoria on perusteellisesti tutkittu funktionaalianalyysin haara, jolla on lukuisia sovelluksia matematiikan eri aloilla – suoraan tai operaattoreiden teorian kautta.

Yleistä

Banach-avaruus $X$ on vektoriavaruus $\R$:n tai $\C$:n yläpuolella, jolla on normi $\norm{\cdot}$, ja joka on täydellinen tämän normin suhteen, ts. jokainen Cauchyn sekvenssi $X$:ssä konvergoi.

Kahdelle Banach-avaruudelle $X$, $Y$ merkitään $B(X,Y)$:llä lineaaristen jatkuvien karttojen avaruutta $X$:stä $Y$:hen. Se on itsessään Banach-avaruus normin$$\norm{T} = \sup_{x \neq 0} \frac{\norm{Tx}}{\norm{x}} suhteen.$$

Esimerkkejä

Analyysissä tavattavat Banach-avaruudet ovat useimmiten funktioiden tai lukujonojen joukkoja, joihin sovelletaan tiettyjä ehtoja.

1. $\ell_p$, $p \geq 1$, on niiden lukujonojen avaruus $\set{\xi_n}$, joille $$ \sum_{n=1}^\infty \abs{\xi_n}^p < \infty$$ on normi $$ \norm{x} = \left( \sum_{n=1}^\infty \abs{\xi_n}^p \right)^{1/p}. $$
2. $m$ on rajattujen lukujonojen avaruus, jonka normi on $$ \norm{x} = \sup_n\abs{\xi_n}.$$
3. $c$ on konvergenttien lukujonojen avaruus, jonka normi on $$\norm{x} = \sup_n\abs{\xi_n}.$$
4. $c_0$ on niiden numeeristen sarjojen avaruus, jotka konvergoituvat nollaan normilla $$ \norm{x} = \max_n\abs{\xi_n}.$$
5. $C$ on jatkuvien funktioiden $x=x(t)$ avaruus $$$, jonka normi on $$\norm{x} = \max_{a \leq t \leq b}\abs{x(t)}.$$$
6. $C$$ on jatkuvien funktioiden avaruus kompaktien $K$ päällä, jonka normi on $$\norm{x} = \max_{t \k}\ssa_K}\abs{x(t)}$$.
7. $C^n$ on niiden funktioiden avaruus, joilla on jatkuvat derivaatat järjestykseen $n$ asti, normi $$\norm{x} = \sum_{k=0}^n \max_{a \leq t \leq b}\abs{x^{(k)}(t)}. $$
8. $C^n$ on kaikkien niiden funktioiden avaruus, jotka on määritelty $m$-ulotteisessa kuutiossa ja jotka ovat jatkuvasti differentioituvia järjestykseen $n$ asti ja joiden kaikkien derivaattojen yhdenmukaisen rajoittuneisuuden normi on korkeintaan $n$. (Vrt. Hölderin avaruus.)
9. $M$ on rajallisesti mitattavien funktioiden avaruus, jonka normi $$\norm{x} = \mathop{\mathrm{ess\;max}}_{a \leq t \leq b} \abs{x(t)}.$$
10. $A(D)$ on niiden funktioiden avaruus, jotka ovat analyyttisiä avoimella yksikkökiekolla $D$ ja jatkuvia suljetulla kiekolla $\bar{D}$ ja joiden normi on $$\norm{x} = \max_{z \in \bar{D}}\abs{x(z)}. $$
11. $L_p(S ; \Sigma, \mu)$, $p \geq 1$, on niiden funktioiden $x(s)$ avaruus, jotka on määritelty joukossa $S$, joka on varustettu laskennallisesti-additiivisella mitalla $\mu$, jonka normi on $$\norm{x} = \left( \int_S \abs{x(s)}^p \,\mu(\mathrm{d}s) \right)^{1/p}.$$ (Vrt. $L^p$-avaruudet.)
12. $L_p$, $p \geq 1$, on erikoistapaus avaruudesta $L_p(S ; \Sigma, \mu)$. Se on sellaisten Lebesgue-mitattavien funktioiden avaruus, jotka ovat summautuvia asteella $p$ ja joiden normi on $$\norm{x} = \left( \int_a^b \abs{x(s)}^p \,\mathrm{d}s \right)^{1/p}.$$
13. $AP$ on lähes jaksollisten funktioiden Bohrin avaruus, jonka normi $$\norm{x} = \sup_{-\infty < t < \infty} \abs{x(t)}. $$

Avaruudet $C$, $C^n$, $L_p$, $c$, $\ell_p$ ovat separoituvia; avaruudet $M$, $m$, $AP$ eivät ole separoituvia; $C$ on separoituva, jos ja vain jos $K$ on kompakti metrinen avaruus.

Muita esimerkkejä ovat Sobolev-avaruudet ja Hardy-avaruus $\mathcal{H}^1$. Kaikki Hilbert-avaruudet ovat a forteriori Banach-avaruuksia.

Quotiivit

Banach-avaruuden (suljettu lineaarinen) aliavaruus $Y$, jota tarkastellaan erillään ympäröivästä avaruudesta $X$, on Banach-avaruus. Normitetun avaruuden $X/Y$ aliavaruuden $Y$ muodostama lainausavaruus $X/Y$ on normitettu avaruus, jos normi määritellään seuraavasti. Olkoon $Y_1 = x_1 + Y$ coset. Tällöin$$ \norm{Y_1} = \inf_{y \in Y} \norm{x_1 + y}.$$$Jos $X$ on Banachin avaruus, niin myös $X/Y$ on Banachin avaruus.

Tällöin, jos $Z$ on toinen normitettu avaruus ja $T\in B(X,Z)$ täyttää $T(Y)=\{0\}$, niin on olemassa $\hat T \in B(X/Y,Z)$ siten, että $T = \hat T \circ Q$ ja $\normi{T}=\normi{\hat T}$, missä $Q:X \to X/Y$ on quotienttikuvaus.

Lineaariset funktiot, duaaliavaruus

Kaikkien normitettuun avaruuteen $X$ määriteltyjen jatkuvien lineaaristen funktioiden joukkoa, jolla on normi $$$\norm{f} = \sup_{x \in X} \frac{\abs{f(x)}}{\norm{x}}, \quad x \neq 0 $$ sanotaan $X$:n duaaliavaruudeksi, ja sitä merkitään $X^*$. Se on Banachin avaruus.

Hahn-Banachin lause

Banachin avaruudet täyttävät Hahn-Banachin lauseen lineaaristen funktioiden laajentumisesta: Jos lineaarinen funktio määritellään normitetun avaruuden $X$ aliavaruudessa $Y$, se voidaan laajentaa lineaarisuuden ja jatkuvuuden säilyttäen koko avaruuteen $X$. Lisäksi laajennuksella voidaan saada sama normi: $$$ \norm{f}_X = \sup_{x \in X} \frac{\abs{f(x)}}{\norm{x}} = \norm{f}_Y = \sup_{y \in Y} \frac{\abs{f(y)}}{\norm{y}}.$$Jopa yleisempi lause on voimassa: Olkoon lineaarisessa avaruudessa määritelty reaaliarvoinen funktio $p(x)$, joka täyttää ehdot:$$ p(x+y) \leq p(x) + p(y), \quadp(\lambda x) = \lambda p(x), \quad p(x), \quad p(x), p(x), p(x), p(y), p(x), p(y), p(x), p(y), p(x), p(y), p(x), p(y), p(y), p(x) + p(y), p(x), p(x), p(x), p(x),$$ja olkoon $f(x)$ reaaliarvoinen lineaarinen funktio, joka on määritelty osaavaruudessa $Y \ osajoukko X$ ja siten, että$$$ f(x) \leq p(x), \quad x \in Y.$$$Tällöin on olemassa lineaarinen funktio $F(x)$, joka on määritelty koko $X$:lle siten, että$$$ F(x) = f(x), \quad x \in Y; \quadF(x) \leq p(x), \quad x \in X.$$$ Hahn-Banachin lauseen seuraus on ”käänteinen” kaava, joka yhdistää $X$:n ja $X^*$:n normit: $$$\norm{x} = \max_{f \in X^*} \frac{\abs{f(x)}}}{\norm{f}},\quadf \neq 0, \quadx \x \in X.$$$Tämän kaavan maksimi saavutetaan jollekin $f=f_X\in X^*$. Toinen tärkeä seuraus on jatkuvien lineaaristen funktioiden erottelevan joukon olemassaolo, mikä tarkoittaa, että mille tahansa $x_1 \neq x_2 \in X$ on olemassa lineaarinen funktio $f$, joka on $X$:lle sellainen, että $f(x_1) \neq f(x_2)$ (vrt. Täydellinen funktiojoukko).

Lineaaristen funktioiden yleinen rakenne

Lineaarisen funktionaalin yleismuoto tunnetaan monille määrätyille Banachin avaruuksille. Niinpä $L_p$:ssä, $p>1$, kaikki lineaariset funktiot saadaan kaavalla$$ f(x) = \int_a^b x(t)y(t) \,\mathrm{d}t,$$jossa $y \ in L_q$, $1/p + 1/q = 1$, ja mikä tahansa funktio $y(t) \ L_q$:ssa määrittelee lineaarisen funktion $f$ tällä kaavalla, lisäksi$$ \norm{f} = \left( \int_a^b \abs{y(t)}^q \,\mathrm{d}t \right)^{1/q}.$$Siten $L_p$:n kaksoisavaruus on $L_q$: $L_p^* = L_q$. Lineaariset funktiot $L_1$:lla määritellään samalla kaavalla, mutta tässä tapauksessa $y \in M$, joten $L_1^* = M$.

Kaksoisavaruudet, refleksiivisyys

Avaruuden $X^{**}$, joka on dualisoitunut tilaan $X^*$, sanotaan olevan toinen dualisoitunut tila eli kaksoisavaruus. Kolmas, neljäs jne. duaalitila määritellään samalla tavalla. Jokainen $X$:n alkio voidaan identifioida johonkin $X^*$:lle määriteltyyn lineaarifunktioon $$$ \text{$F(f) = f(x)$ kaikille $f \in X^*$ ($F \in X^{**}$, $x \in X$),}$$ jossa $\norm{F} = \norm{x}$. Tällöin voidaan pitää $X$ avaruuden $X^{**}$ aliavaruutena ja $X \ osajoukkoa X^{**}$. \ osajoukko X^\text{IV} \alijoukko \cdots$, $X^* \alijoukko X^{***}} \ osajoukko \cdots$. Jos Banach-avaruus on näiden sulkeutumisten seurauksena yhteneväinen toisen duaalinsa kanssa, sitä kutsutaan refleksiiviseksi. Tällöin kaikki sulkeumat ovat yhtäläisyyksiä. Jos $X$ ei ole refleksiivinen, kaikki sulkeumat ovat tiukkoja. Jos lainausavaruudella $X^{**}/X$ on äärellinen ulottuvuus $n$, $X$:n sanotaan olevan kvasirefleksiivinen järjestyksessä $n$. Kvasirefleksiivisiä avaruuksia on olemassa kaikille $n$.

Banach-avaruuksien refleksiivisyyskriteerit

1. $X$ on refleksiivinen, jos ja vain jos jokaiselle $f \in X^*$ on mahdollista löytää $x \in X$, jolla saavutetaan kaavan $$ \norm{f} = \sup_{x \in X} \frac{\abs{f(x)}}{\norm{x}}, \quad x \neq 0, $$ ”sup”.
2. Refleksiivisissä Banach-avaruuksissa ja vain sellaisissa jokainen rajattu joukko on suhteellisen kompakti heikon konvergenssin suhteen: Mikä tahansa sen äärettömistä osista sisältää heikosti konvergentin sarjan (Eberlein-Shmul’yanin lause). Avaruudet $L_p$ ja $\ell_p$, $p>1$, ovat refleksiivisiä. Avaruudet $L_1$, $\ell_1$, $C$, $M$, $c$, $m$, $AP$ ovat ei-refleksiivisiä.

Erikoistapaukset

Heikosti täydelliset avaruudet

Banach-avaruutta sanotaan heikosti täydelliseksi, jos jokainen heikko Cauchy-sekvenssi siinä konvergoituu heikosti johonkin avaruuden alkioon. Jokainen refleksiivinen avaruus on heikosti täydellinen. Lisäksi Banach-avaruudet $L_1$ ja $\ell_1$ ovat heikosti täydellisiä. Banach-avaruudet, jotka eivät sisällä $c_0$:n kanssa isomorfista aliavaruutta, muodostavat vielä laajemman luokan. Nämä avaruudet muistuttavat monessa suhteessa heikosti täydellisiä avaruuksia.

Tarkasti koverat avaruudet

Banach-avaruuden sanotaan olevan tiukasti kovera, jos sen yksikköpallo $S$ ei sisällä segmenttejä. Konveksisuusmoduulit otetaan käyttöön yksikköpallon konveksisuuden kvantitatiivista arviointia varten; nämä ovat paikallinen konveksisuusmoduuli$$ \delta(x,\epsilon) =\inf\set{1 – \norm{\frac{x+y}{2}} :y \ in S,\, \norm{x-y} \geq \epsilon}, \neliö x \in S, \neliö 0 < \epsilon \leq 2,$$ja yhtenäinen kuperuusmoduuli$$ \delta(\epsilon) = \inf_{x \in S} \delta(x,\epsilon).$$$Jos $\delta(x,\epsilon) > 0$ kaikille $x \in S$ ja kaikille $\epsilon > 0$, Banach-avaruuden sanotaan olevan paikallisesti yhdenmukaisesti kupera. Jos $\delta(x) > 0$, avaruuden sanotaan olevan tasaisesti kupera. Kaikki tasaisesti koverat Banach-avaruudet ovat paikallisesti tasaisesti koveria; kaikki paikallisesti tasaisesti koverat Banach-avaruudet ovat tiukasti koveria. Myös äärellisulotteisissa Banach-avaruuksissa pätee päinvastoin. Jos Banach-avaruus on tasaisesti kupera, se on refleksiivinen.

Sileät avaruudet

Banach-avaruuden sanotaan olevan sileä, jos mille tahansa lineaarisesti riippumattomille alkioille $x$ ja $y$ funktio $\psi(t)=\norm{x+ty}$ on differentioituva kaikille $t$:n arvoille. Banach-avaruuden sanotaan olevan tasaisesti sileä, jos sen sileysmoduuli$$ \rho(t) = \sup_{x,y \in S}\set{\frac{\norm{x + \tau y} + \norm{x – \tau y}}{2} -1}, \quad \tau > 0,$$täyttää ehdon$$ \lim_{\tau \rightarrow 0}\frac{\rho(\tau)}{\tau} = 0.$$Yhtäläisen sileissä tiloissa, ja vain sellaisissa, normi on tasaisesti Fréchet’n differentioituva. Tasaisesti sileä Banach-avaruus on sileä. Käänteinen pätee, jos Banach-avaruus on äärellisulotteinen. Banach-avaruus $X$ on tasaisesti kupera (tasaisesti sileä), jos ja vain jos $X^*$ on tasaisesti sileä (tasaisesti kupera). Seuraava suhde liittää Banach-avaruuden $X$ koveruusmoduulin ja $X^*$ sileysmoduulin toisiinsa:$$ \rho_{X^*}(\tau) = \sup_{0 < \epsilon \leq 2}\set{\frac{\epsilon\tau}{2} – \delta_X(\epsilon)}.$$$Jos Banach-avaruus on tasaisesti kupera (tasaisesti sileä), niin myös kaikki sen aliavaruudet ja lainausavaruudet ovat. Banach-avaruudet $L_p$ ja $\ell_p$, $p>1$, ovat yhdenmukaisesti kupera ja yhdenmukaisesti sileä, ja$$$ \delta(\epsilon) \simeq\begin{cases}\epsilon^2 & (1 < p \leq 2) \\\\epsilon^p & (2 \leq p < \infty);\end{cases}$$$$ \rho(\tau) \simeq\begin{cases}\tau^p & (1 < p \leq 2) \\\tau^2 & (2 \leq p < \infty);\end{cases}$$$$ \left(f(\epsilon) \simeq \phi(\epsilon) \Leftrightarrow a < \frac{f(\epsilon)}{\phi(\epsilon)} < b\right).$$$Banach-avaruudet $M$, $C$, $A$, $L_1$, $AP$, $m$, $c$, $\ell_1$ eivät ole tiukasti kuperia eivätkä sileitä.

Lineaariset operaattorit

Seuraavat tärkeät lauseet lineaarisille operaattoreille pätevät Banach-avaruuksissa:

Banach-Steinhausin lause.

Jos lineaaristen operaattoreiden perhe $T=\set{T_\alpha}$ on rajattu jokaisessa pisteessä,$$\sup_\alpha \norm{T_\alpha x} < \infty, \kvadraatti x \in X,$$tällöin se on normirajattu:$$ \sup_\alpha \norm{T_\alpha} < \infty.$$

Banachin avoimen kartoituksen lause.

Jos lineaarinen jatkuva operaattori kartoittaa Banach-avaruuden $X$ Banach-avaruuteen $Y$ yksikäsitteisessä vastaavuudessa, käänteisoperaattori $T^{-1}$ on myös jatkuva.

Suljetun graafin lause.

Jos suljettu lineaarinen operaattori kuvaa Banach-avaruuden $X$ Banach-avaruuteen $Y$, niin se on jatkuva.

Isometriat ja isomorfismit

Banach-avaruuksien välisiä isometrioita esiintyy harvoin. Klassisen esimerkin antavat Banach-avaruudet $L_1$ ja $\ell_2$. Banach-avaruudet $C$ ja $C$ ovat isometrisiä, jos ja vain jos $K_1$ ja $K_2$ ovat homeomorfisia (Banach-Stonen lause). Isomorfisten Banach-avaruuksien läheisyyden mitta on luku$$ d(X,Y) = \ln\inf\bigl\|T\bigr\|\bigl\|T^{-1}\bigr\|,$$ jossa $T$ käy läpi kaikki mahdolliset operaattorit, jotka toteuttavat (lineaarisen topologisen) isomorfismin $X$:n ja $Y$:n välillä. Jos $X$ on isometrinen $Y$:n kanssa, $d(X,Y)=0$. On kuitenkin olemassa myös ei-isometrisiä tiloja, joille $d(X,Y)=0$; niitä sanotaan lähes-isometrisiksi. Banach-avaruuksien ominaisuuksia, jotka säilyvät isomorfismin alla, sanotaan lineaaris-topologisiksi. Niihin kuuluvat erotettavuus, refleksiivisyys ja heikko täydellisyys. Banach-avaruuksien isomorfinen luokittelu sisältää erityisesti seuraavat lauseet:$$ L_r \neq L_s; \quad \ell_r \neq \ell_s, \quad r \neq s$$$$ L_r \neq \ell_s, \quad r \neq s; \quadL_r = \ell_s, \quad r = s = 2;$$$$ M=m; \quad C \neq A(D);$$$C = C$ jos $K$ on metrinen kompakti, jonka kardinaalisuus on jatkumon;$$$ C^n \neq C.$$

Jokainen separoituva Banach-avaruus on isomorfinen paikallisesti yhtenäisesti kupera Banach-avaruus. Ei tiedetä (1985), onko olemassa Banach-avaruuksia, jotka eivät ole isomorfisia minkään hypertasonsa kanssa. On olemassa Banach-avaruuksia, jotka eivät ole isomorfisia tiukasti kuperien avaruuksien kanssa. Riippumatta normitettujen tilojen lineaarisesta luonteesta on mahdollista tarkastella niiden topologista luokittelua. Kaksi avaruutta on homeomorfisia, jos niiden alkioiden välille voidaan muodostaa yksi-yhteen jatkuva vastaavuus, jonka käänteisluku on myös jatkuva. Epätäydellinen normitettu avaruus ei ole homeomorfinen minkään Banachin avaruuden kanssa. Kaikki ääretönulotteiset separoituvat Banach-avaruudet ovat homeomorfisia.

Separoituvien Banach-avaruuksien luokassa $C$ ja $A(D)$ ovat universaaleja (vrt. universaali avaruus). Refleksiivisten separoituvien Banach-avaruuksien luokka ei sisällä edes yhtään isomorfista universaalia avaruutta. Banach-avaruus $\ell_1$ on universaali hieman eri mielessä: Kaikki separoituvat Banach-avaruudet ovat isometrisiä jollekin sen quotienttiavaruudelle.

Komplementoimattomat aliavaruudet

Jokainen edellä mainituista Banach-avaruuksista, lukuun ottamatta $L_2$:ta ja $\ell_2$:ta, sisältää aliavaruuksia ilman komplementtia. Erityisesti $m$:ssä ja $M$:ssä jokainen ääretönulotteinen separoituva aliavaruus on komplementoimaton, kun taas $C$:ssä kaikki ääretönulotteiset refleksiiviset aliavaruudet ovat komplementoimattomia. Jos Banach-avaruuden kaikki aliavaruudet ovat komplementoituvia, avaruus on isomorfinen Hilbert-avaruudelle. Ei tiedetä (1985), ovatko kaikki Banach-avaruudet joidenkin kahden äärettömän ulottuvuuden aliavaruuden suoria summia. Osaavaruus $Y$ on täydennettävissä, jos ja vain jos on olemassa projektio, joka kuvaa $X$:n $Y$:een. Projektioiden normien alarajaa $Y$:ssä kutsutaan aliavaruuden $Y$ suhteelliseksi projektiovakioksi $\lambda(Y,X) $ aliavaruudessa $X$. Banach-avaruuden jokainen $n$-ulotteinen aliavaruus on täydennettävissä ja $\lambda(Y_n,X) \leq \sqrt{n}$. Banach-avaruuden $Y$ absoluuttinen projektiovakio $\lambda(Y)$ on $$$ \lambda(Y) = \sup_X \lambda(Y,X),$$ missä $X$ kulkee kaikkien niiden Banach-avaruuksien läpi, jotka sisältävät $Y$:n aliavaruutena. Kaikille ääretönulotteisille separoituville Banach-avaruuksille $Y$ on $\lambda(Y) = \infty$. Banach-avaruudet, joille $\lambda(Y) \leq Y < \infty$ muodostavat luokan $\mathcal{P}_\lambda$ ($\lambda \geq 1$). Luokka $\mathcal{P}_1$ on yhteneväinen niiden tilojen $C(Q)$ luokan kanssa, joissa $Q$ on äärellisesti irrallisia kompakteja (vrt. äärellisesti irralliset tilat).

Finite-ulotteinen tapaus

Fundamentaaliset lauseet äärellisulotteisista Banach-avaruuksista:

1. Finiittiulotteinen avaruus on täydellinen, ts. on Banachin avaruus.
2. Kaikki lineaariset operaattoritiniiniiniittiulotteisessa Banachin avaruudessa ovat jatkuvia.
3. Finiittiulotteinen Banachin avaruus on refleksiivinen ($X^*$:n ulottuvuus on yhtä suuri kuin $X$:n ulottuvuus)
4. Banachin avaruus on neliulotteinen, jos, ja vain, jos sen yksikköpallo on kompakti.
5. Kaikki $n$-ulotteiset Banach-avaruudet ovat pareittain isomorfisia; niiden joukosta tulee kompakti, jos otetaan käyttöön etäisyys

$$$ d(X,Y) = \ln\inf_T\bigl\|T\bigr\|\bigl\|T^{-1}\bigr\|.$$

Sarjojen konvergenssi

Sarja\alkaa{yhtälö}\sum_{k=1}^\infty x_k, \kvad x_k \in X \label{eq:sarjan}\end{yhtälö} sanotaan olevan konvergentti, jos osasummien sarjalle on olemassa raja-arvo $S$:$$ \lim_{n \rightarrow \infty}\norm{S – \sum_{k=1}^n x_k} = 0.$$If$$\sum_{k=1}^\infty \norm{x_k} < \infty,$$sarja $\eqref{eq:series}$ on konvergentti ja sanotaan tällaisessa tapauksessa absoluuttisesti konvergentiksi. Sarjan sanotaan olevan ehdoitta konvergentti, jos se konvergoi, kun sen termejä järjestetään mielivaltaisesti uudelleen. Absoluuttisesti konvergentin sarjan summa on riippumaton sen termien sijoittelusta. Ehdoton ja absoluuttinen konvergenssi vastaavat toisiaan, kun kyseessä ovat sarjat äärellisulotteisessa avaruudessa (ja erityisesti numerosarjat). Ehdoton konvergenssi seuraa absoluuttisesta konvergenssista ääretönulotteisissa Banach-avaruuksissa, mutta käänteisluku ei päde missään ääretönulotteisessa Banach-avaruudessa. Tämä on seuraus Dvoretskii-Rogersin lauseesta: Kaikille luvuille $\alpha_k \geq 0$, joihin sovelletaan ehtoa $\sum\alpha_k^2 < \infty$, on olemassa jokaisessa äärettömän moniulotteisessa Banach-avaruudessa ehdoitta konvergentti sarja $\sum x_k$ siten, että $\norm{x_k} = \alpha_k$, $k=1,2,\ldots$. Avaruudessa $c_0$ (ja siten myös missä tahansa Banach-avaruudessa, joka sisältää $c_0$:n kanssa isomorfisen aliavaruuden), mille tahansa sarjalle $\alpha_k \geq 0$, joka konvergoi nollaan, on olemassa ehdoitta konvergentti sarja $\sum x_k$, $\norm{x_k} = \alpha_k$. Kohdassa $L_p(S ; \Sigma, \mu)$ sarjan $\sum x_k$ ehdoton konvergenssi merkitsee, että$$$ \sum_{k=1}^\infty \norm{x_k}^s < \infty,$$ missä$$ s = \begin{cases}2 & (1 \leq p \leq 2), \\\p & (p \geq 2).\end{cases}$$Yhtäläisesti kuperassa Banach-avaruudessa, jonka kuperuusmoduuli on $\delta(\epsilon)$, sarjan $\sum x_k$ ehdoton konvergenssi merkitsee, että$$$ \sum_{k=1}^\infty\delta(\norm{x_k}) < \infty.$$

Sarjan $\sum x_k$ sanotaan olevan heikosti ehdoton Cauchy, jos numerosarja $\sum\abs{f(x_k)}$ konvergoi jokaiselle $f \in X^*$. Jokainen heikosti ehdoton Cauchyn sarja $X$:ssä konvergoi, jos ja vain jos $X$ ei sisällä yhtään aliavaruutta, joka olisi isomorfinen $c_0$:n kanssa.

Banach-avaruuden elementtien $\set{e_k}_1^\infty$ sarjan sanotaan olevan minimaalinen, jos jokainen sen termi on jäljelle jäävien elementtien lineaarisen rungon $X^{(n)} = _{k \e_k}_1 ^\infty}$ sulkeuman ulkopuolella. Jakson sanotaan olevan tasaisesti minimaalinen, jos$$ \rho(e_n ; X^{(n)}) \geq \gamma\norm{e_n}, \quad0 < \gamma \leq 1, \quadn = 1, 2, \ldots.$$$Jos $\gamma=1$, sarjan sanotaan olevan Auerbachin järjestelmä. Jokaisessa $n$-ulotteisessa Banach-avaruudessa on olemassa täydellinen Auerbachin järjestelmä $\set{e_k}_1^n$. Ei tiedetä (1985), onko jokaisessa separoituvassa Banach-avaruudessa olemassa täydellinen Auerbachin järjestelmä. Jokaiselle minimaaliselle systeemille on olemassa lineaaristen funktioiden adjunktiojärjestelmä $\set{f_n}$, joka on yhteydessä $\set{e_k}$:n kanssa biorthogonaalisuussuhteilla: $f_i(e_j) = \delta_{ij}$. Tällöin järjestelmän $\set{e_k,f_k}$ sanotaan olevan biorthogonaalinen. Lineaaristen funktioiden joukon sanotaan olevan totaalinen, jos se hävittää vain avaruuden nollaelementin. Jokaisessa separoituvassa Banach-avaruudessa on olemassa täydellinen, minimaalinen järjestelmä, jolla on totaalinen adjunktio. Jokainen elementti $x \ in X$ voidaan muodollisesti kehittää sarjana biorthogonaalisella systeemillä:$$ x \sim \sum_{k=1}^\infty f_k(x)e_k,$$ mutta yleisessä tapauksessa tämä sarja on divergentti.

Pohjat

Elementtijärjestelmän $\set{e_k}_1^\infty$ sanotaan olevan perusta $X$:ssä, jos jokainen elementti $x \ X$:ssä$ voidaan esittää yksikäsitteisesti konvergenttina sarjana$$x = \sum_{k=1}^\infty \alpha_k e_k, \quad \alpha_k = \alpha_k(x). $$$Jokainen Banach-avaruuden perusta on täydellinen yhtenäinen minimaalinen systeemi, jolla on kokonaisadjunktio. Käänteinen ei päde, kuten nähdään esimerkistä $\set{e^{int}}_{-\infty}^\infty$ systeemi $C$:ssä ja $L_1$:ssä.

Pohjan sanotaan olevan ehdoton, jos kaikki sen uudelleenjärjestelyt ovat myös pohjia; muussa tapauksessa sen sanotaan olevan ehdollinen. Systeemi $\set{e^{int}}_{-\infty}^\infty$ in $L_p$, $p>1$, $p \neq 2$, on ehdollinen perusta. Haar-systeemi on ehdoton perusta alueella $L_p$, $p > 1$. Tiloissa $C$ ja $L_1$ ei ole ehdotonta perustaa. Ei tiedetä (1985), sisältääkö jokainen Banach-avaruus äärettömän ulottuvuuden aliavaruuden, jolla on ehdoton perusta. Jokainen ei-refleksiivinen Banach-avaruus, jolla on ehdoton perusta, sisältää aliavaruuden, joka on isomorfinen $\ell_1$:n tai $c_0$:n kanssa.

Kaksi normalisoitua perustaa $\set{e_k^\prime}$ ja $\set{e_k^{\prime\prime}} $ kahdessa Banach-avaruudessa $X_1$ ja $X_2$ sanotaan olevan ekvivalentteja, jos vastaavuus $e_k^^\prime \leftrightarrow e_k^{\prime\prime}$, $k=1,2,\ldots$, voidaan laajentaa isomorfismiksi $X_1$ ja $X_2$ välillä. Jokaisessa avaruudessa $\ell_2$, $\ell_1$, $c_0$ kaikki normalisoidut ehdottomat emäkset ovat ekvivalentteja luonnollisen emäksen kanssa. Banach-avaruuksiin konstruoidut perusteet, joilla on tärkeitä sovelluksia, eivät aina sovellu ongelmien ratkaisemiseen esim. operaattoreiden teoriassa. Tässä yhteydessä on otettu käyttöön $T$-perustat eli summausperustat. Olkoon $\set{t_{i,j}}_1^\infty$ säännöllisen summausmenetelmän matriisi. Alkuainejärjestelmä $\set{e_n} \subset X$ sanotaan olevan kyseistä summausmenetelmää vastaava $T$-perusta, jos jokainen $x \in X$ voidaan esittää yksikäsitteisesti sarjalla$$ x \sim \sum_{k=1}^\infty \alpha_k e_k,$$joka on summautuva $x$:hen tällä menetelmällä. Trigonometrinen järjestelmä $\set{e^{int}}_{-\infty}^\infty$ $C$:ssä on summausperuste Cesàron ja Abelin menetelmille. Jokainen $T$-perusta on täydellinen minimaalinen (ei välttämättä yhtenäisen minimaalinen) järjestelmä, jolla on kokonaisadjunktio. Käänteinen päinvastoin ei pidä paikkaansa. Banach-avaruuksien teorian tärkeimpiä ongelmia 1970-luvulle asti oli Banachin itsensä käsittelemä perustaongelma: Onko jokaisessa separoituvassa Banach-avaruudessa olemassa perusta? Kysymys perustan olemassaolosta spesifisesti määritellyissä Banach-avaruuksissa jäi myös avoimeksi. Ensimmäinen esimerkki separoituvasta Banach-avaruudesta, jolla ei ole perustaa, konstruoitiin vuonna 1972; perustuksia on konstruoitu myös avaruuksissa $C^n(I^m)$ ja $A(D)$.

	S. Banach, ”Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales” Fund. Math., 3 (1922) s. 133-181 JFM Zbl 48.0201.01
	S.S. Banach, ”Kurssin funktionaalianalyysi”, Kiova (1948) (Ukrainan kielellä)
	B. Beauzamy, ”Introduction to Banach spaces and their geometry”, North-Holland (1985) MR0889253 Zbl 0585.46009
	N. Bourbaki, ”Matematiikan alkeet. Topological vector spaces”, Addison-Wesley (1977) (Käännetty ranskasta) MR0583191 Zbl 1106.46003 Zbl 1115.46002 Zbl 0622.46001 Zbl 0482.46001 Zbl 0482.46001
	M.M. Day, ”Normed linear spaces”, Springer (1958) MR0094675 Zbl 0082.10603
		J.J. Diestel, ”Geometry of Banach spaces. Selected topics”, Springer (1975) MR0461094 Zbl 0307.46009
	N. Dunford, J.T. Schwartz, ”Lineaariset operaattorit. General theory”, 1, Interscience (1958) MR0117523
	J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, ”Classical Banach spaces”, 1-2, Springer (1977-1979) MR0500056 Zbl 0362.46013
	R.V. Kadison, J.R. Ringrose, ”Fundamentals of the Theory of Operator Algebras”, Volume I: Elementary Theory, AMS (1997) MR1468229
	Z. Semanedi, ”Banach spaces of continuous functions”, Polish Sci. Publ. (1971)
	I.M. Singer, ”Bases in Banach spaces”, 1-2, Springer (1970-1981) MR0298399 MR0268648 Zbl 0198.16601 Zbl 0189.42901