Analyse harmonique

Analyse harmonique, procédure mathématique pour décrire et analyser des phénomènes de nature périodiquement récurrente. De nombreux problèmes complexes ont été réduits à des termes gérables par la technique consistant à décomposer des courbes mathématiques compliquées en sommes de composants comparativement simples.

De nombreux phénomènes physiques, tels que les ondes sonores, les courants électriques alternatifs, les marées et les mouvements et vibrations des machines, peuvent avoir un caractère périodique. De tels mouvements peuvent être mesurés à un certain nombre de valeurs successives de la variable indépendante, généralement le temps, et ces données ou une courbe tracée à partir de celles-ci représenteront une fonction de cette variable indépendante. En général, l’expression mathématique de la fonction est inconnue. Cependant, avec les fonctions périodiques que l’on trouve dans la nature, la fonction peut être exprimée comme la somme d’un certain nombre de termes sinus et cosinus. Une telle somme est connue sous le nom de série de Fourier, d’après le mathématicien français Joseph Fourier (1768-1830), et la détermination des coefficients de ces termes est appelée analyse harmonique. L’un des termes d’une série de Fourier a une période égale à celle de la fonction, f(x), et est appelé le fondamental. D’autres termes ont des périodes plus courtes qui sont des sous-multiples entiers du fondamental ; ils sont appelés harmoniques. La terminologie dérive de l’une des premières applications, l’étude des ondes sonores créées par un violon (voir analyse : origines musicales et analyse de Fourier).

En 1822, Fourier a déclaré qu’une fonction y = f(x) pouvait être exprimée entre les limites x = 0 et x = 2π par la série infinie qui est maintenant donnée sous la formeà condition que la fonction soit à valeur unique, finie et continue, sauf pour un nombre fini de discontinuités, et oùetpour k ≥ 0. Avec la restriction supplémentaire qu’il n’y ait qu’un nombre fini d’extremum (maxima et minima locaux), le théorème a été prouvé par le mathématicien allemand Peter Lejeune Dirichlet en 1829.

L’utilisation d’un plus grand nombre de termes augmentera la précision de l’approximation, et les grandes quantités de calculs nécessaires sont mieux réalisées par des machines appelées analyseurs harmoniques (ou de spectre) ; ceux-ci mesurent les amplitudes relatives des composantes sinusoïdales d’une fonction périodiquement récurrente. Le premier instrument de ce type a été inventé par le mathématicien et physicien britannique William Thomson (futur baron Kelvin) en 1873. Cette machine, utilisée pour l’analyse harmonique des observations de marées, comportait 11 jeux d’intégrateurs mécaniques, un pour chaque harmonique à mesurer. Une machine encore plus compliquée, traitant jusqu’à 80 coefficients, a été conçue en 1898 par les physiciens américains Albert Abraham Michelson et Samuel W. Stratton.

Les premières machines et méthodes utilisaient une courbe ou un ensemble de données déterminées expérimentalement. Dans le cas des courants ou des tensions électriques, une méthode entièrement différente est possible. Au lieu de faire un enregistrement oscillographique de la tension ou du courant et de l’analyser mathématiquement, l’analyse est effectuée directement sur la quantité électrique en enregistrant la réponse lorsque la fréquence naturelle d’un circuit accordé varie dans une large gamme. Ainsi, les analyseurs et synthétiseurs d’harmoniques du 20e siècle ont eu tendance à être des dispositifs électromécaniques plutôt que purement mécaniques. Les analyseurs modernes affichent visuellement les signaux modulés en fréquence au moyen d’un tube cathodique, et des principes informatiques numériques ou analogiques sont utilisés pour effectuer automatiquement l’analyse de Fourier, ce qui permet d’obtenir des approximations d’une grande précision.