Análisis armónico

Análisis armónico, procedimiento matemático para describir y analizar fenómenos de naturaleza periódicamente recurrente. Muchos problemas complejos se han reducido a términos manejables mediante la técnica de descomponer curvas matemáticas complicadas en sumas de componentes comparativamente simples.

Muchos fenómenos físicos, como las ondas sonoras, las corrientes eléctricas alternas, las mareas y los movimientos y vibraciones de las máquinas, pueden tener carácter periódico. Estos movimientos pueden medirse en un número de valores sucesivos de la variable independiente, generalmente el tiempo, y estos datos o una curva trazada a partir de ellos representarán una función de esa variable independiente. Por lo general, la expresión matemática de la función será desconocida. Sin embargo, con las funciones periódicas que se encuentran en la naturaleza, la función puede expresarse como la suma de un número de términos de seno y coseno. Esta suma se conoce como serie de Fourier, en honor al matemático francés Joseph Fourier (1768-1830), y la determinación de los coeficientes de estos términos se denomina análisis armónico. Uno de los términos de una serie de Fourier tiene un periodo igual al de la función, f(x), y se denomina fundamental. Otros términos tienen periodos más cortos que son submúltiplos integrales de la fundamental; se denominan armónicos. La terminología deriva de una de las primeras aplicaciones, el estudio de las ondas sonoras creadas por un violín (ver análisis: Orígenes musicales y análisis de Fourier).

En 1822 Fourier afirmó que una función y = f(x) podía expresarse entre los límites x = 0 y x = 2π mediante la serie infinita que ahora se da en la formasiempre que la función sea monovaluada, finita y continua excepto por un número finito de discontinuidades, y dondeypara k ≥ 0. Con la restricción adicional de que sólo haya un número finito de extremos (máximos y mínimos locales), el teorema fue demostrado por el matemático alemán Peter Lejeune Dirichlet en 1829.

El uso de un mayor número de términos aumentará la precisión de la aproximación, y las grandes cantidades de cálculos necesarios se realizan mejor con máquinas llamadas analizadores armónicos (o de espectro); éstas miden las amplitudes relativas de los componentes sinusoidales de una función periódicamente recurrente. El primer instrumento de este tipo fue inventado por el matemático y físico británico William Thomson (posteriormente barón Kelvin) en 1873. Esta máquina, utilizada para el análisis armónico de las observaciones de las mareas, contaba con 11 conjuntos de integradores mecánicos, uno para cada armónico a medir. Una máquina aún más complicada, que manejaba hasta 80 coeficientes, fue diseñada en 1898 por los físicos estadounidenses Albert Abraham Michelson y Samuel W. Stratton.

Las primeras máquinas y métodos hacían uso de una curva o conjunto de datos determinados experimentalmente. En el caso de las corrientes o tensiones eléctricas, es posible un método totalmente diferente. En lugar de hacer un registro oscilográfico de la tensión o la corriente y analizarlo matemáticamente, el análisis se realiza directamente sobre la cantidad eléctrica registrando la respuesta al variar la frecuencia natural de un circuito sintonizado a través de un amplio rango. Así, los analizadores y sintetizadores de armónicos del siglo XX tendían a ser dispositivos electromecánicos en lugar de puramente mecánicos. Los analizadores modernos muestran las señales moduladas en frecuencia de forma visual mediante un tubo de rayos catódicos, y se utilizan principios informáticos digitales o analógicos para realizar el análisis de Fourier de forma automática, logrando así aproximaciones de gran precisión.