Articles /

Espaço Banach

B-space

2010 Mathematics Subject Classification: Primário: 46B Secundário: 46E15 $newcommand{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}Secundário: 46E15 $newcommand{\i}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}esquerda}{\i1}

Um espaço vectorial normalizado completo. Os problemas envolvidos nos espaços Banach são de diferentes tipos: a geometria da esfera da unidade, a geometria dos subespaços, a classificação topológica linear, séries e sequências nos espaços Banach, melhores aproximações nos espaços Banach, funções com valores num espaço Banach, etc. Em relação à teoria dos operadores nos espaços Banach é de salientar que muitos teoremas estão directamente relacionados com a geometria e a topologia dos espaços Banach.

História

Os espaços funcionais introduzidos por D. Hilbert, M. Fréchet e F. Riesz entre 1904 e 1918 serviram como ponto de partida para a teoria dos espaços Banach. É nestes espaços que os conceitos fundamentais de convergência forte e fraca, compacidade, linear funcional, operador linear, etc., foram originalmente estudados. Os espaços Banach receberam o nome de S. Banach, que em 1922 iniciou um estudo sistemático destes espaços, baseado em axiomas introduzidos por ele mesmo, e que obteve resultados altamente avançados.

A teoria dos espaços Banach desenvolveu-se em paralelo com a teoria geral dos espaços topológicos lineares. Estas teorias enriqueceram-se mutuamente com novas ideias e factos. Assim, a ideia de semi-normas, extraída da teoria dos espaços normalizados, tornou-se uma ferramenta indispensável na construção da teoria dos espaços topológicos lineares localmente convexos. As ideias de convergência fraca dos elementos e das funções lineares nos espaços Banach acabaram por evoluir para o conceito de topologia fraca. A teoria dos espaços Banach é um ramo de análise funcional profundamente estudado, com numerosas aplicações em vários ramos da matemática – diretamente ou por meio da teoria dos operadores.

Generalidades

Um espaço Banach $X$ é um espaço vetorial acima de $\R$ ou $\C$ com uma norma $\norm{\cdot}$ que é completa em relação a esta norma, ou seja, toda seqüência Cauchy em $X$ converge.

Para dois espaços Banach $X$, $Y$, denote por $B(X,Y)$ o espaço de mapas lineares contínuos de $X$ a $Y$. É em si um espaço Banach em relação à norma $$$norm{T} = {x \neq 0} {\frac{\norma{Tx}}{\norm{x}}.$$

Exemplos

Os espaços Banach encontrados em análise são na sua maioria conjuntos de funções ou sequências de números que estão sujeitos a certas condições.

  1. $2681>$$_p$, $p \geq 1$, é o espaço de seqüências numéricas $\i_n$ para o qual $$$$sum_{n=1}^^infty ^abs{\i_n}^p < ^infty$$$ com a norma $$norm{x} = {esquerda_{n=1}^infty ^abs{\i_n^p}{1/p}right $$
  2. $m$ é o espaço de sequências numéricas convergentes com a norma $$ {x} = {x} = {x_sup_nabs{\xi_n}.$$
  3. $c$ é o espaço de sequências numéricas convergentes com a norma $$ $$norm{x} = {x_sup_nabs{\xi_n}.$$
  4. $c_0$ é o espaço de sequências numéricas convergentes a zero com a norma $$ \norm{x} = \max_nabs{\xi_n}.$$
  5. $C$ é o espaço das funções contínuas $x=x(t)$ em $$ com a norma $$\norm{x} = \max_{a \leq t \leq b}}abs{x(t)}.$$
  6. $C$ é o espaço das funções contínuas num compactum $K$ com a norma $$\norm{x} = \max_{t \in K}\abs{x(t)}$$.
  7. $C^n$ é o espaço de funções com derivadas contínuas até e incluindo a ordem $n$, com a norma $$\norm{x} = \sum_{k=0}^n \max_{a \leq t \leq b}abs{x^{(k)}(t)}. $$
  8. $C^n$ é o espaço de todas as funções definidas num cubo de $m$-dimensional que são continuamente diferenciáveis até e incluindo a ordem $n$, com a norma de delimitação uniforme em todos os derivados de ordem no máximo $n$. (Cf. espaço Hölder.)
  9. $M$ é o espaço de delimitação de funções mensuráveis com a norma $$\norm{x} = \mathop{\mathrm{ess;max}}_{a \leq t \leq b} \ab{x(t)}.$$
  10. $A(D)$ é o espaço de funções que são analíticas no disco aberto $D$ e são contínuas no disco fechado $$bar{D}$, com a norma $$$norm{x} = {z {z }in {D}}abs{x(z)}. $$
  11. $L_p(S ; \Sigma, mu)$, $p 1$, é o espaço das funções $x(s)$ definido num conjunto $S$ fornecido com uma medida contavelmente aditiva $mu$, com a norma $$$norm{x} = esquerda( #int_S {x(s)^p ^,^mu(^mathrm{d}s) ^1/p}.$$ (Cf. espaços $L^p$.)
  12. $L_p$, $p ^geq 1$, é um caso especial do espaço $L_p(S ; ^Sigma, ^mu)$. É o espaço das funções mensuráveis de Lebesgue-me, somáveis de grau $p$, com a norma $$$norm{x} = ^esquerda( ^int_a^b ^abs{x(s)^p ^p ^,^mathrm{d}s ^1/p}.$$
  13. $AP$ é o espaço Bohr de funções quase periódicas, com a norma $$\norm{x} = {—< t < {infty} \Abs{x(t)}. $$

Os espaços $C$, $C^n$, $L_p$, $c$, $\ell_p$ são separáveis; os espaços $M$, $m$, $AP$ são não separáveis; $C$ é separável se e só se $K$ for um espaço métrico compacto.

Outros exemplos incluem espaços Sobolev e o espaço Hardy $\mathcal{H}^1$. Todos os espaços Hilbert são espaços forteriori Banach.

Quotients

Um subespaço (linear fechado) $Y$ de um espaço Banach, considerado além do espaço envolvente $X$, é um espaço Banach. O quociente espaço $X/Y$ de um espaço normalizado por um subespaço $Y$ é um espaço normalizado se a norma for definida como se segue. Deixe $Y_1 = x_1 + Y$ ser um coset. Então $$$ {Y_1} = {y }inf_{y }in Y} \{x_1 + y}.$$ Se $X$ é um espaço Banach, então $X/Y$ é um espaço Banach também.

Neste caso, se $Z$ é outro espaço normalizado e $T$ em B(X,Z)$ preenche $T(Y)={0}$, então existe $T$ em B(X/Y,Z)$ de tal forma que $T = que T ^circ Q$ e $T$norm{T}=norm{T$, onde $Q:X ^para X/Y$ é o quociente de mapeamento.

Funcionais lineares, espaço duplo

O conjunto de todas as funções lineares contínuas definidas no espaço normalizado $X$, com a norma $$$$norm{f} = {x ^^in X} {frac{f(x)}{frac{f(x)}{norm{x}}, {quad x ^ 0 $$ é dito ser o espaço duplo de $X$, e é denotado por $X^*$. É um espaço Banach.

Teorema de Hahn-Banach

Espaços Banach satisfazem o teorema de Hahn-Banach na extensão das funções lineares: Se uma função linear for definida num subespaço $Y$ de um espaço normalizado $X$, ela pode ser estendida, preservando sua linearidade e continuidade, para todo o espaço $X$. Além disso, a extensão pode ser feita para ter a mesma norma:$$ \norm{f}_X = \sup_{x \in X} \frac{\f(x)}}{\frac{\f(x)}}{\fnorm{x}} = \norm{f}_Y = \sup_{y \in Y} \O teorema mais geral é válido: Que uma função com valor real $p(x)$ definida num espaço linear satisfaça as condições:$$ p(x+y) {\i1}-leq p(x) + p(y), {\i1}quadp(lambda x) = {\i1}lambda p(x), {\i1}quad {\i}lambda 0, {\i1}quad x,y}in X,$$ e deixar $f(x)$ ser uma função linear de valor real definida em um subespaço $Y {\i1}subset X$ e tal que $$ f(x) p(x), {\i}quad x em Y.$$ Então existe uma função linear $F(x)$ definida no total de $X$ tal que $$ F(x) = f(x), {quad x }in Y; {quadF(x) {leq p(x), {quad x }in X.$$Uma consequência do teorema de Hahn-Banach é a fórmula “inversa” que relaciona as normas de $X$ e $X^*$:$$norm{x} = {f ^ em X^*} \O máximo nesta fórmula é atingido por cerca de $f=f_X em X^*$. Outra consequência importante é a existência de um conjunto separador de funções lineares contínuas, o que significa que para qualquer $x_1 {f_1}neq x_2 {f_2}em X$ existe um funcional linear $f$ em $X$ tal que $f(x_1) {f(x_2)$ (cf. Conjunto completo de funcionais).

Estrutura geral de funcionais lineares

A forma geral de um funcional linear é conhecida por muitos espaços Banach específicos. Assim, em $L_p$, $p>1$, todas as funções lineares são dadas por uma fórmula $$ f(x) = \int_a^b x(t)y(t) \,\mathrm{d}t,$$where $y \in L_q$, $1/p + 1/q = 1$, e qualquer função $y(t) em L_q$ define um $f$ linear funcional por esta fórmula, além disso $$$norm{f} = {f} = esquerda( {int_a^b ^abs{y(t)}^q ^,^mathrm{d}t ^1/q}.$$$ Assim, o espaço duplo de $L_p$ é $L_q$: $L_p^* = L_q$. As funções lineares em $L_1$ são definidas pela mesma fórmula, mas neste caso $y \ em M$, de modo que $L_1^* = M$.

Biduais, reflexividade

O espaço $X^{**}$, duplo a $X^*$, é dito ser o segundo dual ou bidual. Terceiro, quarto, etc., os espaços duplos são definidos de forma semelhante. Cada elemento em $X$ pode ser identificado com alguma funcionalidade linear definida em $X^*$:$$ \texto{$F(f) = f(x)$ para todos os $f \em X^*$ ($F \em X^{**}$, $x \em X$),}$$ onde $\norm{F} = \norm{x}$. Pode-se então considerar $X$ como um subespaço do espaço $X^{**}$ e $X ^^^subset X^{**}. \Subconjunto X ^texto (IV) \Subconjunto $, $X^* Subconjunto X^{***} \Subconjuntos. Se, como resultado destas inclusões, o espaço Banach coincide com seu segundo dual, é chamado de reflexivo. Nesse caso, todas as inclusões são iguais. Se $X$ não for reflexivo, todas as inclusões são rígidas. Se o espaço do quociente $X^{**}/X$ tem dimensão finita $n$, diz-se que $X$ é quase-reflexivo de ordem $n$. Existem espaços quase-reflexivos para todos os $n$.

Critério de reflexividade para espaços Banach

  1. $X$ é reflexivo se e somente se para cada $f ^*$ for possível encontrar um $x ^^in X$ no qual o “sup” na fórmula $$ ^norm{f} = ^sup_{x ^in X} ^frac{f(x)}, ^norm{x, ^quad x ^neq 0, $$ é atingido.
  2. Em espaços Banach reflexivos e apenas nesses espaços cada conjunto delimitado é relativamente compacto no que diz respeito à fraca convergência: Qualquer uma das suas infinitas partes contém uma fraca convergência (o teorema de Eberlein-Shmul’yan). Os espaços $L_p$ e $\ell_p$, $p>1$, são reflexivos. Os espaços $L_1$, $\ell_1$, $C$, $M$, $c$, $m$, $AP$ são não-reflexivos.

Casos especiais

Espaços pouco completos

Diz-se que um espaço Banach é fracamente completo se cada sequência fraca de Cauchy nele converge fracamente para um elemento do espaço. Cada espaço reflexionado é fracamente completo. Além disso, os espaços de Banach $L_1$ e $\ell_1$ são fracamente completos. Os espaços Banach que não contêm um subespaço isomórfico a $c_0$ formam uma classe ainda mais ampla. Estes espaços assemelham-se a espaços fracamente completos em vários aspectos.

Espaços estritamente convexos

Um espaço Banach é dito ser estritamente convexo se a sua esfera unitária $S$$ não contém segmentos. Os modulos de convexidade são introduzidos para uma estimativa quantitativa da convexidade da esfera unitária; estes são os modulos de convexidade local $$$$delta(x,\epsilon) ={1 – {x+y}{2}} :y ^em S,^, ^norm{x-y} \geq {xepsilon}, quadrad x in S, {xquad 0 <epsilon 2,$$ e o módulo de convexidade uniforme $$$delta(epsilon) =inf_{x {xin S} \Delta(x,|epsilon).$$ Se $$$$delta(x,|epsilon) > 0$ para todos os $x em S$ e todos os $$epsilon > 0$, diz-se que o espaço Banach é localmente convexo de forma uniforme. Se $\delta(x) > 0$, diz-se que o espaço é uniformemente convexo. Todos os espaços Banach uniformemente convexos são localmente uniformemente convexos; todos os espaços Banach localmente uniformemente convexos são estritamente convexos. Nos espaços banach de dimensões finitas, os conversos também são verdadeiros. Se um espaço Banach é uniformemente convexo, ele é reflexivo.

Espaços suaves

Um espaço Banach é dito ser suave se para qualquer elemento linearmente independente $x$ e $y$ a função $\psi(t)=\norm{x+ty}$ for diferenciável para todos os valores de $t$. Diz-se que um espaço Banach é uniformemente liso se o seu módulo de suavidade $$ \rho(t) = \sup_{x,y}in Sset{\frac{\norm{x + \tau y} +normal{x -tau y}{2} -1}, qad > 0,$$$satisfaz a condição$$$lim_{\tau {\tau {\tau }frac{\tau} = 0,$$$Em espaços uniformemente suaves, e só nesses espaços, a norma é uniformemente Fréchet diferenciável. Um espaço Banach uniformemente liso é liso. O inverso é verdadeiro se o espaço Banach for finito-dimensional. Um espaço Banach $X$ é uniformemente convexo (uniformemente liso) se e somente se $X^*$ for uniformemente liso (uniformemente convexo). A seguinte relação relaciona o módulo de convexidade de um espaço Banach $X$ e o módulo de suavidade de $X^*$:$$ \rho_{X^*}(\tau) = \sup_{0 <epsilon 2}set{\frac{\silon}{2} – $$Se um espaço Banach é uniformemente convexo (uniformemente suave), também o são todos os seus subespaços e espaços quocientes. Os espaços Banach $L_p$ e $\p$, $p>1$, são uniformemente convexos e uniformemente suaves, e $$$delta(epsilon) {\p(1 < p \p(1 < p \p(1 < p(2))epsilon^p & (2 \p(2 \p(1) p < p(1));\end{cases}$$$$ {\i1}rho(tau) {\i}simeq{\i}begin{cases}p & (1 < p {leq 2) {\i}tau^2 & (2 {\i}leq p <infty);\end{cases}$$$$ esquerda(f(epsilon) {f(epsilon) {fi(epsilon)}Leftrightarrow a <frac{f(epsilon)}{phi(epsilon)} < b\right).$$Os espaços Banach $M$, $C$, $A$, $L_1$, $AP$, $m$, $c$, $\ell_1$ não são estritamente convexos e não são suaves.

Operadores lineares

Os seguintes teoremas importantes para operadores lineares são válidos nos espaços Banach:

O teorema Banach-Steinhaus.

Se uma família de operadores lineares $T==set{T_alpha}$ está limitada em cada ponto,$$$$sup_alpha {T_alpha x} <infty, {T_alpha x}in X,$$then it is norm-bounded:$$$$sup_alpha {T_alpha} <infty.$$

O teorema do “Banach open-mapping”.

Se um operador linear contínuo mapeia um espaço Banach $X$ para um espaço Banach $Y$ numa correspondência um-a-um, o operador inverso $T^{-1}$ também é contínuo.

O teorema do gráfico fechado.

Se um operador linear fechado mapeia um espaço Banach $X$ para um espaço Banach $Y$, então ele é contínuo.

Isometrias e isomorfismos

Isometrias entre espaços Banach raramente ocorrem. O exemplo clássico é dado pelos espaços Banach $L_1$ e $\ell_2$. Os espaços Banach $C$ e $C$ são isométricos se e somente se $K_1$ e $K_2$ forem homeomórficos (o teorema Banach-Stone). Uma medida de proximidade dos espaços Banach isomórficos é o número $$ d(X,Y) = T^{-1}bigl=T^{-1}bigl=,$$ onde $T$ passa por todos os operadores possíveis que percebem um isomorfismo (topológico linear) entre $X$ e $Y$. Se $X$ é isométrico a $Y$, então $d(X,Y)=0$. No entanto, espaços não isométricos para os quais $d(X,Y)=0$ também existem; diz-se que eles são quase isométricos. As propriedades dos espaços Banach preservados sob um isomorfismo são ditas como sendo topológicas lineares. Elas incluem a separabilidade, reflexividade e fraca completude. A classificação isomórfica dos espaços de Banach contém, em particular, os seguintes teoremas:L_r L_r {\i1}neq L_s; {\i1}quad_r {\i}ell_r {\i}neq s$$$$ L_r {\i}neq s_ell_s, {\i1}quad r {\i}neq s; {\i1}quadL_r = {\i1}ell_s, {\i1}quad r = s = 2;$$$$ M=m; {\i1}quad C {\i1}neq A(D);$$$$C = C$ se $K$ for um compacto métrico com a cardinalidade do contínuo;$$$ C^n {\i1}neq C.$$

Cada espaço Banach separável é isomórfico para um espaço Banach localmente convexo de forma uniforme. Não se sabe (1985) se existem espaços Banach que não são isomórficos para nenhum dos seus hiperplanos. Existem espaços Banach que não são isomórficos a espaços estritamente convexos. Independentemente da natureza linear dos espaços normalizados, é possível considerar a sua classificação topológica. Dois espaços são homeomórficos se uma correspondência um-para-um contínua, de tal forma que o seu inverso também é contínuo, pode ser estabelecida entre os seus elementos. Um espaço normalizado incompleto não é homeomórfico para qualquer espaço Banach. Todos os espaços Banach separáveis em infinitas dimensões são homeomórficos.

Na classe dos espaços Banach separáveis, $C$ e $A(D)$ são universais (cf. Espaço Universal). A classe de espaços Banach separáveis reflexivos contém até mesmo nenhum espaço universal isomórfico. O espaço Banach $\ell_1$ é universal em um sentido um pouco diferente: Todos os espaços Banach separáveis são isométricos a um de seus quocientes.

Subespaços não-complementáveis

Cada um dos espaços Banach mencionados acima, exceto $L_2$ e $\ell_2$, contém subespaços sem um complemento. Em particular, em $m$ e $M$ cada subespaço separável infinito é não-complementável, enquanto em $C$ todos os subespaços reflexiveis infinitos são não-complementáveis. Se todos os subespaços de um espaço Banach são complementáveis, o espaço é isomórfico para um espaço Hilbert. Não se sabe (1985) se todos os espaços Banach são ou não somas diretas de dois subespaços de dimensões infinitas. Um subespaço $Y$ é complementável se e só se existir uma projecção que mapeia $X$ para $Y$. O limite inferior das normas das projecções em $Y$ chama-se a constante de projecção relativa $\lambda(Y,X) $ do subespaço $Y$ em $X$. Cada subespaço $n$-dimensional de um espaço Banach é complementável e $lambda(Y_n,X) {n$. A constante de projecção absoluta $\lambda(Y)$ de um espaço Banach $Y$ é $$$lambda(Y) = \sup_X \lambda(Y,X),$$ onde $X$ corre por todos os espaços Banach que contêm $Y$ como subespaço. Para qualquer espaço Banach de dimensão infinita separável $Y$ um tem $\lambda(Y) = {\i1}infty$. Espaços banach para os quais $\lambda(Y) {\i} {\i1}leq Y < {\i}infty$ formam a classe $\mathcal{\i}_lambda$ ($\i}lambda {\i}geq 1$). A classe $\mathcal{P}_1$ coincide com a classe de espaços $C(Q)$ onde $Q$ são compactos extremamente desconectados (cf. Espaço extremamente desconectado).

Caso fino-dimensional

Teoremas fundamentais sobre espaços fino-dimensionais de Banach:

  1. Um espaço finito-dimensional é completo, ou seja, é um espaço Banach.
  2. Todos os operadores lineares num espaço Banach finito-dimensional são contínuos.
  3. Um espaço Banach finito-dimensional é reflexivo (a dimensão de $X^*$ é igual à dimensão de $X$).
  4. Um espaço Banach é finito-dimensional se e só se a sua esfera unitária for compacta.
  5. Todos os espaços banach $n$-dimensional são isomórficos em pares; o seu conjunto torna-se compacto se se introduzir a distância

$ d(X,Y) = \inf_T\bigl}|T\bigl}|T^{-1}bigr}.$$

>

Convergência de séries

Uma série#begin_{k=1}^^^infty x_k, ^quad x_k ^in X_label{eq:A série é dita convergente se existir um limite de $$$ da sequência de somas parciais: $$$lim_{nrightarrow {nrightarrow {infty}}norm{S – {k=1}^n x_k} = 0.$$If$$\sum_{k=1}^\infty \norm{x_k} < em muitos, $$ a série $\eqref{eq:series}$ é convergente, e diz-se que nesse caso é absolutamente convergente. Diz-se que uma série é incondicionalmente convergente se converge quando seus termos são arbitrariamente rearranjados. A soma de uma série absolutamente convergente é independente do arranjo de seus termos. No caso de séries num espaço finito-dimensional (e, em particular, para séries de números) a convergência incondicional e absoluta são equivalentes. Nos espaços de Banach de dimensões infinitas a convergência incondicional decorre da convergência absoluta, mas o inverso não é verdadeiro em qualquer espaço de Banach de dimensões infinitas. Isto é uma consequência do teorema de Dvoretskii-Rogers: Para todos os números $\alpha_k \geq 0$, sujeito à condição $\sum^2 < \infty$, existe em cada espaço Banach infinito uma série incondicionalmente convergente $\sum x_k$ tal que $\norm{x_k} = \alpha_k$, $k=1,2,\ldots$. No espaço $c_0$ (e portanto também em qualquer espaço Banach contendo um isomórfico subespacial $c_0$), para qualquer sequência $\sum $\sum $\sum x_k$, $\sum x_k$, $\sum $\sum x_k$, $\sum $\sum x_k$ = {x_k} = {x_k$. Em $L_p(S ; \a convergência incondicional da série $\sum x_k$ implica que $$$$ {k=1}^^s< em pés,$$where$ s = {cases}2 & (1 {leq p \leq 2), {p & (p \geq 2).\end{cases}$$$ Num espaço Banach uniformemente convexo com módulo de convexidade $$delta(epsilon)$ a convergência incondicional da série $$sum x_k$ implica que $$$$sum_{k=1}^infty{x_k}delta(normal{x_k}) <infty.$$

>

Uma série $\sum x_k$ é dito que é fraca incondicionalmente Cauchy se a série de números $\sumabs{f(x_k)}$ converge para cada $f ^*$. Cada série fraca e incondicionalmente Cauchy em $X$ converge se e somente se $X$ não contiver isomorfismo subespacial para $c_0$.

Uma sequência de elementos $\set{e_k}_1^^^1 de um espaço Banach é dito ser mínimo se cada um de seus termos estiver fora do fechamento de $X^{(n)} = _{k {k {neq n}$, o casco linear dos elementos restantes. Diz-se que uma sequência é uniformemente mínima se$$ \rho(e_n ; X^{(n)}) \Geq Gama Normal, Qad0 < Gama Lleq 1, Qadn = 1, 2, Ldots.$ $$ Se $Gama=1$, diz-se que a série é um sistema Auerbach. Em cada espaço de $n$-dimensional Banach existe um sistema Auerbach completo $\fone (e_k}_1^n$. Não se sabe (1985) se existe ou não um sistema Auerbach completo em cada espaço Banach separável. Para cada sistema mínimo existe um sistema adjunto de funções lineares $\set{f_n}$, que está conectado com $\set{e_k}$ pelas relações de biorthogonality: $f_i(e_j) = \delta_{ij}$. Neste caso o sistema $\set{e_k,f_k}$ é dito ser biorthogonal. Diz-se que um conjunto de funções lineares é total se aniquilar apenas o elemento zero do espaço. Em cada espaço Banach separável existe um sistema completo, mínimo, com um adjunto total. Cada elemento $x em X$ pode ser formalmente desenvolvido em uma série pelo sistema biorthogonal:$$ x \sim \sum_{k=1}^^^infty f_k(x)e_k,$$$mas, no caso geral, esta série é divergente.

Bases

Um sistema de elementos $\set{e_k}_1^\infty$ é dito ser uma base em $X$ se cada elemento $x ^in X$ puder ser representado unicamente como uma série convergente$$$x = ^sum_{k=1}^\infty ^\alpha_k e_k, ^quad \alpha_k = \alpha_k(x). $$Cada base em um espaço Banach é um sistema mínimo completo uniforme com um adjunto total. O inverso não é verdade, como pode ser visto a partir do exemplo do sistema $\set{e^{int}}_{–infty}^^\infty$ em $C$ e $L_1$.

Diz-se que uma base é incondicional se todos os seus rearranjos também são bases; caso contrário diz-se que é condicional. O sistema $\set{e^{-int}_{-infty}^^infty$ em $L_p$, $p>1$, $p ^neq 2$, é uma base condicional. O sistema Haar é uma base incondicional em $L_p$, $p > 1$. Não há uma base incondicional nos espaços $C$ e $L_1$. Não se sabe (1985) se cada espaço Banach contém ou não um subespaço de dimensão infinita com uma base incondicional. Qualquer espaço Banach não-reflexivo com uma base incondicional contém um subespaço isomórfico a $\ell_1$ ou $c_0$.

Duas bases normalizadas $\set{e_k^\prime}$ e $\set{e_k^{\prime\prime}}}. $ em dois espaços Banach $X_1$ e $X_2$ são equivalentes se a correspondência $e_k^\prime ^{\prime\prime}$, $k=1,2,^ldots$, pode ser estendida para um isomorfismo entre $X_1$ e $X_2$. Em cada um dos espaços $\i1$, $\i_2$, $\i_1$, $\i_0$ todas as bases incondicionais normalizadas são equivalentes à base natural. As bases construídas em espaços Banach que têm aplicações importantes nem sempre são adequadas para resolver problemas, por exemplo, na teoria dos operadores. Bases $T$, ou bases de soma, foram introduzidas neste contexto. Deixe $\set{t_{i,j}_1^^^1 ser a matriz de um método de soma regular. O sistema de elementos $set{e_n} O sistema trigonométrico $$ em $C$ é uma base de soma para os métodos de Cesàro e Abel. Cada $T$-basis é um sistema mínimo completo (não necessariamente mínimo uniforme) com um adjunto total. O inverso não é verdade. Até os anos 70, um dos principais problemas da teoria dos espaços Banach era o problema de base tratado pelo próprio Banach: Existe uma base em cada espaço Banach separável? A questão da existência de uma base em espaços Banach especificamente definidos também permaneceu em aberto. O primeiro exemplo de um espaço Banach separável sem uma base foi construído em 1972; bases nos espaços $C^n(I^m)$ e $A(D)$ foram construídas.

>

S. Banach, “Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales” Fundo. Math., 3 (1922) pp. 133-181 JFM Zbl 48.0201.01
S.S. Banach, “A course of functional analysis”, Kiev (1948) (Em Ucraniano)
B. Beauzamy, “Introduction to Banach spaces and their geometry”, North-Holland (1985) MR0889253 Zbl 0585.46009
N. Bourbaki, “Elementos de matemática. Espaços vetoriais topológicos”, Addison-Wesley (1977) (Traduzido do francês) MR0583191 Zbl 1106.46003 Zbl 1115.46002 Zbl 0622.46001 Zbl 0482.46001
M.M. Day, “Normed linear spaces”, Springer (1958) MR0094675 Zbl 0082.10603
J.J. Diestel, “Geometry of Banach spaces”. Tópicos selecionados”, Springer (1975) MR0461094 Zbl 0307.46009
N. Dunford, J.T. Schwartz, “Operadores lineares. General theory”, 1, Interscience (1958) MR0117523
J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, “Classical Banach spaces”, 1-2, Springer (1977-1979) MR0500056 Zbl 0362.46013
R.V. Kadison, J.R. Ringrose, “Fundamentos da Teoria do Operador Algebras”, Volume I: Teoria Elementar, AMS (1997) MR1468229
Z. Semanedi, “Banach spaces of continuous functions”, Polish Sci. Publ. (1971)
I.M. Singer, “Bases em espaços banach”, 1-2, Springer (1970-1981) MR0298399 MR0268648 Zbl 0198.16601 Zbl 0189.42901

Leave a Reply