Analiză armonică

Analiză armonică, procedeu matematic de descriere și analiză a fenomenelor cu caracter periodic recurent. Multe probleme complexe au fost reduse la termeni ușor de gestionat prin tehnica descompunerii curbelor matematice complicate în sume de componente relativ simple.

Multe fenomene fizice, cum ar fi undele sonore, curenții electrici alternativi, mareele și mișcările și vibrațiile mașinilor, pot avea un caracter periodic. Astfel de mișcări pot fi măsurate la un număr de valori succesive ale variabilei independente, de obicei timpul, iar aceste date sau o curbă trasată din ele vor reprezenta o funcție a acelei variabile independente. În general, expresia matematică a funcției va fi necunoscută. Cu toate acestea, în cazul funcțiilor periodice întâlnite în natură, funcția poate fi exprimată ca sumă a unui număr de termeni sinusoidali și cosinusoidali. O astfel de sumă este cunoscută sub numele de serie Fourier, după numele matematicianului francez Joseph Fourier (1768-1830), iar determinarea coeficienților acestor termeni se numește analiză armonică. Unul dintre termenii unei serii Fourier are o perioadă egală cu cea a funcției, f(x), și se numește fundamentală. Alți termeni au perioade mai scurte care sunt submulțimi integrale ale fundamentalei; aceștia se numesc armonici. Terminologia provine de la una dintre primele aplicații, studiul undelor sonore create de o vioară (a se vedea analiză: Originile muzicale și Analiza Fourier).

În 1822 Fourier a afirmat că o funcție y = f(x) poate fi exprimată între limitele x = 0 și x = 2π prin seria infinită care este dată acum sub formacu condiția ca funcția să fie monovalentă, finită și continuă, cu excepția unui număr finit de discontinuități, și undeșipentru k ≥ 0. Cu restricția suplimentară că trebuie să existe doar un număr finit de extremumuri (maxime și minime locale), teorema a fost demonstrată de matematicianul german Peter Lejeune Dirichlet în 1829.

Utilizarea unui număr mai mare de termeni va crește acuratețea aproximării, iar cantitățile mari de calcule necesare sunt cel mai bine realizate de mașinile numite analizoare armonice (sau de spectru); acestea măsoară amplitudinile relative ale componentelor sinusoidale ale unei funcții recurente periodic. Primul astfel de instrument a fost inventat de matematicianul și fizicianul britanic William Thomson (ulterior baronul Kelvin) în 1873. Acest aparat, utilizat pentru analiza armonică a observațiilor mareelor, îngloba 11 seturi de integratori mecanici, câte unul pentru fiecare armonică de măsurat. O mașină și mai complicată, care gestiona până la 80 de coeficienți, a fost proiectată în 1898 de fizicienii americani Albert Abraham Michelson și Samuel W. Stratton.

Mașinile și metodele timpurii foloseau o curbă sau un set de date determinate experimental. În cazul curenților sau tensiunilor electrice, este posibilă o metodă cu totul diferită. În loc să se facă o înregistrare oscilografică a tensiunii sau a curentului și să se analizeze matematic, analiza se efectuează direct asupra mărimii electrice prin înregistrarea răspunsului pe măsură ce frecvența naturală a unui circuit acordat este variată într-o gamă largă. Astfel, analizoarele și sintetizatoarele de armonici din secolul XX au avut tendința de a fi mai degrabă dispozitive electromecanice decât pur mecanice. Analizoarele moderne afișează vizual semnalele modulate în frecvență cu ajutorul unui tub catodic, iar principiile digitale sau analogice ale calculatoarelor sunt folosite pentru a efectua analiza Fourier în mod automat, realizându-se astfel aproximări de mare acuratețe.

.