Harmonikus analízis

Harmonikus analízis, matematikai eljárás periodikusan ismétlődő jelenségek leírására és elemzésére. Sok összetett problémát sikerült kezelhetővé tenni azzal a technikával, hogy a bonyolult matematikai görbéket viszonylag egyszerű összetevők összegére bontják.

Sok fizikai jelenség, például a hanghullámok, a váltakozó elektromos áram, az árapály, a gépek mozgása és rezgése lehet periodikus jellegű. Az ilyen mozgások a független változó, általában az idő számos egymást követő értékénél mérhetők, és ezek az adatok vagy az ezekből kirajzolt görbe a független változó függvényét fogja ábrázolni. Általában a függvény matematikai kifejezése ismeretlen. A természetben előforduló periodikus függvények esetében azonban a függvény kifejezhető több szinusz és koszinusz tag összegeként. Az ilyen összeget Joseph Fourier francia matematikus (1768-1830) után Fourier-sorozatnak nevezzük, és e tagok együtthatóinak meghatározását harmonikus analízisnek nevezzük. A Fourier-sorozat egyik tagjának periódusa megegyezik az f(x) függvény periódusával, és ezt nevezzük alaphangnak. Más tagoknak olyan rövidített periódusai vannak, amelyek az alapérték egész számú többszörösei; ezeket harmonikusoknak nevezzük. A terminológia az egyik legkorábbi alkalmazásból, a hegedű által keltett hanghullámok vizsgálatából származik (lásd elemzés: Zenei eredet és Fourier-analízis).

1822-ben Fourier megállapította, hogy egy y = f(x) függvényt az x = 0 és x = 2π határok között ki lehet fejezni a végtelen sorozattal, amelyet ma a formában adunk meg, feltéve, hogy a függvény egyértékű, véges és folytonos, kivéve véges számú diszkontinuitást, és aholésk ≥ 0 esetén. Azzal a további megszorítással, hogy csak véges számú szélsőérték (lokális maximum és minimum) lehet, a tételt Peter Lejeune Dirichlet német matematikus bizonyította 1829-ben.

A nagyobb számú kifejezés használata növeli a közelítés pontosságát, és a szükséges nagyszámú számítást legjobban a harmonikus (vagy spektrum) elemzőnek nevezett gépekkel lehet elvégezni; ezek egy periodikusan visszatérő függvény szinuszos összetevőinek relatív amplitúdóit mérik. Az első ilyen műszert William Thomson brit matematikus és fizikus (később Kelvin báró) találta fel 1873-ban. Ez a gép, amelyet az árapály-megfigyelések harmonikus elemzésére használtak, 11 mechanikus integrátorkészletet tartalmazott, egyet-egyet minden egyes mérendő harmonikushoz. Egy még bonyolultabb, akár 80 együtthatót is kezelő gépet 1898-ban Albert Abraham Michelson és Samuel W. Stratton amerikai fizikusok terveztek.

A korai gépek és módszerek egy kísérletileg meghatározott görbét vagy adatsort használtak. Az elektromos áramok vagy feszültségek esetében egészen más módszer lehetséges. Ahelyett, hogy oszcillográfiai felvételt készítenénk a feszültségről vagy az áramról, és azt matematikailag elemeznénk, az elemzést közvetlenül az elektromos mennyiségen végezzük el úgy, hogy rögzítjük a választ, amint egy hangolt áramkör sajátfrekvenciáját széles tartományon keresztül változtatjuk. Így a 20. század harmonikus analizátorai és szintetizátorai inkább elektromechanikus, mint tisztán mechanikus eszközök voltak. A modern analizátorok a frekvenciamodulált jeleket katódsugárcső segítségével vizuálisan jelenítik meg, és digitális vagy analóg számítógépes elveket használnak a Fourier-analízis automatikus elvégzésére, ezáltal nagy pontosságú közelítéseket érnek el.