Analisi armonica

Analisi armonica, procedura matematica per descrivere e analizzare fenomeni di natura periodicamente ricorrente. Molti problemi complessi sono stati ridotti a termini gestibili dalla tecnica di rompere complicate curve matematiche in somme di componenti relativamente semplici.

Molti fenomeni fisici, come le onde sonore, le correnti elettriche alternate, le maree, i movimenti e le vibrazioni delle macchine, possono essere di carattere periodico. Tali movimenti possono essere misurati a un certo numero di valori successivi della variabile indipendente, di solito il tempo, e questi dati o una curva tracciata da essi rappresenteranno una funzione di quella variabile indipendente. Generalmente, l’espressione matematica per la funzione sarà sconosciuta. Tuttavia, con le funzioni periodiche trovate in natura, la funzione può essere espressa come la somma di un certo numero di termini di seno e coseno. Tale somma è conosciuta come una serie di Fourier, dal nome del matematico francese Joseph Fourier (1768-1830), e la determinazione dei coefficienti di questi termini è chiamata analisi armonica. Uno dei termini di una serie di Fourier ha un periodo uguale a quello della funzione, f(x), ed è chiamato fondamentale. Altri termini hanno periodi abbreviati che sono sottomultipli integrali del fondamentale; questi sono chiamati armonici. La terminologia deriva da una delle prime applicazioni, lo studio delle onde sonore create da un violino (vedi analisi: origini musicali e analisi di Fourier).

Nel 1822 Fourier affermò che una funzione y = f(x) poteva essere espressa tra i limiti x = 0 e x = 2π dalla serie infinita che ora è data nella formaa patto che la funzione sia monodimensionale, finita e continua tranne che per un numero finito di discontinuità, e doveeper k ≥ 0. Con l’ulteriore restrizione che ci sia solo un numero finito di estremi (massimi e minimi locali), il teorema fu dimostrato dal matematico tedesco Peter Lejeune Dirichlet nel 1829.

L’uso di un numero maggiore di termini aumenterà la precisione dell’approssimazione, e le grandi quantità di calcoli necessari sono meglio fatte da macchine chiamate analizzatori armonici (o spettri); questi misurano le ampiezze relative delle componenti sinusoidali di una funzione periodicamente ricorrente. Il primo strumento di questo tipo fu inventato dal matematico e fisico britannico William Thomson (poi barone Kelvin) nel 1873. Questa macchina, utilizzata per l’analisi armonica delle osservazioni delle maree, incorporava 11 serie di integratori meccanici, uno per ogni armonica da misurare. Una macchina ancora più complicata, in grado di gestire fino a 80 coefficienti, fu progettata nel 1898 dai fisici americani Albert Abraham Michelson e Samuel W. Stratton.

Le prime macchine e metodi facevano uso di una curva o un insieme di dati determinati sperimentalmente. Nel caso di correnti o tensioni elettriche, è possibile un metodo completamente diverso. Invece di fare una registrazione oscillografica della tensione o della corrente e analizzarla matematicamente, l’analisi viene eseguita direttamente sulla grandezza elettrica registrando la risposta quando la frequenza naturale di un circuito accordato viene variata attraverso un’ampia gamma. Così, gli analizzatori e i sintetizzatori armonici del XX secolo tendevano ad essere dispositivi elettromeccanici piuttosto che puramente meccanici. Gli analizzatori moderni visualizzano i segnali modulati in frequenza per mezzo di un tubo a raggi catodici, e i principi del computer digitale o analogico sono utilizzati per eseguire automaticamente l’analisi di Fourier, ottenendo così approssimazioni di grande precisione.