Froude-Zahl

Geophysikalische Massenströme wie Lawinen und Murgänge finden an geneigten Hängen statt, die dann in sanfte und flache Auslaufzonen übergehen.

Diese Ströme sind also mit der Höhe der topografischen Hänge verbunden, die während des Stroms die potenzielle Schwerkraftenergie zusammen mit der potenziellen Druckenergie induzieren. Daher sollte die klassische Froude-Zahl diesen zusätzlichen Effekt einbeziehen. Für eine solche Situation muss die Froude-Zahl neu definiert werden. Die erweiterte Froude-Zahl ist definiert als das Verhältnis zwischen der kinetischen und der potentiellen Energie:

F r = u β h + s g ( x d – x ) , {\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {\beta h+s_{g}\left(x_{d}-x\right)}},}

wobei u die mittlere Fließgeschwindigkeit ist, β = gK cos ζ, (K ist der Erddruckkoeffizient, ζ ist das Gefälle), sg = g sin ζ, x ist die Position des Gerinnes bergab und x d {\displaystyle x_{d}}

ist die Entfernung vom Punkt der Massenfreisetzung entlang des Kanals bis zu dem Punkt, an dem die Strömung auf den horizontalen Bezugspunkt trifft; Ep
pot = βh und Eg
pot = sg(xd – x) sind die potentielle Druck- bzw. Schwereenergie. Bei der klassischen Definition der Froude-Zahl für Flachwasser- oder Granulatströmungen wird die mit der Oberflächenerhebung verbundene potentielle Energie, Eg
pot, nicht berücksichtigt. Die erweiterte Froude-Zahl unterscheidet sich erheblich von der klassischen Froude-Zahl für höhere Oberflächenerhebungen. Der Term βh ergibt sich aus der Änderung der Geometrie der sich bewegenden Masse entlang des Abhangs. Aus der Dimensionsanalyse geht hervor, dass für flache Strömungen βh ≪ 1 ist, während u und sg(xd – x) beide von der Größenordnung Eins sind. Wenn die Masse flach ist und die freie Oberfläche praktisch parallel zum Boden verläuft, kann βh vernachlässigt werden. Wird in diesem Fall das Schwerkraftpotenzial nicht berücksichtigt, so ist Fr unbegrenzt, obwohl die kinetische Energie begrenzt ist. Durch die formale Berücksichtigung des zusätzlichen Beitrags der potentiellen Gravitationsenergie wird also die Singularität in Fr aufgehoben.

RührkesselBearbeiten

Bei der Untersuchung von Rührkesseln bestimmt die Froude-Zahl die Bildung von Oberflächenwirbeln. Da die Geschwindigkeit der Laufradspitze ωr ist (Kreisbewegung), wobei ω die Laufradfrequenz (meist in U/min) und r der Laufradradradius ist (in der Technik wird viel häufiger der Durchmesser verwendet), hat die Froude-Zahl dann folgende Form:

F r = ω r g .

Eine ähnliche Anwendung findet die Froude-Zahl auch bei Pulvermischern. Sie wird nämlich verwendet, um festzustellen, in welchem Mischregime der Mischer arbeitet. Wenn Fr<1 ist, werden die Teilchen nur umgerührt, aber wenn Fr>1 ist, überwinden die auf das Pulver wirkenden Zentrifugalkräfte die Schwerkraft und das Teilchenbett wird zumindest in einem Teil des Mischers fluidisiert, Förderung der Durchmischung

Densimetrische Froude-ZahlBearbeiten

Wenn sie im Zusammenhang mit der Boussinesq-Näherung verwendet wird, ist die densimetrische Froude-Zahl definiert als

F r = u g ′ h {\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {g’h}}}}

wobei g′ die reduzierte Gravitation ist:

g ′ = g ρ 1 – ρ 2 ρ 1 {\displaystyle g’=g{\frac {\rho _{1}-\rho _{2}}{\rho _{1}}}}

Die densimetrische Froude-Zahl wird in der Regel von Modellierern, die eine Geschwindigkeit nondimensionalisieren wollen, der Richardson-Zahl vorgezogen, die bei der Betrachtung geschichteter Scherschichten häufiger anzutreffen ist. Beispielsweise bewegt sich die Vorderkante einer Schwerkraftströmung mit einer Froude-Zahl von etwa eins.

Froude-Zahl beim GehenBearbeiten

Die Froude-Zahl kann verwendet werden, um Trends im Gangverhalten von Tieren zu untersuchen. Bei Analysen der Dynamik der Fortbewegung von Beinen wird ein gehendes Glied oft als umgekehrtes Pendel modelliert, bei dem der Massenschwerpunkt einen Kreisbogen durchläuft, dessen Mittelpunkt der Fuß ist. Die Froude-Zahl ist das Verhältnis zwischen der Zentripetalkraft um das Bewegungszentrum, den Fuß, und dem Gewicht des gehenden Tieres:

F r = Zentripetalkraft Gravitationskraft = m v 2 l m g = v 2 g l {\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {\text{Zentripetalkraft}}{\text{Gravitationskraft}}}={\frac {\;{\frac {mv^{2}}{l}};}{mg}}={\frac {v^{2}}{gl}}

wobei m die Masse, l die charakteristische Länge, g die Erdbeschleunigung und v die Geschwindigkeit ist. Die charakteristische Länge l kann entsprechend der jeweiligen Studie gewählt werden. In einigen Studien wurde beispielsweise der vertikale Abstand des Hüftgelenks vom Boden verwendet, in anderen die gesamte Beinlänge.

Die Froude-Zahl kann auch aus der Schrittfrequenz f wie folgt berechnet werden:

F r = v 2 g l = ( l f ) 2 g l = l f 2 g. {\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {v^{2}}{gl}}={\frac {(lf)^{2}}{gl}}={\frac {lf^{2}}{g}}.}

Wenn die gesamte Beinlänge als charakteristische Länge verwendet wird, dann hat die theoretische Höchstgeschwindigkeit des Gehens eine Froude-Zahl von 1,0, da jeder höhere Wert dazu führen würde, dass man abhebt und der Fuß den Boden verfehlt. Die typische Übergangsgeschwindigkeit vom zweibeinigen Gehen zum Laufen liegt bei Fr ≈ 0,5. R. M. Alexander fand heraus, dass Tiere unterschiedlicher Größe und Masse, die sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten fortbewegen, aber die gleiche Froude-Zahl haben, durchweg ähnliche Gangarten aufweisen. In dieser Studie wurde festgestellt, dass Tiere bei einer Froude-Zahl von 1,0 typischerweise vom Schlendern zu einer symmetrischen Laufbewegung (z. B. Trab oder Schritt) übergehen. Bei Froude-Zahlen zwischen 2,0 und 3,0 wurde eine Präferenz für asymmetrische Gangarten (z. B. Galopp, Quergalopp, Drehgalopp, Springen oder Pronk) beobachtet.