Harmonisk analys

Harmonisk analys, matematiskt förfarande för att beskriva och analysera fenomen av periodiskt återkommande natur. Många komplexa problem har reducerats till hanterbara termer genom tekniken att bryta upp komplicerade matematiska kurvor i summor av jämförelsevis enkla komponenter.

Många fysikaliska fenomen, såsom ljudvågor, elektriska växelströmmar, tidvatten och maskiners rörelser och vibrationer, kan vara av periodisk karaktär. Sådana rörelser kan mätas vid ett antal på varandra följande värden av den oberoende variabeln, vanligen tiden, och dessa data eller en kurva som ritas upp utifrån dem kommer att representera en funktion av den oberoende variabeln. I allmänhet är det matematiska uttrycket för funktionen okänt. När det gäller de periodiska funktioner som finns i naturen kan funktionen dock uttryckas som summan av ett antal sinus- och cosinustermer. En sådan summa är känd som en Fourier-serie, efter den franske matematikern Joseph Fourier (1768-1830), och bestämningen av koefficienterna för dessa termer kallas harmonisk analys. En av termerna i en Fourier-serie har en period som är lika med funktionen f(x) och kallas fundamental. Andra termer har förkortade perioder som är integrerade delmultiplar av den fundamentala perioden; dessa kallas harmoniska termer. Terminologin härrör från en av de tidigaste tillämpningarna, nämligen studiet av de ljudvågor som skapas av en fiol (se Analys: Musikaliskt ursprung och Fourieranalys).

In 1822 konstaterade Fourier att en funktion y = f(x) kunde uttryckas mellan gränserna x = 0 och x = 2π genom den oändliga serie som nu ges i formenförutsatt att funktionen är enkelvärdig, ändlig och kontinuerlig med undantag för ett ändligt antal diskontinuiteter, och därochför k ≥ 0. Med den ytterligare begränsningen att det endast finns ett ändligt antal extremum (lokala maxima och minima) bevisades satsen av den tyske matematikern Peter Lejeune Dirichlet 1829.

Användningen av ett större antal termer ökar approximationens noggrannhet, och de stora mängder beräkningar som krävs görs bäst med hjälp av maskiner som kallas harmoniska (eller spektrum-) analysatorer; dessa mäter de relativa amplituderna av sinusformiga komponenter i en periodiskt återkommande funktion. Det första instrumentet av detta slag uppfanns av den brittiske matematikern och fysikern William Thomson (senare baron Kelvin) 1873. Denna maskin, som användes för harmonisk analys av tidvattenobservationer, innehöll 11 uppsättningar mekaniska integratorer, en för varje harmonisk som skulle mätas. En ännu mer komplicerad maskin, som kunde hantera upp till 80 koefficienter, konstruerades 1898 av de amerikanska fysikerna Albert Abraham Michelson och Samuel W. Stratton.

Förra maskiner och metoder använde sig av en experimentellt bestämd kurva eller uppsättning data. När det gäller elektriska strömmar eller spänningar är en helt annan metod möjlig. I stället för att göra en oscillografisk registrering av spänningen eller strömmen och analysera den matematiskt, utförs analysen direkt på den elektriska kvantiteten genom att registrera svaret när den naturliga frekvensen i en avstämd krets varieras inom ett brett område. Därför tenderade 1900-talets harmoniska analysatorer och syntar att vara elektromekaniska snarare än rent mekaniska apparater. Moderna analysatorer visar de frekvensmodulerade signalerna visuellt med hjälp av ett katodstrålerör, och digitala eller analoga datorprinciper används för att utföra Fourieranalysen automatiskt och därigenom uppnå approximationer av stor noggrannhet.