Przestrzeń Banacha

B-space

2010 Mathematics Subject Classification: Primary: 46B Secondary: 46E15 $

Przestrzeń wektorowa zupełna unormowana. Problemy związane z przestrzeniami Banacha są różnego rodzaju: geometria kuli jednostkowej, geometria podprzestrzeni, liniowa klasyfikacja topologiczna, szeregi i sekwencje w przestrzeniach Banacha, najlepsze przybliżenia w przestrzeniach Banacha, funkcje z wartościami w przestrzeni Banacha itd. W odniesieniu do teorii operatorów w przestrzeniach Banacha należy zaznaczyć, że wiele twierdzeń jest bezpośrednio związanych z geometrią i topologią przestrzeni Banacha.

Historia

Przestrzenie funkcyjne wprowadzone przez D. Hilberta, M. Frécheta i F. Riesza w latach 1904-1918 posłużyły jako punkt wyjścia dla teorii przestrzeni Banacha. To właśnie w tych przestrzeniach pierwotnie badano podstawowe pojęcia silnej i słabej zbieżności, zwartości, funkcji liniowej, operatora liniowego itp. Przestrzenie Banacha zostały nazwane na cześć S. Banacha, który w 1922 roku rozpoczął systematyczne badania tych przestrzeni w oparciu o wprowadzone przez siebie aksjomaty i uzyskał bardzo zaawansowane wyniki.

Teoria przestrzeni Banacha rozwijała się równolegle z ogólną teorią liniowych przestrzeni topologicznych. Teorie te wzajemnie się wzbogacały o nowe idee i fakty. I tak, idea półnorm, zaczerpnięta z teorii przestrzeni unormowanych, stała się niezbędnym narzędziem w konstruowaniu teorii lokalnie wypukłych liniowych przestrzeni topologicznych. Idee słabej zbieżności elementów i funkcji liniowych w przestrzeniach Banacha rozwinęły się ostatecznie do pojęcia słabej topologii. Teoria przestrzeni Banacha jest dokładnie zbadaną gałęzią analizy funkcjonalnej, mającą liczne zastosowania w różnych gałęziach matematyki – bezpośrednio lub poprzez teorię operatorów.

Ogólności

Przestrzeń Banacha $X$ jest przestrzenią wektorową nad $R$ lub $C$ z normą $norma{cdot}$, która jest zupełna względem tej normy, tzn. każdy ciąg Cauchy’ego w $X$ jest zbieżny.

Dla dwóch przestrzeni Banacha $X$, $Y$ oznaczamy przez $B(X,Y)$ przestrzeń liniowych ciągłych map z $X$ na $Y$. Jest ona sama w sobie przestrzenią Banacha względem normy$$norm{T} = \sup_{x \neq 0} \frac{norm{Tx}}{\norm{x}}.$$

Przykłady

Przestrzenie Banacha spotykane w analizie są najczęściej zbiorami funkcji lub ciągami liczb, które podlegają pewnym warunkom.

1. $ell_p$, $p geq 1$, jest przestrzenią ciągów liczbowych $set{xi_n}$, dla których $$ ^sum_{n=1}^infty ^abs{xi_n}^p < ^infty$ z normą $$ ^norm{x} = ^left( ^sum_{n=1}^infty ^abs{xi_n}^p ^p ^{1/p}. $$
2. $c_0$ to przestrzeń ciągów liczbowych zbieżnych do zera o normie $$ ∗norm{x} = ∗ max_nabs{xi_n}. $$
3. $C^n$ to przestrzeń wszystkich funkcji określonych na sześcianie $m$ wymiarowym, które są różniczkowalne w sposób ciągły do rzędu $n$ włącznie, przy czym norma jednostajnej ograniczoności wszystkich pochodnych jest rzędu co najwyżej $n$. (Por. przestrzeń Höldera.)
4. $M$ jest przestrzenią funkcji wymiernych ograniczonych o normie $$norm{x} = ^mathop{mathrm{ess;max}}_{a ^leq t ^leq b} ^abs{x(t)}.$$
5. $A(D)$ to przestrzeń funkcji, które są analityczne w otwartym dysku jednostkowym $D$ i są ciągłe w zamkniętym dysku $bar{D}$, z normą $$norm{x} = \max_{z w \bar{D}} \abs{x(z)}. $$
6. $L_p(S ; \Sigma, \mu)$, $p \geq 1$, jest przestrzenią funkcji $x(s)$ określonych na zbiorze $S$ zaopatrzonym w przeliczalnie-dodatnią miarę $mu$, o normie $$norm{x} = \left( \int_S \abs{x(s)}^p \,\mu(\mathrm{d}s) \right)^{1/p}.$$ (Por. przestrzenie $L^p$.)
7. $L_p$, $p ^geq 1$, jest szczególnym przypadkiem przestrzeni $L_p(S ; ^Sigma, ^mu)$. Jest to przestrzeń funkcji wymiernych Lebesgue’a, sumowalnych stopnia $p$, o normie $$norm{x} = ∗left( ∗int_a^b ∗abs{x(s)}^p ∗, ∗mathrm{d}s ∗right)^{1/p}.$$
8. $AP$ jest przestrzenią Bohra funkcji prawie-okresowych, z normą $$norm{x} = ∗ ∗ t < ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ \abs{x(t)}. $$

Przestrzenie $C$, $C^n$, $L_p$, $c$, $ell_p$ są separowalne; przestrzenie $M$, $m$, $AP$ są nieseparowalne; $C$ jest separowalna wtedy i tylko wtedy, gdy $K$ jest zwartą przestrzenią metryczną.

Innymi przykładami są przestrzenie Sobolewa i przestrzeń Hardy’ego $mathcal{H}^1$. Wszystkie przestrzenie Hilberta są przestrzeniami Banacha a forteriori.

Kwotienty

Podprzestrzeń (liniowa zamknięta) $Y$ przestrzeni Banacha, rozpatrywana poza przestrzenią powłokową $X$, jest przestrzenią Banacha. Przestrzeń ilorazowa $X/Y$ przestrzeni unormowanej przez podprzestrzeń $Y$ jest przestrzenią unormowaną, jeżeli norma jest zdefiniowana w następujący sposób. Niech $Y_1 = x_1 + Y$ będzie cosetem. Wtedy $norma{Y_1} = \inf_{y w Y}. \norm{x_1 + y}.$$ Jeśli $X$ jest przestrzenią Banacha, to $X/Y$ też jest przestrzenią Banacha.

W tym przypadku, jeśli $Z$ jest inną przestrzenią unormowaną i $T w B(X,Z)$ spełnia $T(Y)={0}$, to istnieje $That T w B(X/Y,Z)$ taki, że $T = ∗ T ∗ Q$ i $norm{T}= ∗ T}$, gdzie $Q:X do X/Y$ jest odwzorowaniem ilorazowym.

Funkcje liniowe, przestrzeń dualna

Zbiór wszystkich ciągłych funkcji liniowych zdefiniowanych na przestrzeni unormowanej $X$, o normie $$norm{f} = \sup_{x \ w X} \frac{abs{f(x)}}{\norm{x}}, \quad x \neq 0 $$ nazywamy przestrzenią dualną $X$ i oznaczamy przez $X^*$. Jest ona przestrzenią Banacha.

Twierdzenie Hahna-Banacha

Przestrzenie Banacha spełniają twierdzenie Hahna-Banacha o rozszerzeniu funkcji liniowych: Jeśli funkcja liniowa jest zdefiniowana na podprzestrzeni $Y$ przestrzeni unormowanej $X$, to można ją rozszerzyć, zachowując jej liniowość i ciągłość, na całą przestrzeń $X$. Co więcej, takie rozszerzenie może mieć tę samą normę:$$ \norm{f}_X = \sup_{x w X} \frac{abs{f(x)}}{ \norm{x}} = \norm{f}_Y = \sup_{y w Y} \frac{abs{f(y)}}{norm{y}}.$$Ważne jest jeszcze bardziej ogólne twierdzenie: Niech funkcja rzeczywisto-wartościowa $p(x)$ określona na przestrzeni liniowej spełnia warunki:$$ p(x+y) ^leq p(x) + p(y), ^quadp(^lambda x) = ^lambda p(x), ^quad ^lambda ^geq 0, ^quad x,y ^ w X,$$ i niech $f(x)$ będzie rzeczywisto-wartościową funkcją liniową określoną na podprzestrzeni $Y \subset X$ i taką, że $$ f(x) \leq p(x), \quad x \ w Y.$$Wtedy istnieje liniowa funkcja $F(x)$ określona na całym $X$ taka, że $$ F(x) = f(x), \quad x \ w Y; \quadF(x) \leq p(x), \quad x \ w X.$$ Konsekwencją twierdzenia Hahna-Banacha jest „odwrotna” formuła, która wiąże normy $X$ i $X^*$:$$norm{x} = \max_{f \ w X^*} \frac{abs{f(x)}}{norm{f}},\quadf \neq 0, \quadx \w X.$$ Maksimum w tym wzorze jest osiągane dla pewnego $f=f_X w X^*$. Inną ważną konsekwencją jest istnienie zbioru rozdzielającego ciągłych funkcji liniowych, co oznacza, że dla dowolnego $x_1 ∗ x_2 ∗ w X$ istnieje funkcja liniowa $f$ na $X$ taka, że $f(x_1) ∗ f(x_2)$ (por. Kompletny zbiór funkcji).

Ogólna struktura funkcji liniowych

Ogólna postać funkcji liniowej jest znana dla wielu konkretnych przestrzeni Banacha. I tak, na $L_p$, $p>1$, wszystkie funkcje liniowe są dane wzorem$$ f(x) = \int_a^b x(t)y(t) \, gdzie $y \w L_q$, $1/p + 1/q = 1$, a dowolna funkcja $y(t) w L_q$ definiuje liniową funkcję $f$ według tego wzoru, ponadto $$ \norm{f} = \left( \int_a^b \abs{y(t)}^q \,\mathrm{d}t \right)^{1/q}.$$Tym samym, dualną przestrzenią $L_p$ jest $L_q$: $L_p^* = L_q$. Funkcje liniowe na $L_1$ definiuje się tym samym wzorem, ale w tym przypadku $y w M$, tak że $L_1^* = M$.

Bidualy, refleksyjność

O przestrzeni $X^{**}$, dualnej do $X^*$, mówi się, że jest drugim dualem lub bidualem. Trzecią, czwartą itd. przestrzenie dualne definiuje się w podobny sposób. Każdy element w $X$ może być utożsamiony z pewną funkcją liniową określoną na $X^*$:$$ \text{$F(f) = f(x)$ dla wszystkich $f w X^*$ ($F w X^{**}$, $x w X$),}$ gdzie $norm{F} = \norm{x}$. Można wtedy traktować $X$ jako podprzestrzeń przestrzeni $X^{**}$ i $X ^{**}$ jako podzbiór X^{**}$. \rzedział X^^tekst{IV} \, $X^* ^subset X^{***} \subset \cdots$. Jeśli w wyniku tych inkluzji przestrzeń Banacha pokrywa się ze swoim drugim dualem, to nazywamy ją refleksyjną. W takim przypadku wszystkie inkluzje są równościami. Jeżeli $X$ nie jest refleksyjna, to wszystkie inkluzje są ścisłe. Jeżeli przestrzeń ilorazowa $X^{**}/X$ ma skończony wymiar $n$, to mówi się, że $X$ jest quasi-refleksyjna rzędu $n$. Przestrzenie quasi-refleksyjne istnieją dla wszystkich $n$.

Kryteria refleksyjności dla przestrzeni Banacha

1. $X$ jest refleksyjny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej $f w X^*$ można znaleźć $x w X$, na której osiąga się „sup” we wzorze $$ \norm{f} = \sup_{x w X} \frac{abs{f(x)}}{\norm{x}}, \quad x \neq 0, $$.
2. W refleksyjnych przestrzeniach Banacha i tylko w takich przestrzeniach każdy zbiór ograniczony jest względnie zwarty względem słabej zbieżności: Dowolna z jego nieskończonych części zawiera ciąg słabo zbieżny (twierdzenie Eberleina-Shmul’yana). Przestrzenie $L_p$ i $ell_p$, $p>1$, są refleksyjne. Przestrzenie $L_1$, $ell_1$, $C$, $M$, $c$, $m$, $AP$ są nierefleksyjne.

Przypadki szczególne

Przestrzenie słabo zupełne

O przestrzeni Banacha mówi się, że jest słabo zupełna, jeśli każdy słaby ciąg Cauchy’ego w niej słabo zbiega do elementu przestrzeni. Każda przestrzeń refleksyjna jest słabo zupełna. Ponadto, przestrzenie Banacha $L_1$ i $ell_1$ są słabo zupełne. Przestrzenie Banacha nie zawierające podprzestrzeni izomorficznej do $c_0$ tworzą jeszcze szerszą klasę. Przestrzenie te przypominają przestrzenie słabo zupełne pod kilkoma względami.

Przestrzenie ściśle wypukłe

Mówi się, że przestrzeń Banacha jest ściśle wypukła, jeśli jej sfera jednostkowa $S$ nie zawiera odcinków. Moduły wypukłości wprowadza się w celu ilościowego oszacowania wypukłości sfery jednostkowej; są to lokalne moduły wypukłości$$ \delta(x,\epsilon) = \inf\set{1 – \norm{frac{x+y}{2}} :y \w S,\, \norm{x-y} \geq \epsilon}, \quad x \ w S, \quad 0 < \epsilon \leq 2,$$ a moduł jednorodnej wypukłości$$ \delta(\epsilon) = \inf_{x \ w S} \Jeśli $delta(x,epsilon) > 0$ dla wszystkich $x w S$ i wszystkich $epsilon > 0$, to mówi się, że przestrzeń Banacha jest lokalnie jednolicie wypukła. Jeżeli $delta(x) > 0$, to mówi się, że przestrzeń jest jednolicie wypukła. Wszystkie jednolicie wypukłe przestrzenie Banacha są lokalnie jednolicie wypukłe; wszystkie lokalnie jednolicie wypukłe przestrzenie Banacha są ściśle wypukłe. W skończenie wymiarowych przestrzeniach Banacha odwrotne twierdzenia są również prawdziwe. Jeżeli przestrzeń Banacha jest jednolicie wypukła, to jest refleksyjna.

Przestrzenie gładkie

Mówi się, że przestrzeń Banacha jest gładka, jeżeli dla dowolnych liniowo niezależnych elementów $x$ i $y$ funkcja $psi(t)=norm{x+ty}$ jest różniczkowalna dla wszystkich wartości $t$. O przestrzeni Banacha mówi się, że jest jednolicie gładka, jeśli jej moduł gładkości$$ \rho(t) = \sup_{x,y \ w S}set{frac{norm{x + \tau y} + \norm{x – \tau y}}{2}. -1}, ^quad ^tau > 0,$$ spełnia warunek$$ ^lim_{tau ^rightarrow 0} ^frac{rho(^tau)}{tau} = 0.$$ W przestrzeniach jednostajnie gładkich, i tylko w takich, norma jest jednostajnie różniczkowalna Frécheta. Jednolicie gładka przestrzeń Banacha jest gładka. Odwrotność jest prawdziwa, jeśli przestrzeń Banacha jest skończenie wymiarowa. Przestrzeń Banacha $X$ jest jednostajnie wypukła (jednostajnie gładka) wtedy i tylko wtedy, gdy $X^*$ jest jednostajnie gładka (jednostajnie wypukła). Następująca zależność wiąże moduł wypukłości przestrzeni Banacha $X$ i moduł gładkości $X^*$:$$ \rho_{X^*}(\tau) = \sup_{0 < \epsilon \leq 2}set{\frac{\epsilon \tau}{2} – \delta_X(\epsilon)}.$$Jeśli przestrzeń Banacha jest jednolicie wypukła (jednolicie gładka), to wszystkie jej podprzestrzenie i przestrzenie ilorazowe są również jednolicie wypukłe. Przestrzenie Banacha $L_p$ i $ell_p$, $p>1$, są jednolicie wypukłe i jednolicie gładkie, i$$ \delta(\epsilon) \simeq \begin{cases} \epsilon^2 & (1 < p \leq 2) \epsilon^p & (2 \leq p < \infty);\end{cases}$$$$ \rho(\tau) \simeq \begin{cases} \tau^p & (1 < p \leq 2) \tau^2 & (2 \leq p < \infty);\end{cases}$$$$ \left(f(\epsilon) \simeq \phi(\epsilon) \Leftrightarrow a < \frac{f(\epsilon)}{phi(\epsilon)} < bright).$$Przestrzenie Banacha $M$, $C$, $A$, $L_1$, $AP$, $m$, $c$, $ell_1$ nie są ściśle wypukłe i nie są gładkie.

Operatory liniowe

Następujące ważne twierdzenia dla operatorów liniowych obowiązują w przestrzeniach Banacha:

Twierdzenie Banacha-Steinhausa.

Jeśli rodzina operatorów liniowych $T=zestaw{T_alfa}$ jest ograniczona w każdym punkcie,$$sup_alfa \norm{T_alfa x} < \infty, \quad x \ w X,$$ to jest ona norma-bounded:$$ \sup_alfa \norm{T_alfa} < \infty.$$

Twierdzenie Banacha o otwartym odwzorowaniu.

Jeśli liniowy operator ciągły odwzorowuje przestrzeń Banacha $X$ na przestrzeń Banacha $Y$ w korespondencji jeden do jednego, to odwrotny operator $T^{-1}$ też jest ciągły.

Twierdzenie o zamkniętym grafie.

Jeśli zamknięty operator liniowy odwzorowuje przestrzeń Banacha $X$ na przestrzeń Banacha $Y$, to jest on ciągły.

Isometrie i izomorfizmy

Isometrie między przestrzeniami Banacha występują rzadko. Klasycznym przykładem są przestrzenie Banacha $L_1$ i $ell_2$. Przestrzenie Banacha $C$ i $C$ są izometryczne wtedy i tylko wtedy, gdy $K_1$ i $K_2$ są homeomorficzne (twierdzenie Banacha-Stone’a). Miarą bliskości izomorficznych przestrzeni Banacha jest liczba $$ d(X,Y) = ∗T^{-1} ∗T^{-1} ∗T^{-1} ∗T$, gdzie $T$ przebiega przez wszystkie możliwe operatory realizujące (liniowy topologiczny) izomorfizm między $X$ i $Y$. Jeśli $X$ jest izometryczne do $Y$, to $d(X,Y)=0$. Istnieją jednak również przestrzenie nieizometryczne, dla których $d(X,Y)=0$; mówi się, że są one prawie-izometryczne. Własności przestrzeni Banacha zachowane pod izomorfizmem nazywamy liniowymi topologicznymi. Należą do nich rozłączność, refleksyjność i słaba kompletność. Izomorficzna klasyfikacja przestrzeni Banacha zawiera, w szczególności, następujące twierdzenia:$$ L_r ̇ L_s; ̇ L_r ̇ L_s, ̇ r ̇ s$$$$ L_r ̇ L_r ̇ L_s, ̇ r ̇ s; ̇ L_r = ̇ L_s, ̇ r = s = 2;$$$$ M=m; \quad C \neq A(D);$$C = C$ jeśli $K$ jest metrycznym compactum o kardynalności continuum;$$ C^n \neq C.$$

Każda separowalna przestrzeń Banacha jest izomorficzna z lokalnie jednolicie wypukłą przestrzenią Banacha. Nie wiadomo (1985), czy istnieją przestrzenie Banacha, które nie są izomorficzne z żadną ze swoich hiperpłaszczyzn. Istnieją przestrzenie Banacha, które nie są izomorficzne z przestrzeniami ściśle wypukłymi. Niezależnie od liniowej natury przestrzeni unormowanych, można rozważać ich klasyfikację topologiczną. Dwie przestrzenie są homeomorficzne, jeżeli między ich elementami można wyznaczyć ciągłą, jednokierunkową zależność, taką, że jej odwrotność jest również ciągła. Przestrzeń niecałkowicie unormowana nie jest homeomorficzna z żadną przestrzenią Banacha. Wszystkie nieskończenie wymiarowe separowalne przestrzenie Banacha są homeomorficzne.

W klasie separowalnych przestrzeni Banacha, $C$ i $A(D)$ są uniwersalne (por. Przestrzeń uniwersalna). Klasa refleksyjnych separowalnych przestrzeni Banacha nie zawiera nawet izomorficznych przestrzeni uniwersalnych. Przestrzeń Banacha $ell_1$ jest uniwersalna w nieco innym sensie: Wszystkie separowalne przestrzenie Banacha są izometryczne do jednej z jego przestrzeni ilorazowych.

Przestrzenie bez dopełnienia

Każda z wymienionych wyżej przestrzeni Banacha, z wyjątkiem $L_2$ i $ell_2$, zawiera podprzestrzenie bez dopełnienia. W szczególności, w $m$ i $M$ każda nieskończenie wymiarowa podprzestrzeń rozłączna jest niekompletna, a w $C$ wszystkie nieskończenie wymiarowe podprzestrzenie refleksyjne są niekompletne. Jeżeli wszystkie podprzestrzenie w przestrzeni Banacha są komplementarne, to przestrzeń ta jest izomorficzna z przestrzenią Hilberta. Nie wiadomo (1985), czy wszystkie przestrzenie Banacha są sumami bezpośrednimi pewnych dwóch nieskończenie wymiarowych podprzestrzeni, czy też nie. Podprzestrzeń $Y$ jest komplementarna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje projekcja odwzorowująca $X$ na $Y$. Dolną granicę norm projekcji na $Y$ nazywamy względną stałą projekcji $lambda(Y,X) $ podprzestrzeni $Y$ w $X$. Każda $n$-wymiarowa podprzestrzeń przestrzeni Banacha jest komplementarna i $lambda(Y_n,X) $ jest komplementarna i $sqrt{n}$. Bezwzględna stała rzutowa $lambda(Y)$ przestrzeni Banacha $Y$ wynosi $$ \lambda(Y) = \sup_X \lambda(Y,X),$$ gdzie $X$ przebiega przez wszystkie przestrzenie Banacha, które zawierają $Y$ jako podprzestrzeń. Dla każdej nieskończenie wymiarowej rozłącznej przestrzeni Banacha $Y$ mamy $lambda(Y) = $infty$. Przestrzenie Banacha, dla których $lambda(Y) = Y < \infty$, tworzą klasę $mathcal{P}_lambda$ ($lambda \geq 1$). Klasa $mathcal{P}_1$ pokrywa się z klasą przestrzeni $C(Q)$, gdzie $Q$ są ekstremalnie rozłącznymi kompaktami (por.Extremally-disconnected space).

Przypadek skończenie-wymiarowy

Fundamentalne twierdzenia na skończenie-wymiarowych przestrzeniach Banacha:

1. Przestrzeń skończona jest zupełna, tzn. jest przestrzenią Banacha.
2. Wszystkie operatory liniowe w skończonej przestrzeni Banacha są ciągłe.
3. Skończona przestrzeń Banacha jest refleksyjna (wymiar $X^*$ jest równy wymiarowi $X$).
4. Przestrzeń Banacha jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy jej kula jednostkowa jest zwarta.
5. Wszystkie $n$-wymiarowe przestrzenie Banacha są parami izomorficzne; ich zbiór staje się zwarty, jeśli wprowadzimy odległość

$$ d(X,Y) = ∗T^{-1}}$.$$

Konwergencja szeregów

A series \begin{equation} \sum_{k=1}^ \infty x_k, \quad x_k \ w X \label{eq:series}}end{equation} mówi się, że jest zbieżny, jeśli istnieje granica $S$ ciągu sum częściowych:$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \norm{S – \sum_{k=1}^n x_k} = 0.$$If$$\sum_{k=1}^\infty \norm{x_k} < ^infty,$$ to szereg $eqref{eq:szereg}$ jest zbieżny i mówi się w takim przypadku, że jest bezwzględnie zbieżny. O szeregu mówimy, że jest bezwarunkowo zbieżny, jeśli jest zbieżny, gdy jego wyrazy są dowolnie poprzestawiane. Suma szeregu bezwzględnie zbieżnego jest niezależna od układu jego członów. W przypadku szeregów w przestrzeni skończenie wymiarowej (a w szczególności dla szeregów liczbowych) zbieżność bezwarunkowa i zbieżność bezwzględna są równoważne. W nieskończenie wymiarowych przestrzeniach Banacha zbieżność bezwarunkowa wynika ze zbieżności bezwzględnej, ale odwrotność nie jest prawdziwa w żadnej nieskończenie wymiarowej przestrzeni Banacha. Jest to konsekwencją twierdzenia Dvoretskii-Rogersa: Dla wszystkich liczb $alfa_k \geq 0$, przy spełnieniu warunku $suma x_k^2 < \infty$, istnieje w każdej nieskończenie wymiarowej przestrzeni Banacha bezwarunkowo zbieżny szereg $suma x_k$ taki, że $norm{x_k} = \alpha_k$, $k=1,2,\dots$. W przestrzeni $c_0$ (a więc także w dowolnej przestrzeni Banacha zawierającej podprzestrzeń izomorficzną do $c_0$), dla dowolnego ciągu $alpha_k \geq 0$ zbieżnego do zera, istnieje bezwarunkowo zbieżny szereg $sum x_k$, $norm{x_k} = \alpha_k$. W $L_p(S ; \end{cases}$$ W jednolicie wypukłej przestrzeni Banacha o module wypukłości $delta(epsilon)$$ bezwarunkowa zbieżność szeregu $sum x_k$ implikuje, że$$ ^sum_{k=1}^infty ^delta(^norm{x_k}) < ^infty.$$

O szeregu $sum x_k$ mówi się, że jest słabo bezwarunkowo Cauchy’ego, jeśli szereg liczb $sumabs{f(x_k)}$ jest zbieżny dla każdego $f w X^*$. Każdy słabo bezwarunkowo Cauchy szereg w $X$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ nie zawiera podprzestrzeni izomorficznej do $c_0$.

Sekwencję elementów $set{e_k}_1^infty$ przestrzeni Banacha nazywamy minimalną, jeśli każdy z jej członów leży poza domknięciem $X^{(n)} = _{k ^neq n}$, liniowym kadłubem pozostałych elementów. Mówi się, że ciąg jest jednostajnie minimalny, jeśli $$ \rho(e_n ; X^{(n)}) \^geq ^gamma ^norm{e_n}, ^quad0 < ^gamma ^leq 1, ^quadn = 1, 2, ^ldots.$$ Jeśli $gamma=1$, to mówi się, że ciąg jest układem Auerbacha. W każdej $n$ wymiarowej przestrzeni Banacha istnieje pełny system Auerbacha $set{e_k}_1^n$. Nie wiadomo (1985), czy w każdej rozłącznej przestrzeni Banacha istnieje kompletny system Auerbacha, czy nie. Dla każdego układu minimalnego istnieje addytywny układ funkcji liniowych $set{f_n}$, który jest związany z $set{e_k}$ relacją biorytogonalności: $f_i(e_j) = \delta_{ij}$. W takim przypadku o układzie $set{e_k,f_k}$ mówi się, że jest biorytogonalny. O zbiorze funkcji liniowych mówi się, że jest całkowity, jeśli anihiluje tylko element zerowy przestrzeni. W każdej separowalnej przestrzeni Banacha istnieje pełny, minimalny układ z całkowitym addytywem. Każdy element $x w X$ można formalnie rozwinąć w szereg za pomocą układu biortogonalnego:$$ x ^sim ^sum_{k=1}^infty f_k(x)e_k,$$ ale w ogólnym przypadku szereg ten jest rozbieżny.

Bazy

O układzie elementów $set{e_k}_1^infty$ mówi się, że jest bazą w $X$, jeśli każdy element $x w X$ może być jednoznacznie przedstawiony jako szereg zbieżny $$x = ^sum_{k=1}^infty ^alpha_k e_k, ^quad ^alpha_k = ^alpha_k(x). $$Każda baza w przestrzeni Banacha jest kompletnym jednorodnym układem minimalnym z całkowitym addytywem. Odwrotność nie jest prawdziwa, jak widać na przykładzie układu $set{e^{int}}_{-^infty}^ w $C$ i $L_1$.

O bazie mówi się, że jest bezwarunkowa, jeśli wszystkie jej rearanżacje są również bazami; w przeciwnym razie mówi się, że jest warunkowa. Układ $zestaw{e^{int}}_{-{infty}^ w $L_p$, $p>1$, $p = 2$, jest bazą warunkową. Układ Haara jest podstawą bezwarunkową w $L_p$, $p > 1$. Nie ma bezwarunkowej bazy w przestrzeniach $C$ i $L_1$. Nie wiadomo (1985), czy każda przestrzeń Banacha zawiera nieskończenie wymiarową podprzestrzeń z bezwarunkową bazą, czy nie. Każda nierefleksyjna przestrzeń Banacha z bezwarunkową bazą zawiera podprzestrzeń izomorficzną do $ell_1$ lub $c_0$.

Dwie znormalizowane bazy $set{e_k^^prime}$ i $set{e_k^{prime} $ w dwóch przestrzeniach Banacha $X_1$ i $X_2$ są równoważne, jeśli korespondencja $e_k^prime ^leftrightarrow e_k^{prime}$, $k=1,2,^ldots$, może być rozszerzona do izomorfizmu między $X_1$ i $X_2$. W każdej z przestrzeni $ell_2$, $ell_1$, $c_0$ wszystkie unormowane bazy bezwarunkowe są równoważne bazie naturalnej. Bazy skonstruowane w przestrzeniach Banacha, które mają ważne zastosowania, nie zawsze nadają się do rozwiązywania problemów, np. w teorii operatorów. W tym kontekście wprowadzono $T$-bazy, czyli bazy sumacyjne. Niech $set{t_{i,j}}_1^infty$ będzie macierzą regularnej metody sumowania. Układ elementów $set{e_n} \X$ mówi się, że jest $T$-bazą odpowiadającą danej metodzie sumowania, jeśli każdy $x w X$ może być jednoznacznie reprezentowany przez szereg $$ x ^sum_{k=1}^infty ^alpha_k e_k,$$ który jest sumowalny do $x$ tą metodą. Układ trygonometryczny $set{e^{int}}_{-^infty}^ w $C$ jest podstawą sumowania dla metod Cesàro i Abla. Każda baza $T$ jest całkowitym minimalnym (niekoniecznie jednostajnie minimalnym) układem z całkowitym addytywem. Odwrotność nie jest prawdziwa. Do lat 70. jednym z głównych problemów teorii przestrzeni Banacha był problem bazy, którym zajmował się sam Banach: Czy w każdej separowalnej przestrzeni Banacha istnieje baza? Pytanie o istnienie bazy w ściśle określonych przestrzeniach Banacha również pozostawało otwarte. Pierwszy przykład separowalnej przestrzeni Banacha bez bazy został skonstruowany w 1972 roku; skonstruowano bazy w przestrzeniach $C^n(I^m)$ i $A(D)$.

	S. Banach, „Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales” Fund. Math., 3 (1922) s. 133-181 JFM Zbl 48.0201.01
	S.S. Banach, „A course of functional analysis”, Kiev (1948) (In Ukrainian)
	B. Beauzamy, „Introduction to Banach spaces and their geometry”, North-Holland (1985) MR0889253 Zbl 0585.46009
	N. Bourbaki, „Elements of mathematics. Topological vector spaces”, Addison-Wesley (1977) (Tłumaczone z francuskiego) MR0583191 Zbl 1106.46003 Zbl 1115.46002 Zbl 0622.46001 Zbl 0482.46001
	M.M. Day, „Normed linear spaces”, Springer (1958) MR0094675 Zbl 0082.10603
	J.J. Diestel, „Geometry of Banach spaces. Selected topics”, Springer (1975) MR0461094 Zbl 0307.46009
		N. Dunford, J.T. Schwartz, „Linear operators. General theory”, 1, Interscience (1958) MR0117523
	J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, „Classical Banach spaces”, 1-2, Springer (1977-1979) MR0500056 Zbl 0362.46013
	R.V. Kadison, J.R. Ringrose, „Fundamentals of the Theory of Operator Algebras”, Volume I: Elementary Theory, AMS (1997) MR1468229
	Z. Semanedi, „Przestrzenie Banacha funkcji ciągłych”, Polish Sci. Publ. (1971)
	I.M. Singer, „Bases in Banach spaces”, 1-2, Springer (1970-1981) MR0298399 MR0268648 Zbl 0198.16601 Zbl 0189.42901

.