Banachrum

B-rum

2010 Matematik Ämnesklassificering: Primär: 46B Sekundär: 46E15 $\newcommand{\abs}{\left|#1\right|}\newcommand{\norm}{\left\|#1\right\|}}\newcommand{\set}{\left\{#1\right\}}$

Ett fullständigt normerat vektorrum. De problem som berör Banach-rummen är av olika slag: enhetskulans geometri, underrummens geometri, den linjära topologiska klassificeringen, serier och sekvenser i Banach-rum, bästa approximationer i Banach-rum, funktioner med värden i ett Banach-rum osv. När det gäller teorin om operatörer i Banach-rum bör det påpekas att många satser är direkt relaterade till Banach-rummens geometri och topologi.

Historia

De funktionsrum som introducerades av D. Hilbert, M. Fréchet och F. Riesz mellan 1904 och 1918 tjänade som utgångspunkt för teorin om Banach-rum. Det är i dessa utrymmen som de grundläggande begreppen stark och svag konvergens, kompakthet, linjär funktionell, linjär operatör osv. ursprungligen studerades. Banach-rummen har fått sitt namn efter S. Banach som 1922 inledde en systematisk studie av dessa rum, baserad på axiom som han själv införde, och som fick mycket avancerade resultat.

Teorin om Banach-rummen utvecklades parallellt med den allmänna teorin om linjära topologiska rum. Dessa teorier berikade varandra ömsesidigt med nya idéer och fakta. Sålunda blev idén om seminormer, hämtad från teorin om normerade utrymmen, ett oumbärligt verktyg för att konstruera teorin om lokalt konvexa linjära topologiska utrymmen. Idéerna om svag konvergens av element och linjära funktionaler i Banach-rum utvecklades slutligen till begreppet svag topologi. Teorin om Banach-rum är en grundligt studerad gren av funktionell analys, med många tillämpningar inom olika grenar av matematiken – direkt eller genom teorin om operatörer.

Generaliteter

Ett Banach-rum $X$ är ett vektorrum över $\R$ eller $\C$ med en norm $\norm{\cdot}$ som är komplett med avseende på denna norm, dvs. att varje Cauchy-sekvens i $X$ konvergerar.

För två Banach-rum $X$, $Y$, beteckna med $B(X,Y)$ rummet av linjära kontinuerliga kartor från $X$ till $Y$. Det är i sig ett Banach-rum med avseende på normen$$$\norm{T} = \sup_{x \neq 0} \frac{\norm{Tx}}}{\norm{x}}.$$ $128>

Exempel

De Banach-rum som man stöter på i analysen är för det mesta uppsättningar av funktioner eller talföljder som är föremål för vissa villkor.

1. $\ell_p$, $p \geq 1$, är utrymmet för numeriska sekvenser $\set{\xi_n}$ för vilka $$ \sum_{n=1}^\infty \abs{\xi_n}^p < \infty$$$ med normen $$ \norm{x} = \left( \sum_{n=1}^\infty \abs{\xi_n}^p \right)^{1/p}. $$
2. $m$ är utrymmet för avgränsade numeriska sekvenser med normen $$ \norm{x} = \sup_n\abs{\xi_n}.$$
3. $c$ är utrymmet för konvergerande numeriska sekvenser med normen $$\norm{x} = \sup_n\abs{\xi_n}.$$
4. $c_0$ är utrymmet för numeriska sekvenser som konvergerar mot noll med normen $$ \norm{x} = \max_n\abs{\xi_n}.$$
5. $C$ är utrymmet för kontinuerliga funktioner $x=x(t)$ på $$ med normen $$\norm{x} = \max_{a \leq t \leq b}\abs{x(t)}.$$
6. $C$ är utrymmet för kontinuerliga funktioner på ett compactum $K$ med normen $$\norm{x} = \max_{t \in K}\abs{x(t)}$$.
7. $C^n$ är utrymmet för funktioner med kontinuerliga derivat upp till och med ordningen $n$, med normen $$\norm{x} = \sum_{k=0}^n \max_{a \leq t \leq b}\abs{x^{(k)}(t)}. $$
8. $C^n$ är utrymmet för alla funktioner definierade i en $m$-dimensionell kub som är kontinuerligt differentierbara upp till och med ordningen $n$, med normen för enhetlig avgränsning i alla derivat av ordningen högst $n$. (Jfr Hölder-rummet.)
9. $M$ är utrymmet för avgränsade mätbara funktioner med normen $$\norm{x} = \mathop{\mathrm{ess\;max}}_{a \leq t \leq b} \abs{x(t)}.$$
10. $A(D)$ är utrymmet för funktioner som är analytiska i den öppna enhetsskivan $D$ och är kontinuerliga i den slutna skivan $\bar{D}$, med normen $$\norm{x} = \max_{z \in \bar{D}}\abs{x(z)}. $$
11. $L_p(S ; \Sigma, \mu)$, $p \geq 1$, är utrymmet för funktioner $x(s)$ definierade på en mängd $S$ som är försedd med ett räknebart additivt mått $\mu$, med normen $$\norm{x} = \left( \int_S \abs{x(s)}^p \,\mu(\mathrm{d}s) \right)^{1/p}.$$ (Se $L^p$-utrymmen.)
12. $L_p$, $p \geq 1$, är ett specialfall av rummet $L_p(S ; \Sigma, \mu)$. Det är utrymmet för Lebesgue-mätbara funktioner, summerbara av graden $p$, med normen $$\norm{x} = \left( \int_a^b \abs{x(s)}^p \,\mathrm{d}s \right)^{1/p}.$$
13. $AP$ är Bohr-rummet för nästan periodiska funktioner, med normen $$\norm{x} = \sup_{-\infty < t < \infty} \abs{x(t)}. $$

Rummen $C$, $C^n$, $L_p$, $c$, $\ell_p$ är separerbara; rummen $M$, $m$, $AP$ är icke-separerbara; $C$ är separerbar om och endast om $K$ är ett kompakt metriskt rum.

Andra exempel är Sobolev-rummen och Hardy-rummet $\mathcal{H}^1$. Alla Hilbert-rum är a forteriori Banach-rum.

Kvoter

Ett (slutet linjärt) delrum $Y$ av ett Banach-rum, betraktat bortsett från det omslutande rummet $X$, är ett Banach-rum. Kvotrummet $X/Y$ av ett normerat rum genom ett underrum $Y$ är ett normerat rum om normen är definierad på följande sätt. Låt $Y_1 = x_1 + Y$ vara en coset. Då$$ \norm{Y_1} = \inf_{y \in Y} \norm{x_1 + y}.$$$Om $X$ är ett Banach-rum är $X/Y$ också ett Banach-rum.

I detta fall, om $Z$ är ett annat normerat rum och $T\in B(X,Z)$ uppfyller $T(Y)=\{0\}$, finns det $\hat T \in B(X/Y,Z)$ så att $T = \hat T \circ Q$ och $\norm{T}=\norm{\hat T}$, där $Q:X \till X/Y$ är kvotmappningen.

Linjära funktionaler, dubbelrum

Mängden av alla kontinuerliga linjära funktionaler definierade på det normerade rummet $X$, med normen$$$\norm{f} = \sup_{x \in X} \frac{\abs{f(x)}}{\norm{x}}, \quad x \neq 0 $$$ sägs vara det dubbla rummet till $X$, och betecknas med $X^*$. Det är ett Banach-rum.

Hahn-Banach-sats

Banach-rum uppfyller Hahn-Banach-satsen om förlängning av linjära funktionaler: Om en linjär funktion är definierad på ett delområde $Y$ av ett normerat område $X$, kan den utvidgas, med bibehållen linjäritet och kontinuitet, till hela området $X$. Dessutom kan förlängningen fås att ha samma norm:$$ \norm{f}_X = \sup_{x \in X} \frac{\abs{f(x)}}{\norm{x}} = \norm{f}_Y = \sup_{y \in Y} \frac{\abs{f(y)}}{\norm{y}}}.$$$Även en mer allmän sats är giltig: Låt en realvärdesfunktion $p(x)$ definierad i ett linjärt rum uppfylla villkoren:$$ p(x+y) \leq p(x) + p(y), \quadp(\lambda x) = \lambda p(x), \quad \lambda \geq 0, \quad x,y \in X,$$och låt $f(x)$ vara en realvärderad linjär funktionell definierad på ett delområde $Y \subset X$ och sådan att $$ f(x) \leq p(x), \quad x \in Y.Då finns det en linjär funktionell $F(x)$ definierad på hela $X$ så att $$$ F(x) = f(x), \quad x \in Y; \quadF(x) \leq p(x), \quad x \in X.En konsekvens av Hahn-Banach-satsen är den ”omvända” formeln som relaterar normerna för $X$ och $X^*$:$$\norm{x} = \max_{f \in X^*} \frac{\abs{f(x)}}{\norm{f}},\quadf \neq 0, \quadx \in X.$$$Maximum i denna formel uppnås för vissa $f=f_X\in X^*$. En annan viktig konsekvens är existensen av en separerande uppsättning av kontinuerliga linjära funktioner, vilket innebär att för varje $x_1 \neq x_2 \in X$ finns det en linjär funktionell $f$ på $X$ så att $f(x_1) \neq f(x_2)$ (jfr. Complete set of functionals).

Allmän struktur av linjära funktioner

Den allmänna formen av en linjär funktionell är känd för många specifika Banachrum. På $L_p$, $p>1$, ges således alla linjära funktionaler av en formel$$$ f(x) = \int_a^b x(t)y(t) \,\mathrm{d}t,$$ där $y \in L_q$, $1/p + 1/q = 1$, och varje funktion $y(t) \in L_q$ definierar en linjär funktionell $f$ genom denna formel, dessutom$$$ \norm{f} = \left( \int_a^b \abs{y(t)}^q \,\mathrm{d}t \right)^{1/q}.$$$Det dubbla rummet för $L_p$ är alltså $L_q$: $L_p^* = L_q$. Linjära funktionaler på $L_1$ definieras med samma formel, men i detta fall $y \in M$, så att $L_1^* = M$.

Dubbelrum, reflexivitet

Rummet $X^{**}$, som är dubbelt till $X^*$, sägs vara det andra dubbelrummet eller dubbelrummet. Tredje, fjärde osv. duala utrymmen definieras på liknande sätt. Varje element i $X$ kan identifieras med något linjärt funktionellt definierat på $X^*$:$$ \text{$F(f) = f(x)$ för alla $f \in X^*$ ($F \in X^{**}$, $x \in X$),}$$ där $\norm{F} = \norm{x}$. Man kan då betrakta $X$ som ett underutrymme till rummet $X^{**}$ och $X \submängd X^{**} \undermängd X^\text{IV} \subset \cdots$, $X^* \subset X^{***} \subset \cdots$. Om Banachrymden till följd av dessa inklusioner sammanfaller med sin andra dual, kallas den reflexiv. I ett sådant fall är alla inklusioner likheter. Om $X$ inte är reflexivt är alla inklusioner strikta. Om kvotutrymmet $X^{**}/X$ har ändlig dimension $n$, sägs $X$ vara kvasireflexiv av ordningen $n$. Kvasi-reflexiva rum existerar för alla $n$.

Reflexivitetskriterier för Banach-rum

1. $X$ är reflexiv om och endast om det för varje $f \in X^*$ är möjligt att hitta en $x \in X$ på vilken ”sup” i formeln $$ \norm{f} = \sup_{x \in X} \frac{\abs{f(x)}}{\norm{x}}}, \quad x \neq 0, $$ är uppnådd.
2. I reflexiva Banachrum och endast i sådana rum är varje avgränsad mängd relativt kompakt med avseende på svag konvergens: Varje oändlig del av den innehåller en svagt konvergent sekvens (Eberlein-Shmul’yan-satsen). Rummen $L_p$ och $\ell_p$, $p>1$, är reflexiva. Rummen $L_1$, $\ell_1$, $C$, $M$, $c$, $m$, $AP$ är icke-reflexiva.

Specialfall

Svagt kompletta rum

Ett Banach-rum sägs vara svagt komplext om varje svag Cauchy-sekvens i det svagt konvergerar till ett element i rummet. Alla reflexiva rum är svagt kompletta. Dessutom är Banachrummen $L_1$ och $\ell_1$ svagt kompletta. De Banachrymder som inte innehåller ett underutrymme som är isomorft till $c_0$ utgör en ännu bredare klass. Dessa utrymmen liknar svagt kompletta utrymmen i flera avseenden.

Strikt konvexa utrymmen

En Banachrymd sägs vara strikt konvex om dess enhetssfär $S$$ inte innehåller några segment. Konvexitetsmoduler införs för en kvantitativ uppskattning av enhetssfärens konvexitet; dessa är den lokala konvexitetsmodulen$$$ \delta(x,\epsilon) =\inf\set{1 – \norm{\frac{x+y}{2}}} :y \in S,\, \norm{x-y}} \geq \epsilon}, \quad x \in S, \quad 0 < \epsilon \leq 2,$$$och den enhetliga konvexitetsmodulen$$$ \delta(\epsilon) = \inf_{x \in S} \delta(x,\epsilon).$$$Om $\delta(x,\epsilon) > 0$ för alla $x \in S$ och alla $\epsilon > 0$, sägs Banach-rummet vara lokalt enhetligt konvext. Om $\delta(x) > 0$ sägs rymden vara enhetligt konvex. Alla enhetligt konvexa Banach-rum är lokalt enhetligt konvexa; alla lokalt enhetligt konvexa Banach-rum är strikt konvexa. I finitdimensionella Banachrymder är det omvända också sant. Om ett Banach-rum är enhetligt konvext är det reflexivt.

Glada rum

Ett Banach-rum sägs vara glatt om funktionen $\psi(t)=\norm{x+ty}$ för alla linjärt oberoende element $x$ och $y$ är differentierbar för alla värden på $t$. Ett Banach-rum sägs vara jämnt slätt om dess släthetsmodul $$$ \rho(t) = \sup_{x,y \in S}\set{\frac{\norm{x + \tau y}} + \norm{x – \tau y}}{2} -1}, \quad \tau > 0,$$$uppfyller villkoret$$ \$lim_{\tau \rightarrow 0}\frac{\rho(\tau)}{\tau} = 0.$$$I jämnt släta utrymmen, och endast i sådana utrymmen, är normen jämnt Fréchet-differentierbar. Ett enhetligt slätt Banach-rum är slätt. Det omvända gäller om Banachrymden är finitdimensionell. Ett Banach-rum $X$ är enhetligt konvext (enhetligt slätt) om och endast om $X^*$ är enhetligt slätt (enhetligt konvext). Följande relation relaterar konvexitetsmodulen för ett Banach-rum $X$ och släthetsmodulen för $X^*$:$$ \rho_{X^*}(\tau) = \sup_{0 < \epsilon \leq 2}\set{\frac{\epsilon\tau}{2} – \delta_X(\epsilon)}.$$$Om ett Banach-rum är jämnt konvext (jämnt slätt) är alla dess underrum och kvotrum det också. Banachrummen $L_p$ och $\ell_p$, $p>1$, är enhetligt konvexa och enhetligt släta, och$$$ \delta(\epsilon) \simeq\begin{cases}\epsilon^2 & (1 < p \leq 2) \\\\epsilon^p & (2 \leq p < \infty);\end{cases}$$$$ \rho(\tau) \simeq\begin{cases}\tau^p & (1 < p \leq 2) \\\\tau^2 & (2 \leq p < \infty);\end{cases}$$$$ \left(f(\epsilon) \simeq \phi(\epsilon) \Leftrightarrow a < \frac{f(\epsilon)}{\phi(\epsilon)} < b\right).$$$Banachrummen $M$, $C$, $A$, $L_1$, $AP$, $m$, $c$, $\ell_1$ är inte strikt konvexa och är inte släta.

Linjära operatörer

Följande viktiga satser för linjära operatörer är giltiga i Banachrum:

Banach-Steinhaus-satsen.

Om en familj av linjära operatörer $T=\set{T_\alpha}$ är avgränsad i varje punkt,$$\sup_\alpha \norm{T_\alpha x} < \infty, \quad x \in X,$$då är den norm-avgränsad:$$ \sup_\alpha \norm{T_\alpha} < \infty.$$

Satsen om Banachs öppna kartläggning.

Om en linjär kontinuerlig operatör mappar ett Banach-rum $X$ till ett Banach-rum $Y$ i en en-till-en-korrespondens, är den omvända operatören $T^{-1}$$ också kontinuerlig.

Satsen om slutna grafer.

Om en sluten linjär operatör avbildar ett Banach-rum $X$ till ett Banach-rum $Y$ är den kontinuerlig.

Isometrier och isomorfismer

Isometrier mellan Banach-rum förekommer sällan. Det klassiska exemplet ges av Banachrummen $L_1$ och $\ell_2$. Banachrummen $C$ och $C$ är isometriska om och endast om $K_1$ och $K_2$ är homeomorfa (Banach-Stone-satsen). Ett mått på närheten mellan isomorfa Banach-rum är antalet$$ d(X,Y) = \ln\inf\bigl\|T\bigr\|\bigl\|T^{-1}\bigr\|,$$ där $T$ går igenom alla möjliga operatörer som realiserar en (linjär topologisk) isomorfism mellan $X$ och $Y$. Om $X$ är isometrisk till $Y$ är $d(X,Y)=0$. Det finns dock även icke-isometriska utrymmen för vilka $d(X,Y)=0$; de sägs vara nästan isometriska. De egenskaper hos Banach-rum som bevaras under en isomorfism sägs vara linjärt topologiska. De omfattar separerbarhet, reflexivitet och svag fullständighet. Den isomorfiska klassificeringen av Banach-rum innehåller särskilt följande satser:$$ L_r \neq L_s; \quad \ell_r \neq \ell_s, \quad r \neq s$$$$ L_r \neq \ell_s, \quad r \neq s; \quadL_r = \ell_s, \quad r = s = 2;$$$$ M=m; \quad C \neq A(D);$$$$C = C$ om $K$ är ett metriskt kompaktum med kontinuums kardinalitet;$$ C^n \neq C.$$

Varje separerbart Banachrum är isomorf till ett lokalt jämnt konvext Banachrum. Man vet inte (1985) om det finns Banachrymder som inte är isomorfa till något av sina hyperplan. Det finns Banach-rum som inte är isomorfa till strikt konvexa rum. Oberoende av de normerade rummens linjära karaktär är det möjligt att betrakta deras topologiska klassificering. Två rum är homeomorfa om en kontinuerlig en-till-en-korrespondens, så att dess omvändning också är kontinuerlig, kan upprättas mellan deras element. Ett ofullständigt normerat rum är inte homeomorft till något Banach-rum. Alla oändligt dimensionella separerbara Banach-rum är homeomorfa.

I klassen av separerbara Banach-rum är $C$ och $A(D)$ universella (jfr. Universal space). Klassen av reflexiva separerbara Banach-rum innehåller inte ens några isomorfa universella rum. Banachrummet $\ell_1$ är universellt i en något annorlunda bemärkelse: Alla separerbara Banach-rum är isometriska till ett av dess kvotrum.

Inkomplementerbara delrum

Varje Banach-rum som nämns ovan, utom $L_2$ och $\ell_2$, innehåller delrum utan komplement. Särskilt i $m$ och $M$ är varje infinitdimensionellt separerbart delrum icke-komplementerbart, medan i $C$ alla infinitdimensionella reflexiva delrum är icke-komplementerbara. Om alla underrum i ett Banach-rum är komplementerbara är rummet isomorft till ett Hilbert-rum. Man vet inte (1985) om alla Banach-rum är direkta summor av vissa två infinitdimensionella delrum eller inte. Ett underutrymme $Y$ är kompletterbart om och endast om det finns en projektion som avbildar $X$ på $Y$. Den nedre gränsen för projektionernas normer på $Y$ kallas den relativa projektionskonstanten $\lambda(Y,X) $ för delutrymmet $Y$ i $X$. Varje $n$-dimensionellt delutrymme i ett Banachrum är kompletterbart och $\lambda(Y_n,X) \leq \sqrt{n}$. Den absoluta projektionskonstanten $\lambda(Y)$ för ett Banach-rum $Y$ är $$$ \lambda(Y) = \sup_X \lambda(Y,X),$$ där $X$ löper genom alla Banach-rum som innehåller $Y$ som ett underrum. För varje oändligt dimensionellt separerbart Banachrum $Y$ har man $\lambda(Y) = \infty$. Banachrum för vilka $\lambda(Y) \leq Y < \infty$ bildar klassen $\mathcal{P}_\lambda$ ($\lambda \geq 1$). Klassen $\mathcal{P}_1$ sammanfaller med klassen av utrymmen $C(Q)$ där $Q$ är extremt frånkopplade kompakter (jfr Extremt frånkopplade utrymmen).

Finit-dimensionellt fall

Fundamentala satser om finit-dimensionella Banach-rum:

1. En finitdimensionell rymd är komplett, dvs. är en Banachrymd.
2. Alla linjära operatörer i en finitdimensionell Banachrymd är kontinuerliga.
3. En finitdimensionell Banachrymd är reflexiv (dimensionen för $X^*$ är lika med dimensionen för $X$).
4. En Banachrymd är finitdimensionell om och endast om dess enhetskula är kompakt.
5. Alla n$-dimensionella Banach-rum är parvis isomorfa; deras mängd blir kompakt om man inför avståndet

$$$ d(X,Y) = \ln\inf_T\bigl\|T\bigr\|\bigl\|T^{-1}\bigr\|\.$$

Konvergens av serier

En serie\begin{ekvation}\sum_{k=1}^\infty x_k, \quad x_k \in X \label{eq:serier}\end{equation} sägs vara konvergent om det finns en gräns $S$ för sekvensen av partiella summor:$$ \lim_{n \rightarrow \infty}\norm{S – \sum_{k=1}^n x_k} = 0.$$If$$\sum_{k=1}^\infty \norm{x_k} < \infty,$$$ är serien $\eqref{eq:series}$ konvergent, och sägs i så fall vara absolut konvergent. En serie sägs vara ovillkorligt konvergent om den konvergerar när dess termer omordnas godtyckligt. Summan av en absolut konvergent serie är oberoende av hur termerna ordnas. När det gäller serier i ett finit-dimensionellt rum (och i synnerhet när det gäller talserier) är ovillkorlig och absolut konvergens likvärdiga. I oändligt dimensionella Banach-rum följer ovillkorlig konvergens av absolut konvergens, men det omvända är inte sant i något oändligt dimensionellt Banach-rum. Detta är en konsekvens av Dvoretskii-Rogers-satsen: För alla tal $\alpha_k \geq 0$, med förbehåll för villkoret $\sum\alpha_k^2 < \infty$, finns det i varje oändligt dimensionellt Banach-rum en ovillkorligt konvergent serie $\sum x_k$ så att $\norm{x_k} = \alpha_k$, $k=1,2,\ldots$. I rummet $c_0$ (och därmed också i varje Banach-rum som innehåller ett underrum som är isomorft till $c_0$) finns det för varje sekvens $\alpha_k \geq 0$ som konvergerar mot noll, en ovillkorligt konvergerande serie $\sum x_k$, $\norm{x_k} = \alpha_k$. I $L_p(S ; \Sigma, \mu)$ innebär den ovillkorliga konvergensen av serien $\sum x_k$ att $$$ \sum_{k=1}^\infty \norm{x_k}^s < \infty,$$where$$ s = \begin{cases}2 & (1 \leq p \leq 2), \\p & (p \geq 2).\end{cases}$$$I ett enhetligt konvext Banachrum med konvexitetsmodul $\delta(\epsilon)$ innebär den ovillkorliga konvergensen av serien $\sum x_k$ att $$$sum_{k=1}^\infty\delta(\norm{x_k}) < \infty.$$

En serie $\sum x_k$ sägs vara svagt ovillkorligt Cauchy om talserien $\sum\abs{f(x_k)}$ konvergerar för varje $f \in X^*$. Varje svagt ovillkorligt Cauchy-serie i $X$ konvergerar om och endast om $X$ inte innehåller något underutrymme som är isomorft till $c_0$.

En sekvens av element $\set{e_k}_1^\infty$ i ett Banach-rum sägs vara minimal om var och en av dess termer ligger utanför stängningen av $X^{(n)} = _{k \neq n}$$, det linjära höljet av de återstående elementen. En sekvens sägs vara enhetligt minimal om$$ \rho(e_n ; X^{(n)}) \geq \gamma\norm{e_n}, \quad0 < \gamma \leq 1, \quadn = 1, 2, \ldots.$$$Om $\gamma=1$ sägs serien vara ett Auerbachsystem. I varje $n$-dimensionellt Banachrum finns det ett fullständigt Auerbachsystem $\set{e_k}_1^n$. Det är inte känt (1985) om det finns ett komplett Auerbachsystem i varje separerbart Banachrum eller inte. För varje minimalt system finns det ett adjungerat system av linjära funktionaler $\set{f_n}$, som är kopplat till $\set{e_k}$ genom biorthogonalitetsrelationerna: $f_i(e_j) = \delta_{ij}$. I ett sådant fall sägs systemet $\set{e_k,f_k}$ vara biorthogonalt. En uppsättning linjära funktionaler sägs vara total om den endast förintar rummets nollelement. I varje separerbart Banach-rum finns det ett komplett, minimalt system med en total adjungerad funktion. Varje element $x \in X$ kan formellt sett utvecklas i en serie genom det biorthogonala systemet: $$$ x \sim \sum_{k=1}^\infty f_k(x)e_k,$$ men i det allmänna fallet är denna serie divergent.

Baser

Ett system av element $\set{e_k}_1^\infty$ sägs vara en bas i $X$ om varje element $x \in X$ entydigt kan representeras som en konvergent serie$$$x = \sum_{k=1}^\infty \alpha_k e_k, \quad \alpha_k = \alpha_k(x). Varje bas i ett Banach-rum är ett fullständigt enhetligt minimalsystem med en total adjungerad. Det omvända är inte sant, vilket framgår av exemplet med systemet $\set{e^{int}}}_{-\infty}^\infty$ i $C$ och $L_1$.

En bas sägs vara ovillkorlig om alla dess omläggningar också är baser; annars sägs den vara villkorlig. Systemet $\set{e^{int}}}_{-\infty}^\infty$ i $L_p$, $p>1$, $p \neq 2$, är en villkorlig bas. Haar-systemet är en ovillkorlig bas i $L_p$, $p > 1$. Det finns ingen ovillkorlig bas i rummen $C$ och $L_1$. Man vet inte (1985) om varje Banach-rum innehåller ett oändligt dimensionellt underrum med en ovillkorlig bas eller inte. Varje icke-reflexivt Banach-rum med en ovillkorlig bas innehåller ett underrum som är isomorft till $\ell_1$ eller $c_0$.

Två normaliserade baser $\set{e_k^\prime}$ och $\set{e_k^{\prime\prime}} $ i två Banachrum $X_1$ och $X_2$ sägs vara likvärdiga om korrespondensen $e_k^^\prime \leftrightarrow e_k^{\prime\prime}}$, $k=1,2,\ldots$, kan utvidgas till en isomorfism mellan $X_1$ och $X_2$. I vart och ett av rummen $\ell_2$, $\ell_1$, $c_0$ är alla normaliserade ovillkorliga baser likvärdiga med den naturliga basen. Baser som konstruerats i Banachrymder som har viktiga tillämpningar är inte alltid lämpliga för att lösa problem, t.ex. inom operatörsteorin. $T$-baser, eller summeringsbaser, har införts i detta sammanhang. Låt $\set{t_{i,j}}_1^\infty$ vara matrisen för en vanlig summeringsmetod. Systemet av element $\set{e_n} \subset X$ sägs vara en $T$-bas som motsvarar den givna summeringsmetoden om varje $x \in X$ unikt kan representeras av en serie$$ x \sim \sum_{k=1}^\infty \alpha_k e_k,$$ som är summerbar till $x$ med denna metod. Det trigonometriska systemet $\set{e^{{int}}}_{-\infty}^\infty$ i $C$ är en summeringsbas för Cesàros och Abels metoder. Varje $T$-bas är ett komplett minimalt (inte nödvändigtvis enhetligt minimalt) system med en total adjungerad. Det omvända är inte sant. Fram till 1970-talet var ett av de viktigaste problemen i teorin om Banach-rum ett basproblem som Banach själv behandlade: Finns det en bas i varje separerbart Banach-rum? Frågan om det finns en bas i specifikt definierade Banachrymder förblev också öppen. Det första exemplet på ett separerbart Banach-rum utan bas konstruerades 1972; baser i rummen $C^n(I^m)$ och $A(D)$ har konstruerats.