Nombre de Froude

Les écoulements de masse géophysiques tels que les avalanches et les coulées de débris ont lieu sur des pentes inclinées qui se fondent ensuite dans des zones d’écoulement douces et plates.

Donc, ces écoulements sont associés à l’élévation des pentes topographiques qui induisent l’énergie potentielle de gravité en même temps que l’énergie potentielle de pression pendant l’écoulement. Par conséquent, le nombre de Froude classique devrait inclure cet effet supplémentaire. Pour une telle situation, le nombre de Froude doit être redéfini. Le nombre de Froude étendu est défini comme le rapport entre l’énergie cinétique et l’énergie potentielle :

F r = u β h + s g ( x d – x ) , {\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {\beta h+s_{g}\left(x_{d}-x\right)}},}

où u est la vitesse moyenne d’écoulement, β = gK cos ζ, (K est le coefficient de pression terrestre, ζ est la pente), sg = g sin ζ, x est la position de descente du canal et x d {\displaystyle x_{d}}.

est la distance entre le point de libération de la masse le long du canal et le point où l’écoulement touche le référentiel horizontal ; Ep
pot = βh et Eg
pot = sg(xd – x) sont les énergies potentielles de pression et de gravité, respectivement. Dans la définition classique du nombre de Froude en eau peu profonde ou en écoulement granulaire, l’énergie potentielle associée à l’élévation de la surface, Eg
pot, n’est pas prise en compte. Le nombre de Froude étendu diffère sensiblement du nombre de Froude classique pour des élévations de surface plus élevées. Le terme βh émerge du changement de la géométrie de la masse en mouvement le long de la pente. L’analyse dimensionnelle suggère que pour les écoulements peu profonds, βh ≪ 1, tandis que u et sg(xd – x) sont tous deux d’ordre unitaire. Si la masse est peu profonde avec une surface libre pratiquement parallèle au lit, alors βh peut être négligé. Dans cette situation, si le potentiel de gravité n’est pas pris en compte, alors Fr est non borné même si l’énergie cinétique est bornée. Ainsi, en considérant formellement la contribution supplémentaire due à l’énergie potentielle gravitationnelle, la singularité de Fr est supprimée.

Réservoirs agitésModifié

Dans l’étude des réservoirs agités, le nombre de Froude gouverne la formation des tourbillons de surface. Comme la vitesse à l’extrémité de la roue est ωr (mouvement circulaire), où ω est la fréquence de la roue (généralement en tr/min) et r est le rayon de la roue (en ingénierie, le diamètre est beaucoup plus fréquemment employé), le nombre de Froude prend alors la forme suivante :

F r = ω r g . {\displaystyle \mathrm {Fr} =\omega {\sqrt {\frac {r}{g}}.}.

Le nombre de Froude trouve également une application similaire dans les mélangeurs de poudre. Il sera en effet utilisé pour déterminer dans quel régime de mélange le mélangeur fonctionne. Si Fr<1, les particules sont juste brassées, mais si Fr>1, les forces centrifuges appliquées à la poudre l’emportent sur la gravité et le lit de particules se fluidifie, au moins dans une partie du mélangeur, favorisant le mélange

Nombre de Froude densimétriqueModifié

Lorsqu’il est utilisé dans le contexte de l’approximation de Boussinesq, le nombre de Froude densimétrique est défini comme

F r = u g ′ h {\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {g’h}}}}

où g′ est la gravité réduite:

g ′ = g ρ 1 – ρ 2 ρ 1 {\displaystyle g’=g{\frac {\rho _{1}-\rho _{2}}{\rho _{1}}}}

Le nombre de Froude densimétrique est généralement préféré par les modélisateurs qui souhaitent non dimensionner une vitesse de préférence au nombre de Richardson qui est plus couramment rencontré lorsqu’on considère des couches de cisaillement stratifiées. Par exemple, le bord d’attaque d’un courant de gravité se déplace avec un nombre de Froude frontal d’environ l’unité.

Nombre de Froude de la marcheEdit

Le nombre de Froude peut être utilisé pour étudier les tendances des modèles de marche des animaux. Dans les analyses de la dynamique de la locomotion à pattes, un membre qui marche est souvent modélisé comme un pendule inversé, où le centre de masse parcourt un arc de cercle centré sur le pied. Le nombre de Froude est le rapport entre la force centripète autour du centre de mouvement, le pied, et le poids de l’animal qui marche :

F r = force centripète force gravitationnelle = m v 2 l m g = v 2 g l {\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {\text{force centripète}{\text{force gravitationnelle}}={\frac {\;{\frac {mv^{2}}{l}};}{mg}}={\frac {v^{2}}{gl}}}

où m est la masse, l est la longueur caractéristique, g est l’accélération due à la gravité et v est la vitesse. La longueur caractéristique l peut être choisie en fonction de l’étude en cours. Par exemple, certaines études ont utilisé la distance verticale de l’articulation de la hanche par rapport au sol, tandis que d’autres ont utilisé la longueur totale de la jambe.

Le nombre de Froude peut également être calculé à partir de la fréquence de foulée f comme suit :

F r = v 2 g l = ( l f ) 2 g l = l f 2 g . {\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {v^{2}}{gl}}={\frac {(lf)^{2}}{gl}}={\frac {lf^{2}}{g}.}

Si la longueur totale des jambes est utilisée comme longueur caractéristique, alors la vitesse maximale théorique de la marche a un nombre de Froude de 1,0 puisque toute valeur supérieure entraînerait un décollage et le pied manquerait le sol. La vitesse de transition typique de la marche bipède à la course se produit avec Fr ≈ 0,5. R. M. Alexander a constaté que des animaux de tailles et de masses différentes se déplaçant à des vitesses différentes, mais avec le même nombre de Froude, présentent systématiquement des allures similaires. Cette étude a révélé que les animaux passent généralement d’un amble à une démarche symétrique (par exemple, un trot ou un pas) autour d’un nombre de Froude de 1,0. Une préférence pour les allures asymétriques (par exemple, un galop, un galop transversal, un galop rotatif, un bond ou un pronk) a été observée à des nombres de Froude compris entre 2,0 et 3,0.