バナッハ空間

B-space

2010 Mathematics Subject Classification: Primary: 46B Secondary: 46E15 $newcommand{abs}{left|#1}}newcommand{norm}{left|#1}}$newcommand{set}{left{#1}}$

完全な正規化ベクトル空間です。 バナッハ空間に関わる問題は、単位球の幾何学、部分空間の幾何学、線形位相分類、バナッハ空間における級数と数列、バナッハ空間における最適近似、バナッハ空間に値を持つ関数など、様々な種類がある。

歴史

1904年から1918年にかけてヒルベルト、フレシェ、リースが導入した関数空間は、バナッハ空間の理論の出発点であった。 強収束、弱収束、コンパクト性、線形関数、線形作用素などの基本概念は、もともとこれらの空間で研究されたものである。 バナッハ空間は、1922年にS.バナッハが自ら導入した公理に基づいて体系的な研究を開始し、非常に高度な結果を得たことから名付けられた

バナッハ空間の理論は、線形位相空間の一般理論と平行して発展してきた。 これらの理論は、新しい考えや事実によって相互に充実していった。 このため、ノルム空間の理論から取り入れたセミノルムの考え方は、局所的に凸の線形位相空間の理論を構築する上で不可欠な道具となった。 また、バナッハ空間における要素の弱い収束や線形関数の考え方は、最終的に弱い位相幾何学の概念へと発展していった。 バナッハ空間の理論は関数解析学の一分野として徹底的に研究され、数学のさまざまな分野で、直接または作用素の理論によって、数多くの応用がなされている

Generalities

A Banach space $X$ is a vector space over $JPR$ or $JPC$ with a norm $NORM{CUDOT}$ that is complete with respect to this norm, すなわち $X$ におけるすべてのコーシー列は収束するということです。

2つのバナッハ空間$X$, $Y$に対して、$X$から$Y$への線形連続写像の空間を$B(X,Y)$とする。 これはノルム$$norm{T} = \sup_{x \neq 0} \frac{norm{Tx}}{norm{x}} に関してそれ自体 Banach 空間である$$

Examples

解析で出会う Banach 空間はほとんどある条件に従う関数または数列の集合である。

1. $ell_p$, $p \geq 1$, は、数値列 $set{xi_n}$ for which $$ \sum_{n=1}^infty \abs{xi_n}^p < \infty$$ with the norm $$ \norm{x} = \left( \sum_{n=1}^infty \abs{xi_n}^p \right)^{1/p} の空間です。
2. $m$ はノルムが$$ \norm{x} = \sup_nabs{xi_n} の有界数値列の空間、$$
3. $c$ はノルムが$$ \norm{x} = \sup_nabs{xi_n} で収束数値列の空間であります。
4. $c_0$ はノルムが$$ \norm{x} = \max_n\abs{xi_n} でゼロに収束する数値列の空間です。5778>
5. $C$ は $$ 上の連続関数 $x=x(t)$ の空間で、ノルムは $$norm{x} = \max_{a \leq t \leq b}abs{x(t)}$ です。$$
6. $C$ はコンパクト体 $K$ 上の連続関数で、ノルムは $$norm{x} = \max_{t \in K}abs{x(t)}$$ です。
7. $C^n$ は $$norm{x} = \sum_{k=0}^n \max_{a \leq t｜b}abs{x^{(k)}(t)} の次数まで連続微分を持つ関数の空間であり、$$norm{x} は $$norm{x} = \max_{a｜req t｜req b}となります。 5778>
8. $C^n$ は $m$ 次元立方体で定義された関数で、次数 $n$ まで連続微分可能で、すべての微分が高々 $n$ の次数で一様に境界を持つすべての関数の空間である。 (Cf. Hölder space.)
9. $M$ is the space of bounded measurable functions with the norm $$norm{x} = \mathop{mathrm{ess;max}}_{a \leq t \leq b} ¢abs{x(t)}.5778>
10. $A(D)$ は、開いた単位円板$D$で解析的で、閉じた円板$bar{D}$で連続な関数の空間で、ノルムは$$norm{x} = \max_{z \in \bar{D}} [abs{x(z)} ]であり、$$bar{D}$では$$norm{x}は$$A(D)$となります。 $$
11. $L_p(S ; \Sigma, \mu)$, $p \geq 1$, is the space of functions $x(s)$ defined on a set $S$ provided with a countably-additive measure $mu$, with the norm $$norm{x} = \left( \_int/S \abs{x(s)}^p \,\mu(\mathrm{d}s) \right)^{1/p}.$$ (Cf. $L^p$ spaces.)
12. $L_p$, $p \geq 1$, is a special case of the space $L_p(S ; \Sigma, \mu)$. これは、次数$p$の和で、ノルムが$$norm{x} = \left( \int_a^b \abs{x(s)}^p \,\mathrm{d}s \right)^{1/p} であるルベーグ可測関数の空間である。5778>
13. $AP$ はほぼ周期的な関数のBohr空間で、ノルムは $$norm{x} = \sup_{-intexfty < t < \infty} である。 \abs{x(t)}. $$

空間$C$, $C^n$, $L_p$, $c$, $ell_p$は分離可能、空間$M$, $m$, $AP$は分離不可能、$C$は$K$がコンパクトメトリック空間の場合にのみ分離可能

他の例にはソボレフ空間とハーディー空間$mathcal{H}^1$が含まれています。

Quotients

包絡空間$X$とは別に考えるバナッハ空間の（閉じた線形）部分空間$Y$は、バナッハ空間である。 部分空間$Y$によるノルム空間の商空間$X/Y$は、ノルムを次のように定義すれば、ノルム空間となる。 Y_1 = x_1 + Y$をコセットとする。 すると、$$ \norm{Y_1} = \_inf_{y \in Y} となる。 \norm{x_1 + y}.$$X$がバナッハ空間であるならば、$X/Y$もバナッハ空間である。

この場合、$Z$が別のノルム空間で、$Tin B(X,Z)$ が $T(Y)=Thin{0}$ を満たすなら、$T = \hat T \in B(X/Y,Z)$ と $norm{T}=Germ{That T}$ が存在し、ここで $Q:X \to X/Y$ は求積写像です。

Linear functionals, dual space

The set of all continuous linear functionals defined on the normed space $X$, with the norm$$norm{f} = \sup_{x \in X} \frac{abs{f(x)}}{norm{x}}, \quad x \neq 0 $$ is said to the dual space of $X$ and denitored by $X^*$…は、$X$の漸化式と呼ばれており、またその記号は$X^*$と表され、漸化式は$X^*$と呼ばれています。 バナッハ空間である。

Hahn-Banach theorem

バナッハ空間は線形関数の拡張に関するHahn-Banach theoremを満たす。 線形汎関数がノルム空間の部分空間$Y$上で定義されると、その線形性と連続性を保ったまま空間$X$全体に拡張することが可能である。 さらに、その拡張は同じノルムを持つようにできる：$$$ \norm{f}_X = \sup_{x \in X} \frac{abs{f(x)}}{norm{x}} = \norm{f}_Y = \sup_{y \in Y}。 \frac{abs{f(y)}}{norm{y}} より一般的な定理も成立する。 線形空間上で定義された実数値関数$p(x)$が条件を満たすとする。p(x+y) \leq p(x) + p(y), \quadp(\lambda x) = \lambda p(x), \quad \lambda \geq 0, \quad x,ylessly in X. $$ p(x+y) \leq p(x) + p(y), ΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓ ΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓ!また、$f(x)$を部分空間$Y \subset X$上で定義され、$f(x) \leq p(x), \quad x \in Yとなる実数値線形関数であるとする。F(x) = f(x), Ⓐquad x Ⓐin Y; ⒷquadF(x) Ⓑp(x), Ⓑquad x Ⓑin X$のような$X$全体上で定義される線形関数$F(x)$は存在している。Hahn-Banach定理の帰結として、$X$と$X^*$のノルムを関係づける「逆」公式があります：$$norm{x} = \max_{f \in X^*}. \frac{abs{f(x)}}{norm{f}},\quadf ¢neq 0, \quadx ¢in X.$$この式の最大値は、ある $f=f_X}in X^*$ に対して達成される。 もう一つの重要な帰結は連続一次関数の分離集合の存在で、任意の$x_1 ⑭ x_2 ⑭in X$に対して、$f(x_1) ⑰ f(x_2)$ が存在する（参照：Complete set of functions）

線形関数の一般構造

多くの特定のバナーチ空間で線形関数が一般形式になることは知られています。 したがって、$L_p$, $p>1$上では、すべての線形汎関数が$f(x) = \int_a^b x(t)y(t),\mathrm{d}t,$$where $y \in L_q$, $1/p + 1/q = 1$の公式で与えらる。 であり、L_q$内の任意の関数$y(t) \norm{f} = \left( \int_a^b \abs{y(t)}^q \,\mathrm{d}t )^{1/q} であり、この式によって線形関数$f$が定義されるのであり、しかも$f}は$nothing$nothing$nothing$nothing$nothing$nothing$である。したがって、$L_p$の双対空間は$L_q$である：$L_p^* = L_q$. L_1$ 上の線形関数は同じ式で定義されるが、この場合は $y が M$ の中にあるので $L_1^* = M$ となる。

双対、反射率

空間 $X^{**}$ が $X^*$ と双対であることを第2双対または双対であるという。 第3、第4などの双対空間も同様に定義される。 X$の各要素は$X^*$上で定義されたある線形関数と同定できる：$$ \{$F(f) = f(x)$ for all $f \in X^*$ ($F \in X^{**}$, $x \in X$),}$ここで$norm{F} = \norm{x}$である。 このとき、$X$を空間$X^{**}$の部分空間とみなし、$X \subset X^{**}$ とすることができる。 \subset X^text{IV} \但し、$X^* \subset X^{***} の場合は、$X^_seconds$、$X^_seconds$、$X^_seconds$となります。 \subset \cdots$. これらの包含の結果、バナッハ空間がその第2双対と一致するとき、それは反射的と呼ばれる。 この場合、すべての包含は等式である。 X$が反射的でない場合、すべての包含は厳密である。 商空間 $X^{**}/X$ が有限次元 $n$ であるとき、$X$ は次数 $n$ の準反射性であるという。 準反射空間はすべての $n$ に対して存在する。

Banach空間の反射率基準

1. $X$ は、各$f \in X^*$ に対して、$$ \norm{f} = \sup_{x \in X} 式中の「sup」が達成される $$ x \in X$ を見つけることができるときのみ反射性である。
2. In reflexive Banach spaces and only in such spaces that each bounded set is relatively compact with respect to weak convergence.反射的バナッハ空間において、各有界集合は弱い収束に関して相対的にコンパクトである。 その無限部分のいずれかが弱収束数列を含む (Eberlein-Shmul’yan の定理)。 空間$L_p$と$tell_p$, $p>1$は反射的である。 L_1$, $C$, $M$, $c$, $m$, $AP$空間は非反射である。

Special cases

Weakly complete spaces

Banach space is said to be weakly complete if each weak Cauchy sequence in it weakly converges to an element of the space.弱完全バナーハ過程は弱くても完全と言う。 すべての反射的空間は弱完全である。 また、バナッハ空間$L_1$と$Θell_1$は弱完全である。 c_0$ に同型の部分空間を含まないバナッハ空間は、さらに広いクラスを形成する。

厳密凸空間

単位球$S$がセグメントを含まないとき、バナッハ空間は厳密凸空間と呼ばれる。 単位球の凸性を定量的に評価するために凸性係数が導入され、局所凸性係数$$ \delta(x,\epsilon) =infset{1 – \norm{frac{x+y}{2}} :y \in S,\, \norm{x-y} \geq \epsilon}, \quad x \in S, \quad 0 < \epsilon \leq 2,$$and uniform convexity modulus$$ = \f_{x \in S}. \delta(x,\epsilon).$$If $delta(x,\epsilon) > 0$ for all $x \in S$ and all $epsilon > 0$, the Banach space is called the locally uniformly convex. また、$delta(x) > 0$のとき、その空間は一様凸であるという。 すべての一様凸のバナッハ空間は局所一様凸であり、すべての局所一様凸のバナッハ空間は厳密凸である。 有限次元のバナッハ空間では、その逆も成り立つ。

滑らかな空間

任意の線形独立な要素$x$と$y$に対して、関数$psi(t)=norm{x+ty}$が$t$のすべての値に対して微分可能であればバナッハ空間は滑らかであると言う． バナッハ空間が一様に滑らかであるとは、その滑らかさのモジュラスが$¥beta$=¥sup_{x,y¥s}set{/frac{/norm{x + ¥tau y}} であるときをいう。 + \norm{x – \tau y}}{2}. -1}, \quad \tau > 0,$$satisfies the condition$ \lim_{tau \rightarrow 0}}frac{rho(\tau)}{tau} = 0.$$In uniformly smooth spaces, and only in such spaces, is uniformly Fréchet微分可能です。 一様に滑らかなバナッハ空間は滑らかである。 バナッハ空間が有限次元であれば逆も真である。 バナッハ空間 $X$ は、$X^*$ が一様に滑らかである（一様に凸である）場合に限り、一様に凸である。 バナッハ空間 $X$ の凸係数と $X^*$ の平滑係数は次の関係で表されます：$$ \rho_{X^*}(\tau) = \sup_{0 < \epsilon \leq 2}set{prac{theepsilonΤώ}{2} – バナッハ空間が一様に凸（一様に滑らか）であれば、その部分空間と商空間もすべて一様に凸である。 Banach spaces $L_p$ and $ell_p$, $p>1$, are uniformly convex and uniformly smooth, and$$ \delta(\epsilon) \simeqbegin{cases}epsilon^2 & (1 < p \leq 2) \epsilon^p & (2 \leq p < \infty)があります。 < bright).$$The Banach spaces $M$, $C$, $A$, $L_1$, $AP$, $m$, $c$, $ell_1$ are not strictly convex and are smooth.

Linear operator

The following important theorems for linear operators are valid in Banach spaces:

The Banach-Steinhaus theorem.The Matters of the Matters in the Banach space.

線形作用素の族$T=set{T_alpha}$が各点でbounded,$$sup_alpha \norm{T_alpha x} < \infty, \quad x \in X, $$then it is norm-bounded:$$ \sup_alpha \norm{T_alpha} < \infty.If a family of linear operator l’t bounded as each point.バナッハの開放写像の定理。

線形連続作用素がバナッハ空間$X$をバナッハ空間$Y$に一対一対応で写像するとき、逆作用素$T^{-1}$も連続である。

閉グラフ定理。

閉線形作用素がバナッハ空間$X$をバナッハ空間$Y$に写すならば、それは連続である。

等値性と同型性

バナッハ空間間の等値性はほとんど発生しません。 古典的な例はバナッハ空間$L_1$と$Complete_2$で与えられる。 バナッハ空間$C$と$C$は$K_1$と$K_2$が同型である場合にのみ等距離になる（バナッハ-石定理の定理）。 同型バナッハ空間の近接度を表す尺度は、数$$ d(X,Y) = \lninf\bigl|Ttbigr|T^{-1}bigr|,$$ ここで $T$ は $X$ と $Y$ 間の（線形位相）同型を実現できるすべての演算子である。 X$ が $Y$ と等質なら、 $d(X,Y)=0$ となる。 ただし、$d(X,Y)=0$となる非等値空間も存在し、それらはほぼ等値と呼ばれる。 バナッハ空間が同型のもとで保存される性質を線形位相幾何学的という。 分離性、反射性、弱補完性などである。 バナッハ空間の同型性分類には、特に次の定理が含まれる。L_r \neq L_s; \quad \ell_r \neq \ell_s, \quad r \neq s$$$ L_r \neq \ell_s, \quad r \neq s; \quadL_r = \ell_s, \quad r = s = 2.等式は、バナッハ空間の同型性分類に含まれます。M=m; \quad C \neq A(D);$$$C=C$ if $K$ is a metric compactum with the cardinality of the continuum;$$ C^n \neq C.となります。$$

各分離可能なバナッハ空間は局所的に一様に凸なバナッハ空間に同型である。 その超平面のどれにも同型でないバナッハ空間があるかどうかは（1985）不明である。 厳密な凸空間と同型でないバナッハ空間が存在する。 ノルム空間の線形性に関係なく、その位相的な分類を考えることが可能である。 2つの空間は、その要素間に逆行列も連続であるような1対1の連続的な対応関係が成立すれば、同相となる。 不完備なノルム空間は、どのバナッハ空間にも同相ではない。 128>

分離可能なバナッハ空間のクラスにおいて、$C$と$A(D)$は普遍的である(cf. Universal space)。 反射的分離可能バナッハ空間のクラスには、同型の普遍空間がないことさえある。 バナッハ空間 $C$ と $A(D)$ は普遍空間であるが、その意味は少し異なる。

Non-complementable subspaces

上記のバナッハ空間のうち、$L_2$と$003$以外は、補集合を持たない部分空間を含む。 特に$m$と$M$では無限次元の分離可能な部分空間はすべて非補完的であり、$C$では無限次元の反射的部分空間はすべて非補完的である。 バナッハ空間のすべての部分空間が補集合可能であれば、その空間はヒルベルト空間と同型である。 すべてのバナッハ空間が、ある2つの無限次元部分空間の直和であるかどうかは、（1985年）わかっていない。 部分空間 $Y$ は、$X$ を $Y$ 上に写す射影が存在する場合にのみ、補集合可能である。 Y$上の射影のノルムの下界は、$X$における部分空間$Y$の相対射影定数$lambda(Y,X) $と呼ばれる。 バナッハ空間の各$n$次元部分空間は補題可能であり、$lambda(Y_n,X) \leq ³{n}$ である。 バナッハ空間$Y$の絶対射影定数$lambda(Y)$は$$ \lambda(Y) = \sup_X \lambda(Y,X),$$where $X$は$Y$を部分空間として含むすべてのバナッハ空間を通る。 任意の無限次元の分離可能なバナッハ空間 $Y$ に対して、$lambda(Y) = \infty$ がある。 また、$lambda(Y) \leq Y < \infty$となるバナッハ空間は$Θmathcal{P}_Θlambda$ ($lambda \geq 1$)というクラスを構成します。 このクラスは、$Q$がextremally-disconnected compactaである空間$C(Q)$のクラスと一致する（extremally-disconnected space）

Finite-dimensional case

Fundamental theorems on finite-dimensional Banach spaces.All Rights Reserved:

1. 有限次元空間は完全である、すなわちバナッハ空間である。
2. 有限次元バナッハ空間におけるすべての線形作用素は連続である。
3. 有限次元バナッハ空間は反射的（$X^*$の次元は$X$の次元と同じ）。
4. 単位玉がコンパクトであれば有限次元バナッハ空間は有限である。
5. All $n$-dimensional Banach spaces are pairwise isomorphic; they set becomes compact if one introduces the distance

$ d(X,Y) = \lninf_Tenta|Tentabigr|Tentabigl|T^{-1} ³³³³³.$$

Convergence of series

A seriesbegin{equation}}sum_{k=1}^}infty x_k, \quad x_k \in X ╱label{eq:series}end{equation} は、部分和の列の極限$S$が存在するとき収束するといいます：$$ \lim{n \rightarrow \infty}norm{S – \sum_{k=1}^n x_k} = 0.$$If$$\sum_{k=1}^\infty \norm{x_k} < \infty, $$the series $eqref{eq:series}$ is convergent, and is such in the case that is absolutely convergent. また、その級数の項を任意に並べ替えても収束する場合は、無条件に収束するという。 絶対収束級数の和は、その項の配置に依存しない。 有限次元空間の級数の場合（特に数の級数の場合）、無条件収束と絶対収束は等価である。 無限次元のバナッハ空間では、無条件収束は絶対収束から導かれるが、その逆はいかなる無限次元のバナッハ空間でも正しくない。 これはDvoretskii-Rogersの定理の帰結である。 すべての数$alpha_k \geq 0$に対して、条件$sum\alpha_k^2 < \infty$を満たすと、各無限次元バナッハ空間に$thesum x_k$という無条件収束級数が存在し、その級数は$alpha_k$ = \norm{x_k}, $k=1,2,\ldots$ である。 空間$c_0$（したがって、$c_0$に同型の部分空間を含む任意のバナッハ空間）において、ゼロに収束する任意の系列$alpha_k \geq 0$に対して、無条件に収束する系列$sum x_k$、$norm{x_k} = \alpha_k$が存在する。 In $L_p(S ; \Sigma, \mu)$ において、系列 $sum x_k$ の無条件収束は、$$ \sum_{k=1}^infty \norm{x_k}^s < \infty,$$where$ s = \begin{cases}2 & (1 \leq p \leq 2), \p & (p \geq 2) を意味しています。\୧end{cases}$$ In a uniformly convex Banach space with convexity modulus $³³delta(\epsilon)$ the series $sum x_k$ の無条件収束は、$$ \sum_{k=1}^³³delta(\norm{x_k}) < \infty を意味している。$$

A series $sum x_k$ is also weakly unconditionally Cauchy if the series of numbers $sumabs{f(x_k)}$ converges for each $f \in X^*$. X$の各弱無条件コーシー級数は、$X$が$c_0$に同型の部分空間を含まない場合にのみ収束する。

A sequence of elements $set{e_k}_1^³³infty$ of a Banach space is said if its each one of terms lies outside the closure of $X^{(n)} = _{k \neq n}$, the linear hull of the remaining elements. 数列が一様に最小であるのは、次のときである$$ \rho(e_n ; X^{(n)}) \geq \gammanorm{e_n}, \quad0 < \gamma \leq 1, \quadn = 1, 2, \ldots.$$If $gamma=1$, the series is an Auerbach system said that is a series. 各$n$次元バナッハ空間には完全なアウアーバッハ系$set{e_k}_1^n$が存在する。 分離可能な各バナッハ空間に完全アウエルバッハ系が存在するかどうかは不明である（1985年）。 各最小系には線形関数の随伴系 $set{f_n}$ が存在し、それは $f_i(e_j) = \delta_{ij}$ という双直交関係で $set{e_k}$ と接続されています。 このような場合、系 $set{e_k,f_k}$ は biorthogonal であるという。 線形関数の集合は、空間の0要素のみを消滅させる場合、全関数という。 各分離可能なバナッハ空間には、全補足系を持つ完全な最小系が存在する。 X$の各要素$x \sum_{k=1}^infty f_k(x)e_k, $$ただし、一般にはこの級数は発散する。

Bases

A system of elements $set{e_k}_1^infty$ is a basis in $X$ if each element $x \in X$ can be uniquely represented as a convergent series$x = \sum_{k=1}^iiinfty \alpha_k e_k, \quad \alpha_k = \alpha_k(x). バナッハ空間の各基底は、全添字を持つ完全一様最小系です。 C$と$L_1$の$set{e^{int}}_{-infty}^inty$系の例から分かるように、逆は真ではありません。

基底はその転置もすべて基底であれば無条件、それ以外は条件付きと言われます。 L_p$, $p>1$, $p \neq 2$ における $set{e^{int}}_{-infty}^{infty$ 系は条件付基底である。 Haar系は$L_p$, $p > 1$における無条件基底である。 C$と$L_1$の空間には無条件に基底が存在しない。 各バナッハ空間が無条件基底を持つ無限次元部分空間を含むかどうかは(1985)知られていない。 無条件基底を持つ無反射バナッハ空間は$c_ell_1$または$c_0$に同型の部分空間を含む。

Two normalized bases $set{e_k^prime}$ and $set{e_k^{prime}} 2つのバナッハ空間$X_1$と$X_2$における$e_k^prime \leftrightarrow e_k^{pentaprime}$, $k=1,2,\ldots$ の対応が$X_1$と$X_2$間の同型に拡張できるとき、その対応は同等とされる。 各空間において、正規化された無条件基底はすべて自然基底と等価である。 バナッハ空間で構築された基底は、応用上重要なものであるが、作用素論などの問題を解くには必ずしも適していない。 このような背景から、$T$基底、または和算基底が導入された。 正規和法の行列を $set{t_{i,j}}_1^infty$ とすると、$set{t_{t_{i,j}}_1^infty$ は正規和法の行列である。 このとき、$set{e_n}の要素系は \X$ の各 $x がこの方法で $x$ に和集合できる系列$x ⊖{k=1}^infty ⊖α_k e_k,$$ で一意に表現できるなら、$T$-basis は与えられた和集合法に対応すると言われる。 C$の三角法系$set{e^{int}}_{-intinfty}^intinfty$はCesàroとAbelの方法に対する総和基底である。 各$T$-基底は、全添字を持つ完全最小系（必ずしも一様最小でなくてもよい）である。 逆は真でない。 1970年代まで、バナッハ空間の理論の主要な問題の1つは、バナッハ自身が扱った基底問題であった。 分離可能な各バナッハ空間に基底は存在するか？ 具体的に定義されたバナッハ空間における基底の存在の問題も未解決のままであった。 基底を持たない分離可能なバナッハ空間の最初の例は1972年に構成され、空間 $C^n(I^m)$ と $A(D)$ の基底が構成されている。