Banach-tér

B-tér

2010 Mathematics Subject Classification: Elsődleges: 46B Másodlagos: 46E15 $\newcommand{\abs}{\left|#1\right|}\newcommand{\norm}{\left\|#1\right\|}\newcommand{\set}{\left\{#1\right\}}$

Egy teljes normált vektortér. A Banach-térrel kapcsolatos problémák különböző típusúak: az egységgömb geometriája, a részterek geometriája, a lineáris topológiai osztályozás, sorozatok és sorozatok Banach-térben, legjobb közelítések Banach-térben, függvények értékei Banach-térben stb. A Banach-térbeli operátorok elméletével kapcsolatban ki kell emelni, hogy számos tétel közvetlenül kapcsolódik a Banach-tér geometriájához és topológiájához.

Történet

A D. Hilbert, M. Fréchet és F. Riesz által 1904 és 1918 között bevezetett függvényterek szolgáltak a Banach-tér elméletének kiindulópontjául. Eredetileg ezekben a terekben tanulmányozták az erős és gyenge konvergencia, a tömörség, a lineáris függvény, a lineáris operátor stb. alapvető fogalmait. A Banach tereket S. Banachról nevezték el, aki 1922-ben megkezdte e terek szisztematikus tanulmányozását , az általa bevezetett axiómák alapján, és igen fejlett eredményeket ért el.

A Banach terek elmélete párhuzamosan fejlődött a lineáris topológiai terek általános elméletével. Ezek az elméletek kölcsönösen gazdagították egymást új ötletekkel és tényekkel. Így a normált terek elméletéből átvett félnormák gondolata nélkülözhetetlen eszközzé vált a lokálisan konvex lineáris topológiai terek elméletének felépítésében. Az elemek gyenge konvergenciájának és a Banach-térbeli lineáris függvények gyenge konvergenciájának gondolatai végül a gyenge topológia fogalmává fejlődtek. A Banach-terek elmélete a funkcionálanalízis alaposan tanulmányozott ága, számos alkalmazással a matematika különböző ágaiban – közvetlenül vagy az operátorok elméletén keresztül.

Általánosságok

A $X$ Banach-tér $\R$ vagy $\C$ feletti vektortér $\norm{\cdot}$ normával, amely e norma tekintetében teljes, azaz minden Cauchy-sorozat $X$-ben konvergál.

Két $X$, $Y$ Banach-tér esetén jelöljük $B(X,Y)$-val a $X$-ről $Y$-ra történő lineáris folytonos leképezések terét. Ez önmagában egy Banach-tér a norma$$\norm{T} = \sup_{x \neq 0} \frac{\norm{Tx}}{\norm{x}}.$$

Példák

Az analízisben előforduló Banach-terek többnyire függvények vagy számsorozatok halmazai, amelyekre bizonyos feltételek vonatkoznak.

1. $\ell_p$, $p \geq 1$, az olyan számsorozatok $\set{\xi_n}$ tere, amelyekre $$ \sum_{n=1}^\infty \abs{\xi_n}^p < \infty$$ a norma $$ \norm{x} = \left( \sum_{n=1}^\infty \abs{\xi_n}^p \right)^{1/p}. $$
2. $m$ a $$ \norm{x} = \sup_n\abs{\xi_n} normájú korlátos számsorozatok tere.$$
3. $c$ a $$\norm{x} = \sup_n\abs{\xi_n} normájú konvergens számsorozatok tere.$$
4. $c_0$ a nullához konvergáló numerikus sorozatok tere $$ \norm{x} = \max_n\abs{\xi_n} normával.$$
5. $C$ a $$$-n $x=x(t)$ folytonos függvények tere $$$-n a normával $$\norm{x} = \max_{a \leq t \leq b}\abs{x(t)}.$$$
6. $C$$ a $K$ kompaktumon $$ folytonos függvények tere a normával $$\norm{x} = \max_{t \in K}\abs{x(t)}$$$.
7. $C^n$ a $n$ rendig bezárólag folytonos deriváltakkal rendelkező függvények tere, amelynek normája $$\norm{x} = \sum_{k=0}^n \max_{a \leq t \leq b}\abs{x^{(k)}(t)}. $$
8. $C^n$ az $m$-dimenziós kockában definiált azon függvények tere, amelyek folytonosan differenciálhatók $n$ rendig bezárólag, és amelyeknek a normája az összes legfeljebb $n$ rendű deriváltban egyenletesen korlátos. (Vö. Hölder-tér.)
9. $M$ a korlátos mérhető függvények tere, amelynek normája $$\norm{x} = \mathop{\mathrm{ess\;max}}}_{a \leq t \leq b} \abs{x(t)}.$$
10. $A(D)$ azoknak a függvényeknek a tere, amelyek analitikusak a $D$ nyitott egységkorongban és folytonosak a $\bar{D}$ zárt korongban, a norma $$\norm{x} = \max_{z \in \bar{D}}\abs{x(z)}. $$
11. $L_p(S ; \Sigma, \mu)$, $p \geq 1$, az $S$ halmazon definiált $x(s)$ függvények tere, mely $\mu$ megszámlálhatóan additív mértékkel van ellátva, a norma $$\norm{x} = \left( \int_S \abs{x(s)}^p \,\mu(\mathrm{d}s) \right)^{1/p}.$$ (Vö. $L^p$ terek.)
12. $L_p$, $p \geq 1$, a $L_p(S ; \Sigma, \mu)$ tér speciális esete. Ez a Lebesgue-mérhető, $p$ fokú összegezhető függvények tere, amelynek normája $$\norm{x} = \left( \int_a^b \abs{x(s)}^p \,\mathrm{d}s \right)^{1/p}.$$
13. $AP$ a majdnem periodikus függvények Bohr-féle tere, amelynek normája $$\norm{x} = \sup_{-\infty < t < \infty} \abs{x(t)}. $$

A $C$, $C^n$, $L_p$, $c$, $\ell_p$ terek szeparálhatók; a $M$, $m$, $AP$ terek nem szeparálhatók; $C$ akkor és csak akkor szeparálható, ha $K$ egy kompakt metrikus tér.

Egy másik példa a Sobolev-tér és a Hardy-tér $\mathcal{H}^1$. Minden Hilbert-tér egy forteriori Banach-tér.

Kvóták

Egy Banach-tér $Y$ (zárt lineáris) altereje, amelyet az $X$ burkolótéren kívül tekintünk, egy Banach-tér. Egy normált tér $X/Y$ normált terének egy $Y$ altérrel való hányadosa normált tér, ha a normát a következőképpen definiáljuk. Legyen $Y_1 = x_1 + Y$ egy kosztetikus halmaz. Ekkor$$ \norm{Y_1} = \inf_{y \in Y} \norm{x_1 + y}.$$$Ha $X$ egy Banach-tér, akkor $X/Y$ is egy Banach-tér.

Ez esetben, ha $Z$ egy másik normált tér és $T\in B(X,Z)$ teljesíti $T(Y)=\{0\}$, akkor létezik olyan $\hat T \in B(X/Y,Z)$, hogy $T = \hat T \circ Q$ és $\norm{T}=\norm{\hat T}$, ahol $Q:X \to X/Y$ a hányados leképezés.

Lineáris függvények, duális tér

A $X$ normált téren definiált összes folytonos lineáris függvény halmaza, amelynek normája$$$\norm{f} = \sup_{x \in X} \frac{\abs{f(x)}}{\norm{x}}, \quad x \neq 0 $$$az $X$ duális terének nevezzük, és $X^*$-val jelöljük. Ez egy Banach-tér.

Hahn-Banach-tétel

A Banach-tér kielégíti a lineáris függvények kiterjesztésére vonatkozó Hahn-Banach-tételt: Ha egy lineáris függvényt egy $X$ normált tér egy $Y$ altéren definiálunk, akkor az a linearitás és folytonosság megőrzése mellett kiterjeszthető az egész $X$ térre. Ráadásul a kiterjesztés azonos normájúvá tehető:$$ \norm{f}_X = \sup_{x \in X} \frac{\abs{f(x)}}{\norm{x}} = \norm{f}_Y = \sup_{y \in Y} \frac{\abs{f(y)}}{\norm{y}}.$$$Még egy általánosabb tétel is érvényes: Legyen egy lineáris téren definiált valós értékű függvény $p(x)$, amely kielégíti a feltételeket:$$ p(x+y) \leq p(x) + p(y), \quadp(\lambda x) = \lambda p(x), \quad \lambda \geq 0, \quad x,y \in X,$$és legyen $f(x)$ egy valós értékű lineáris függvény, amely egy $Y \ X$ részterületen definiált, és olyan, hogy$$ f(x) \leq p(x), \quad x \in Y.$$$Ezután létezik egy olyan $F(x)$ lineáris függvény, amely $X$ egészén definiált, úgy, hogy$$$ F(x) = f(x), \quad x \in Y; \quadF(x) \leq p(x), \quad x \in X.$$$ A Hahn-Banach-tétel következménye a “fordított” formula, amely $X$ és $X^*$ normáit kapcsolja össze:$$\norm{x} = \max_{f \in X^*} \frac{\abs{f(x)}}}{\norm{f}},\quadf \neq 0, \quadx \in X.$$$A képletben szereplő maximumot bizonyos $f=f_X\in X^*$ esetén érjük el. Egy másik fontos következmény a folytonos lineáris függvények elválasztó halmazának létezése, ami azt jelenti, hogy bármely $x_1 \neq x_2 \in X$ létezik egy olyan $f$ lineáris függvény $X$-en, hogy $f(x_1) \neq f(x_2)$ (vö. Teljes függvényhalmaz).

A lineáris függvények általános szerkezete

A lineáris függvények általános alakja számos konkrét Banach-térre ismert. Így $L_p$-n, $p>1$, minden lineáris függvényt egy képlettel$$ f(x) = \int_a^b x(t)y(t) \,\mathrm{d}t,$$megadható, ahol $y \in L_q$, $1/p + 1/q = 1$, és bármely függvény $y(t) \in L_q$ e képlettel definiál egy lineáris függvényt $f$, továbbá$$ \norm{f} = \left( \int_a^b \abs{y(t)}^q \,\mathrm{d}t \right)^{1/q}.$$Így $L_p$ duális tere $L_q$: $L_p^* = L_q$. A $L_1$-en lévő lineáris függvényeket ugyanezzel a képlettel definiáljuk, de ebben az esetben $y \in M$, így $L_1^* = M$.

Bidualitások, reflexivitás

A $X^{**}$ teret, amely $X^*$ duálisa, második duálisnak vagy bidualitásnak mondjuk. A harmadik, negyedik stb. duális tereket hasonló módon definiáljuk. $X$ minden eleme azonosítható valamilyen, $X^*$-on definiált lineáris függvénnyel:$$$ \text{$F(f) = f(x)$ minden $f \in X^*$ ($F \in X^{**}$, $x \in X$),}$$ ahol $\norm{F} = \norm{x}$. Ekkor $X$-t tekinthetjük a $X^{**}$ tér egy altérének, és $X \ X^{**} \ részhalmaz X^\text{IV} \részhalmaz \cdots$, $X^* \részhalmaz X^{***}} \ részhalmaz \cdots$. Ha e zárványok eredményeként a Banach-tér egybeesik a második duáljával, akkor reflexívnek nevezzük. Ilyen esetben minden zárvány egyenlőség. Ha $X$ nem reflexív, akkor minden zárvány szigorú. Ha a $X^{**}/X$ quotiens tér véges, $n$ dimenziójú, akkor $X$-t kvázi reflexívnek mondjuk $n$ rendűnek. Kvázi-reflexív terek minden $n$ esetén léteznek.

Banach terek reflexivitási kritériuma

1. $X$ akkor és csak akkor reflexív, ha minden $f \in X^*$-ra megtalálható egy olyan $x \in X$, amelyre a $$ \norm{f} = \sup_{x \in X} \frac{\abs{f(x)}}{\norm{x}}, \quad x \neq 0, $$ képletben a “sup” érték teljesül.
2. A reflexív Banach-térben és csakis ilyen terekben minden korlátos halmaz a gyenge konvergencia szempontjából viszonylag kompakt: Bármelyik végtelen része tartalmaz egy gyengén konvergens sorozatot (Eberlein-Shmul’yan-tétel). A $L_p$ és $\ell_p$ terek, $p>1$, reflexívek. A $L_1$, $\ell_1$, $C$, $M$, $c$, $m$, $AP$ terek nem reflexívek.

Speciális esetek

Gyengén teljes terek

Egy Banach-tér akkor mondható gyengén teljesnek, ha benne minden gyenge Cauchy-sorozat gyengén konvergál a tér valamely eleméhez. Minden reflexív tér gyengén teljes. Továbbá a $L_1$ és $\ell_1$ Banach terek gyengén teljesek. A $c_0$-nak izomorf részteret nem tartalmazó Banach-terek még szélesebb osztályt alkotnak. Ezek a terek több tekintetben hasonlítanak a gyengén teljes terekhez.

Szigorúan konvex terek

Egy Banach-tér akkor mondható szigorúan konvexnek, ha az egységgömbje $S$ nem tartalmaz szegmenseket. Az egységgömb konvexitásának mennyiségi becslésére konvexitási modulusokat vezetünk be; ezek a helyi konvexitási modulus$$ \delta(x,\epsilon) =\inf\set{1 – \norm{\frac{x+y}{2}}} :y \in S,\, \norm{x-y} \geq \epsilon}, \négyzet x \in S, \négyzet 0 < \epsilon \leq 2,$$és az egységes konvexitás modulus$$ \delta(\epsilon) = \inf_{x \in S} \delta(x,\epsilon).$$$Ha $\delta(x,\epsilon) > 0$ minden $x \in S$ és minden $\epsilon > 0$ esetén, akkor a Banach-tér lokálisan egyenletesen konvexnek mondható. Ha $\delta(x) > 0$, akkor a tér egyenletesen konvexnek mondható. Minden egyenletesen konvex Banach-tér lokálisan egyenletesen konvex; minden lokálisan egyenletesen konvex Banach-tér szigorúan konvex. Véges dimenziós Banach-térben a fordítottak is igazak. Ha egy Banach-tér egyenletesen konvex, akkor reflexív.

Sima terek

Egy Banach-tér akkor mondható simának, ha bármely lineárisan független $x$ és $y$ elemre a $\psi(t)=\norm{x+ty}$ függvény $t$ minden értékére differenciálható. Egy Banach-tér akkor mondható egyenletesen simának, ha simasági modulusa$$ \rho(t) = \sup_{x,y \in S}\set{\frac{\norm{x + \tau y} + \norm{x – \tau y}}{2} -1}, \quad \tau > 0,$$megfelel a feltételnek$$ \lim_{\tau \rightarrow 0}\frac{\rho(\tau)}{\tau} = 0.$$Egységesen sima terekben, és csak ilyen terekben, a norma egységesen Fréchet differenciálható. Egyenletesen sima Banach-tér sima. A fordítottja igaz, ha a Banach-tér véges dimenziós. Egy $X$ Banach-tér akkor és csak akkor egyenletesen konvex (egyenletesen sima), ha $X^*$ egyenletesen sima (egyenletesen konvex). Egy $X$ Banach-tér konvexitási modulusa és $X^*$ simasági modulusa között a következő összefüggés áll fenn:$$ \rho_{X^*}(\tau) = \sup_{0 < \epsilon \leq 2}\set{\frac{\epsilon\tau}{2} – \delta_X(\epsilon)}.$$$Ha egy Banach-tér egyenletesen konvex (egyenletesen sima), akkor az összes altér és hányados tér is az. A $L_p$ és $\ell_p$ Banach-tér $p>1$ egyenletesen konvex és egyenletesen sima, és$$$ \delta(\epsilon) \simeq\begin{cases}\epsilon^2 & (1 < p \leq 2) \\\\epsilon^p & (2 \leq p < \infty);\end{esetek}$$$$ \rho(\tau) \simeq\begin{esetek}\tau^p & (1 < p \leq 2) \\\tau^2 & (2 \leq p < \infty);\end{cases}$$$$ \left(f(\epsilon) \simeq \phi(\epsilon) \Leftrightarrow a < \frac{f(\epsilon)}{\phi(\epsilon)} < b\right).$$$A Banach terek $M$, $C$, $A$, $L_1$, $AP$, $m$, $c$, $\ell_1$ nem szigorúan konvexek és nem simák.

Lineáris operátorok

A lineáris operátorokra vonatkozó következő fontos tételek érvényesek Banach terekben:

A Banach-Steinhaus-tétel.

Ha egy $T=\set{T_\alpha}$ lineáris operátorcsalád minden ponton,$$\sup_\alpha \norm{T_\alpha x} < \infty, \quad x \in X,$$ korlátos normával:$$ \sup_\alpha \norm{T_\alpha} < \infty.$$

A Banach-féle nyitott leképezés tétele.

Ha egy lineáris folytonos operátor egy Banach teret $X$ egy Banach térre $Y$ egy-az-egyhez megfeleltetésben leképez, akkor az inverz operátor $T^{-1}$ is folytonos.

A zárt gráftétel.

Ha egy zárt lineáris operátor egy $X$ Banach teret egy $Y$ Banach térbe képez le, akkor folytonos.

Izometriák és izomorfizmusok

A Banach terek közötti izometriák ritkán fordulnak elő. A klasszikus példát a $L_1$ és a $\ell_2$ Banach-tér adja. A $C$ és $C$ Banach-tér akkor és csak akkor izometrikus, ha $K_1$ és $K_2$ homeomorf (Banach-Kő-tétel). Az izomorf Banach-terek közelségének mértékegysége a$$ d(X,Y) = \ln\inf\bigl\|T\bigr\|\bigl\|T^{-1}\bigr\|,$$ ahol $T$ végigfut az összes lehetséges operátoron, amely megvalósítja a $X$ és $Y$ közötti (lineáris topológiai) izomorfizmust. Ha $X$ izometrikus $Y$-hoz, akkor $d(X,Y)=0$. Léteznek azonban nem izometrikus terek is, amelyekre $d(X,Y)=0$; ezeket majdnem izometrikusnak nevezzük. A Banach-terek izomorfizmus alatt megőrzött tulajdonságait lineáris topológiájúnak mondjuk. Ezek közé tartozik a szeparálhatóság, a reflexivitás és a gyenge teljesség. A Banach-terek izomorf osztályozása tartalmazza különösen a következő tételeket:$$ L_r \neq L_s; \quad \ell_r \neq \ell_s, \quad r \neq s$$$$ L_r \neq \ell_s, \quad r \neq s; \quadL_r = \ell_s, \quad r = s = 2;$$$$ M=m; \quad C \neq A(D);$$$C = C$ ha $K$ egy metrikus kompaktum a kontinuum kardinalitásával;$$$ C^n \neq C.$$

Minden szeparálható Banach-tér izomorf egy lokálisan egyenletesen konvex Banach-térrel. Nem ismert (1985), hogy vannak-e olyan Banach-térségek, amelyek egyik hiperterükkel sem izomorfikusak. Léteznek olyan Banach-terek, amelyek nem izomorfikusak a szigorúan konvex terekkel. Függetlenül a normált terek lineáris jellegétől, lehetséges a topológiai osztályozásukat vizsgálni. Két tér homeomorf, ha elemeik között egy-egy olyan folytonos megfeleltetés állítható fel, amelynek inverze szintén folytonos. Egy nem teljes normált tér nem homeomorf bármely Banach-térrel. Minden végtelen dimenziós szeparálható Banach-tér homeomorf.

A szeparálható Banach-tér osztályában $C$ és $A(D)$ univerzális (vö. univerzális tér). A reflexív szeparálható Banach-tér osztálya még izomorf univerzális tereket sem tartalmaz. A $\ell_1$ Banach-tér némileg más értelemben univerzális: Minden szeparálható Banach-tér izometrikus valamelyik quotiens terével.

Nemkomplementálható altér

A fent említett Banach-térségek mindegyike, kivéve $L_2$ és $\ell_2$, tartalmaz komplement nélküli altérséget. Különösen $m$-ben és $M$-ben minden végtelen dimenziós szeparálható altér nem komplementer, míg $C$-ben minden végtelen dimenziós reflexív altér nem komplementer. Ha egy Banach-térben minden altér komplementer, akkor a tér izomorfikus egy Hilbert-térrel. Nem ismert (1985), hogy minden Banach-tér néhány két végtelen dimenziós altér közvetlen összege-e vagy sem. Egy $Y$ altér akkor és csak akkor komplementer, ha létezik olyan vetület, amely $X$-t leképezi $Y$-ra. A $Y$-ra vonatkozó vetületek normáinak alsó korlátját a $Y$ altér $\lambda(Y,X) $ relatív vetítési konstansának nevezzük $\lambda(Y,X) $ az $X$ altérben. Egy Banach-tér minden $n$ dimenziós altérsége kiegészíthető és $\lambda(Y_n,X) \leq \sqrt{n}$. Egy $Y$ Banach-tér $\lambda(Y)$ abszolút vetítési állandója a$$$ \lambda(Y) = \sup_X \lambda(Y,X),$$ ahol $X$ végigfut minden olyan Banach-téren, amely $Y$-t altérként tartalmazza. Bármely végtelen dimenziós szeparálható $Y$ Banach-tér esetén $\lambda(Y) = \infty$. Azok a Banach-térségek, amelyekre $\lambda(Y) \leq Y < \infty$ vonatkozik, a $\mathcal{P}_\lambda$ osztályt alkotják ($\lambda \geq 1$). A $\mathcal{P}_1$ osztály egybeesik a $C(Q)$ terek osztályával, ahol $Q$ extrém módon szétválasztott kompakta (vö. Extrém módon szétválasztott tér).

Véges dimenziós eset

Fundamentális tételek véges dimenziós Banach terekre:

1. Egy véges dimenziós tér teljes, azaz Banach-tér.
2. Egy véges dimenziós Banach-térben minden lineáris operátor folytonos.
3. Egy véges dimenziós Banach-tér reflexív ($X^*$ dimenziója egyenlő $X$ dimenziójával).
4. Egy Banach-tér akkor és csak akkor véges dimenziós, ha az egységgömbje kompakt.
5. Minden $n$-dimenziós Banach-tér páronként izomorf; halmazuk kompakt lesz, ha bevezetjük a távolságot

$$ d(X,Y) = \ln\inf_T\bigl\|T\bigr\|\bigl\|T^{-1}\bigr\|.$$

Sorozatok konvergenciája

Egy sorozat\begin{egyenlet}\sum_{k=1}^\infty x_k, \quad x_k \in X \label{eq:sorozat}\end{egyenlet} konvergensnek mondjuk, ha létezik a részösszegek sorozatának $S$ határértéke:$$ \lim_{n \rightarrow \infty}\norm{S – \sum_{k=1}^n x_k} = 0.$$If$$\sum_{k=1}^\infty \norm{x_k} < \infty,$$a sorozat $\eqref{eq:series}$ konvergens, és ilyen esetben abszolút konvergensnek mondjuk. Egy sorozatot feltétel nélkül konvergensnek nevezünk, ha konvergál, ha a tagjait tetszőlegesen átrendezzük. Egy abszolút konvergens sorozat összege független a tagok elrendezésétől. Véges dimenziós térben lévő sorozatok esetében (és különösen a számsorozatok esetében) a feltétlen és az abszolút konvergencia egyenértékű. Végtelen dimenziós Banach-térben az abszolút konvergenciából feltétel nélküli konvergencia következik, de a fordítottja nem igaz egyetlen végtelen dimenziós Banach-térben sem. Ez a Dvoretskii-Rogers-tétel következménye: Minden $\alpha_k \geq 0$ számra, a $\sum\alpha_k^2 < \infty$ feltétel mellett, minden végtelen dimenziós Banach-térben létezik egy olyan feltétel nélkül konvergens $\sum x_k$ sorozat, hogy $\norm{x_k} = \alpha_k$, $k=1,2,\ldots$. A $c_0$ térben (és így bármely olyan Banach-térben is, amely tartalmaz egy $c_0$-val izomorf altérséget) minden olyan $\alpha_k \geq 0$ sorozatra, amely nullához konvergál, létezik egy feltétel nélkül konvergens sorozat $\sum x_k$, $\norm{x_k} = \alpha_k$. A $L_p(S ; \Sigma, \mu)$ a $\sum x_k$ sorozat feltétel nélküli konvergenciája azt jelenti, hogy$$$ \sum_{k=1}^\infty \norm{x_k}^s < \infty,$$$ ahol$$ s = \begin{cases}2 & (1 \leq p \leq 2), \\\p & (p \geq 2).\end{esetek}$$$Egy $\delta(\epsilon)$ konvexitási modulusú egyenletesen konvex Banach-térben a $\sum x_k$ sorozat feltétel nélküli konvergenciája azt jelenti, hogy$$$ \sum_{k=1}^\infty\delta(\norm{x_k}) < \infty.$$

Egy $\sum x_k$ sorozatot akkor mondjuk gyengén feltétel nélkül Cauchy-snak, ha a $\sum\abs{f(x_k)}$ számsor minden $f \in X^*$-ra konvergál. Minden gyengén feltétel nélküli Cauchy-sorozat $X$-ben akkor és csak akkor konvergál, ha $X$ nem tartalmaz $c_0$-nak izomorf részteret.

Egy Banach-tér $\set{e_k}_1^\infty$ elemeinek sorozata minimálisnak mondható, ha minden egyes tagja a $X^{(n)} = _{k \neq n}$, a fennmaradó elemek lineáris burkának zártságán kívül esik. Egy sorozat akkor mondható egyenletesen minimálisnak, ha$$ \rho(e_n ; X^{(n)}) \geq \gamma\norm{e_n}, \quad0 < \gamma \leq 1, \quadn = 1, 2, \ldots.$$$Ha $\gamma=1$, a sorozatot Auerbach-rendszernek mondjuk. Minden $n$-dimenziós Banach-térben létezik egy teljes Auerbach-rendszer $\set{e_k}_1^n$. Nem ismert (1985), hogy minden szeparálható Banach-térben létezik-e teljes Auerbach-rendszer. Minden minimális rendszerhez létezik egy adjungált lineáris függvényekből álló $\set{f_n}$ rendszer, amely a $\set{e_k}$-hez a biorthogonalitás relációk révén kapcsolódik: $f_i(e_j) = \delta_{ij}$. Ilyen esetben a $\set{e_k,f_k}$ rendszert biortogonálisnak mondjuk. Egy lineáris függvényhalmazt totálisnak mondunk, ha csak a tér zérus elemét semmisíti meg. Minden szeparálható Banach-térben létezik egy teljes, minimális rendszer, amelynek totális adjungáltja van. Minden $x \in X$ elem formálisan sorozatban fejleszthető a biortogonális rendszerrel:$$ x \sim \sum_{k=1}^\infty f_k(x)e_k,$$de ez a sorozat általános esetben divergens.

Bázisok

Elemek $\set{e_k}_1^\infty$ rendszerét $X$ bázisnak nevezzük, ha minden $x \in X$ elem egyedileg ábrázolható konvergens sorozatként$$$x = \sum_{k=1}^\infty \alpha_k e_k, \quad \alpha_k = \alpha_k(x). $$$Minden bázis egy Banach-térben egy teljes egységes minimális rendszer, amelynek van egy teljes adjungáltja. A fordítottja nem igaz, amint azt a $\set{e^{int}}_{-\infty}^\infty$ rendszer $C$ és $L_1$ példáján láthatjuk.

Egy bázisról azt mondjuk, hogy feltétlen, ha minden átrendeződése szintén bázis; ellenkező esetben feltételesnek mondjuk. A $\set{e^{int}}_{-\infty}^\infty$ rendszer $L_p$-ban, $p>1$, $p \neq 2$, feltételes bázis. A Haar-rendszer egy feltétel nélküli bázis $L_p$-ben, $p > 1$. A $C$ és $L_1$ terekben nincs feltétel nélküli bázis. Nem ismert (1985), hogy minden Banach-tér tartalmaz-e olyan végtelen dimenziós altérséget, amelynek van feltétlen bázisa. Minden feltétel nélküli bázissal rendelkező nem-reflexív Banach-tér tartalmaz egy $\ell_1$ vagy $c_0$ izomorf altérséget.

Két normalizált bázis $\set{e_k^\prime}$ és $\set{e_k^{\prime\prime}}} $ két Banach-térben $X_1$ és $X_2$ ekvivalensnek mondható, ha a $e_k^\prime \leftrightarrow e_k^{\prime\prime}$, $k=1,2,\ldots$ megfelelés $X_1$ és $X_2$ közötti izomorfizmussá bővíthető. A $\ell_2$, $\ell_1$, $c_0$ terek mindegyikében minden normalizált feltétel nélküli bázis ekvivalens a természetes bázissal. A Banach-térben konstruált bázisok, amelyeknek fontos alkalmazásai vannak, nem mindig alkalmasak problémák megoldására, pl. az operátorok elméletében. Ebben az összefüggésben vezették be a $T$-bázisokat, vagy összegzési bázisokat. Legyen $\set{t_{i,j}}_1^\infty$ egy szabályos összegzési módszer mátrixa. Az elemek $\set{e_n} rendszere \subset X$ akkor tekinthető az adott összegzési módszernek megfelelő $T$-bázisnak, ha minden $x \in X$-ben lévő $x \ egyedileg reprezentálható egy olyan sorozattal$$ x \sim \sum_{k=1}^\infty \alpha_k e_k,$$, amely az adott módszerrel $x$-re összegezhető. A $\set{e^{int}}_{-\infty}^\infty$ trigonometrikus rendszer $\set{e^{int}}_{-\infty}^\infty$ $C$-ban Cesàro és Abel módszerének összegzési alapja. Minden $T$-bázis egy teljes minimális (nem feltétlenül egyenletesen minimális) rendszer egy teljes adjungáltal. A fordítottja nem igaz. Az 1970-es évekig a Banach-térelmélet egyik fő problémája a bázisprobléma volt, amellyel maga Banach foglalkozott: Létezik-e bázis minden szeparálható Banach-térben? A bázis létezésének kérdése a speciálisan definiált Banach-térben is nyitva maradt. Az első példát bázis nélküli szeparálható Banach-térre 1972-ben konstruálták; a $C^n(I^m)$ és $A(D)$ terekben már konstruáltak bázisokat.