Harmonische analyse

Harmonische analyse, wiskundige procedure voor het beschrijven en analyseren van verschijnselen met een periodiek terugkerend karakter. Vele ingewikkelde problemen zijn tot hanteerbare termen teruggebracht door de techniek ingewikkelde wiskundige krommen op te splitsen in sommen van betrekkelijk eenvoudige componenten.

Veel natuurkundige verschijnselen, zoals geluidsgolven, wisselende elektrische stromen, getijden, en machinebewegingen en -trillingen, kunnen periodiek van aard zijn. Dergelijke bewegingen kunnen worden gemeten bij een aantal opeenvolgende waarden van de onafhankelijke variabele, gewoonlijk de tijd, en deze gegevens of een kromme die daaruit wordt uitgezet, zullen een functie van die onafhankelijke variabele vertegenwoordigen. In het algemeen zal de wiskundige uitdrukking voor de functie onbekend zijn. Bij de periodieke functies die in de natuur voorkomen, kan de functie echter worden uitgedrukt als de som van een aantal sinus- en cosinustermen. Een dergelijke som staat bekend als een Fourierreeks, naar de Franse wiskundige Joseph Fourier (1768-1830), en de bepaling van de coëfficiënten van deze termen wordt harmonische analyse genoemd. Eén van de termen van een Fourierreeks heeft een periode gelijk aan die van de functie, f(x), en wordt de grondtoon genoemd. Andere termen hebben verkorte perioden die integraal veelvouden zijn van de grondtoon; deze worden harmonischen genoemd. De terminologie is afgeleid van een van de vroegste toepassingen, de studie van de geluidsgolven die door een viool worden voortgebracht (zie analyse: Muzikale oorsprong en Fourieranalyse).

In 1822 stelde Fourier dat een functie y = f(x) tussen de grenzen x = 0 en x = 2π kan worden uitgedrukt door de oneindige reeks die nu gegeven is in de vormop voorwaarde dat de functie één waarde heeft, eindig is, en continu op een eindig aantal discontinuïteiten na, en waarenvoor k ≥ 0. Met de verdere beperking dat er slechts een eindig aantal extremum (lokale maxima en minima) zijn, werd de stelling bewezen door de Duitse wiskundige Peter Lejeune Dirichlet in 1829.

Het gebruik van een groter aantal termen zal de nauwkeurigheid van de benadering vergroten, en de grote hoeveelheden benodigde berekeningen worden het best gedaan door machines die harmonische (of spectrum) analyzers worden genoemd; deze meten de relatieve amplitudes van sinusoïdale componenten van een periodiek terugkerende functie. Het eerste instrument van die aard werd uitgevonden door de Britse wis- en natuurkundige William Thomson (later Baron Kelvin) in 1873. Deze machine, die werd gebruikt voor de harmonische analyse van getijdenwaarnemingen, omvatte 11 sets mechanische integratoren, één voor elke te meten harmonische. Een nog gecompliceerdere machine, die tot 80 coëfficiënten kon verwerken, werd in 1898 ontworpen door de Amerikaanse natuurkundigen Albert Abraham Michelson en Samuel W. Stratton.

Eerdere machines en methoden maakten gebruik van een experimenteel bepaalde curve of reeks gegevens. In het geval van elektrische stromen of spanningen is een geheel andere methode mogelijk. In plaats van een oscillografische opname van de spanning of stroom te maken en deze wiskundig te analyseren, wordt de analyse rechtstreeks op de elektrische grootheid uitgevoerd door de respons te registreren wanneer de natuurlijke frequentie van een afgestemde kring over een groot bereik wordt gevarieerd. Harmonische analyzers en synthesizers uit de 20e eeuw waren dan ook eerder elektromechanische dan zuiver mechanische apparaten. Moderne analyzers geven de frequentiegemoduleerde signalen visueel weer door middel van een kathodestraalbuis, en digitale of analoge computerprincipes worden gebruikt om de Fourieranalyse automatisch uit te voeren, waardoor benaderingen van grote nauwkeurigheid worden bereikt.