Analiza harmoniczna

Analiza harmoniczna, procedura matematyczna służąca do opisu i analizy zjawisk o charakterze okresowo powtarzającym się. Wiele złożonych problemów zostało zredukowanych do łatwych do opanowania dzięki technice rozbijania skomplikowanych krzywych matematycznych na sumy stosunkowo prostych składników.

Wiele zjawisk fizycznych, takich jak fale dźwiękowe, zmienne prądy elektryczne, pływy morskie oraz ruchy i wibracje maszyn, może mieć charakter okresowy. Takie ruchy mogą być mierzone przy pewnej liczbie kolejnych wartości zmiennej niezależnej, zwykle czasu, a dane te lub wykreślona z nich krzywa będą reprezentować funkcję tej zmiennej niezależnej. Ogólnie rzecz biorąc, matematyczne wyrażenie funkcji będzie nieznane. Jednakże, w przypadku funkcji okresowych występujących w przyrodzie, funkcja może być wyrażona jako suma szeregu sinusów i kosinusów. Taka suma jest znana jako szereg Fouriera, od nazwiska francuskiego matematyka Josepha Fouriera (1768-1830), a wyznaczanie współczynników tych szeregów nazywa się analizą harmoniczną. Jeden z członów szeregu Fouriera ma okres równy okresowi funkcji f(x) i nazywany jest podstawowym. Inne wyrażenia mają skrócone okresy, które są integralnymi podwielokrotnościami fundamentalnego; są one nazywane harmonicznymi. Terminologia wywodzi się z jednego z najwcześniejszych zastosowań, badania fal dźwiękowych tworzonych przez skrzypce (patrz analiza: Początki muzyczne i analiza Fouriera).

W 1822 Fourier stwierdził, że funkcja y = f(x) może być wyrażona między granicami x = 0 i x = 2π przez nieskończony szereg, który jest obecnie podany w postacipod warunkiem, że funkcja jest jednowartościowa, skończona i ciągła z wyjątkiem skończonej liczby nieciągłości, i gdzieidla k ≥ 0. Z dalszym ograniczeniem, że istnieje tylko skończona liczba ekstremum (lokalne maksima i minima), twierdzenie zostało udowodnione przez niemieckiego matematyka Petera Lejeune Dirichleta w 1829 roku.

Użycie większej liczby terminów zwiększy dokładność aproksymacji, a duże ilości potrzebnych obliczeń są najlepiej wykonywane przez maszyny zwane analizatorami harmonicznymi (lub spektrum); mierzą one względne amplitudy sinusoidalnych składników okresowo powtarzającej się funkcji. Pierwszy taki przyrząd został wynaleziony przez brytyjskiego matematyka i fizyka Williama Thomsona (późniejszego barona Kelvina) w 1873 roku. Maszyna ta, służąca do analizy harmonicznej obserwacji pływów, zawierała 11 zestawów integratorów mechanicznych, po jednym dla każdej mierzonej harmonicznej. Jeszcze bardziej skomplikowana maszyna, obsługująca do 80 współczynników, została zaprojektowana w 1898 roku przez amerykańskich fizyków Alberta Abrahama Michelsona i Samuela W. Strattona.

Wczesne maszyny i metody wykorzystywały doświadczalnie wyznaczoną krzywą lub zestaw danych. W przypadku prądów lub napięć elektrycznych, możliwa jest zupełnie inna metoda. Zamiast wykonywania zapisu oscylograficznego napięcia lub prądu i analizowania go matematycznie, analiza jest wykonywana bezpośrednio na wielkości elektrycznej poprzez rejestrowanie odpowiedzi, gdy częstotliwość drgań własnych dostrojonego obwodu jest zmieniana w szerokim zakresie. Tak więc, analizatory harmoniczne i syntezatory XX wieku były raczej urządzeniami elektromechanicznymi niż czysto mechanicznymi. Nowoczesne analizatory wyświetlają modulowane częstotliwościowo sygnały wizualnie za pomocą lampy katodowej, a cyfrowe lub analogowe zasady komputerowe są wykorzystywane do automatycznego przeprowadzania analizy Fouriera, osiągając w ten sposób przybliżenia o dużej dokładności.

.