Harmonisk analyse

Harmonisk analyse, matematisk procedure til at beskrive og analysere fænomener af periodisk tilbagevendende karakter. Mange komplekse problemer er blevet reduceret til håndterbare termer ved hjælp af teknikken med at bryde komplicerede matematiske kurver op i summer af forholdsvis enkle komponenter.

Mange fysiske fænomener, såsom lydbølger, vekslende elektriske strømme, tidevand og maskiners bevægelser og vibrationer, kan være af periodisk karakter. Sådanne bevægelser kan måles ved et antal på hinanden følgende værdier af den uafhængige variabel, sædvanligvis tiden, og disse data eller en kurve, der er tegnet ud fra dem, vil repræsentere en funktion af den uafhængige variabel. Det matematiske udtryk for funktionen vil normalt være ukendt. Med de periodiske funktioner, der findes i naturen, kan funktionen imidlertid udtrykkes som summen af en række sinus- og cosinusudtryk. En sådan sum er kendt som en Fourier-serie, efter den franske matematiker Joseph Fourier (1768-1830), og bestemmelsen af koefficienterne for disse termer kaldes harmonisk analyse. Et af termerne i en Fourier-serie har en periode, der er lig med funktionens f(x) periode, og kaldes grundtonen. Andre termer har forkortede perioder, som er hele undermultipler af grundtonen; disse kaldes harmoniske termer. Terminologien stammer fra en af de tidligste anvendelser, nemlig studiet af de lydbølger, der skabes af en violin (se analyse: Musikalsk oprindelse og Fourier-analyse).

I 1822 fastslog Fourier, at en funktion y = f(x) kunne udtrykkes mellem grænserne x = 0 og x = 2π ved den uendelige serie, der nu er givet på formenforudsat at funktionen er enkeltværdig, endelig og kontinuert bortset fra et endeligt antal diskontinuiteter, og hvorogfor k ≥ 0. Med den yderligere begrænsning, at der kun er et endeligt antal ekstremum (lokale maksima og minima), blev sætningen bevist af den tyske matematiker Peter Lejeune Dirichlet i 1829.

Anvendelsen af et større antal termer vil øge nøjagtigheden af tilnærmelsen, og de store mængder beregninger, der er nødvendige, udføres bedst af maskiner kaldet harmoniske (eller spektrum) analysatorer; disse måler de relative amplituder af sinusformede komponenter i en periodisk tilbagevendende funktion. Det første instrument af denne type blev opfundet af den britiske matematiker og fysiker William Thomson (senere baron Kelvin) i 1873. Denne maskine, der blev anvendt til harmonisk analyse af tidevandsobservationer, bestod af 11 sæt mekaniske integratorer, et for hver harmonisk, der skulle måles. En endnu mere kompliceret maskine, der kunne håndtere op til 80 koefficienter, blev designet i 1898 af de amerikanske fysikere Albert Abraham Michelson og Samuel W. Stratton.

De tidlige maskiner og metoder gjorde brug af en eksperimentelt bestemt kurve eller et sæt af data. I tilfælde af elektriske strømme eller spændinger er der mulighed for en helt anden metode. I stedet for at foretage en oscillografisk registrering af spændingen eller strømmen og analysere den matematisk, foretages analysen direkte på den elektriske størrelse ved at registrere responsen, når den naturlige frekvens i et afstemt kredsløb varieres over et bredt område. Harmoniske analysatorer og synteseapparater i det 20. århundrede var derfor snarere elektromekaniske end rent mekaniske apparater. Moderne analysatorer viser de frekvensmodulerede signaler visuelt ved hjælp af et katodestrålerør, og digitale eller analoge computerprincipper anvendes til at udføre Fourieranalysen automatisk, hvorved der opnås tilnærmelser af stor nøjagtighed.