Harmoninen analyysi

Harmoninen analyysi, matemaattinen menetelmä, jolla kuvataan ja analysoidaan luonteeltaan jaksoittain toistuvia ilmiöitä. Monet monimutkaiset ongelmat on voitu pelkistää hallittaviksi tekniikalla, jossa monimutkaiset matemaattiset käyrät hajotetaan verrattain yksinkertaisten komponenttien summiksi.

Monet fysikaaliset ilmiöt, kuten ääniaallot, vaihtuvat sähkövirrat, vuorovesi sekä koneiden liikkeet ja värähtelyt, voivat olla luonteeltaan jaksollisia. Tällaiset liikkeet voidaan mitata useilla peräkkäisillä riippumattoman muuttujan, yleensä ajan, arvoilla, ja nämä tiedot tai niistä piirretty käyrä edustavat kyseisen riippumattoman muuttujan funktiota. Yleensä funktion matemaattinen lauseke on tuntematon. Luonnossa esiintyvien jaksollisten funktioiden funktio voidaan kuitenkin ilmaista useiden sini- ja kosinitermeiden summana. Tällaista summaa kutsutaan Fourier-sarjaksi ranskalaisen matemaatikon Joseph Fourierin (1768-1830) mukaan, ja näiden termien kertoimien määrittämistä kutsutaan harmoniseksi analyysiksi. Yhden Fourier-sarjan termeistä jakso on yhtä pitkä kuin funktion f(x) jakso, ja sitä kutsutaan perusfunktioksi. Muilla termeillä on lyhennetyt jaksot, jotka ovat fundamentaalin kokonaislukuja; näitä kutsutaan harmonisiksi. Terminologia juontaa juurensa yhdestä varhaisimmista sovelluksista, viulun tuottamien ääniaaltojen tutkimisesta (ks. analyysi: Musiikillinen alkuperä ja Fourier-analyysi).

Vuonna 1822 Fourier totesi, että funktio y = f(x) voidaan ilmaista raja-arvojen x = 0 ja x = 2π välillä äärettömällä sarjalla, joka nyt annetaan muodossaedellyttäen, että funktio on yksiarvoinen, äärellinen ja jatkuva lukuun ottamatta äärellistä määrää epäjatkuvuuskohtia, ja jossajafor k ≥ 0. Lisärajoituksella, että on vain äärellinen määrä ääriarvoja (paikallisia maksimeja ja minimejä), lauseen todisti saksalainen matemaatikko Peter Lejeune Dirichlet vuonna 1829.

Suuren termimäärän käyttö lisää approksimaation tarkkuutta, ja tarvittavien suurten laskentamäärien tekeminen onnistuu parhaiten koneilla, joita kutsutaan harmonisiksi analysaattoreiksi (tai spektrianalysaattoreiksi); nämä mittaavat jaksoittain toistuvan funktion sinimuotoisten komponenttien suhteellisia amplitudeja. Ensimmäisen tällaisen laitteen keksi brittiläinen matemaatikko ja fyysikko William Thomson (myöhemmin paroni Kelvin) vuonna 1873. Tässä laitteessa, jota käytettiin vuorovesihavaintojen harmoniseen analyysiin, oli 11 mekaanista integraattorisarjaa, yksi kutakin mitattavaa harmonista varten. Vielä monimutkaisemman, jopa 80 kerrointa käsittelevän koneen suunnittelivat vuonna 1898 yhdysvaltalaiset fyysikot Albert Abraham Michelson ja Samuel W. Stratton.

Varhaiset koneet ja menetelmät hyödynsivät kokeellisesti määritettyä käyrää tai tietosarjaa. Sähkövirtojen tai -jännitteiden tapauksessa on mahdollista käyttää aivan toisenlaista menetelmää. Sen sijaan, että jännitteestä tai virrasta tehtäisiin oskillografinen tallennus ja analysoitaisiin se matemaattisesti, analyysi tehdään suoraan sähköiselle suureelle tallentamalla vaste, kun viritetyn piirin ominaistaajuutta muutetaan laajalla alueella. Näin ollen 1900-luvun harmoniset analysaattorit ja syntetisaattorit olivat pikemminkin sähkömekaanisia kuin puhtaasti mekaanisia laitteita. Nykyaikaiset analysaattorit näyttävät taajuusmoduloidut signaalit visuaalisesti katodisädeputken avulla, ja digitaalisia tai analogisia tietokoneperiaatteita käytetään Fourier-analyysin automaattiseen suorittamiseen, jolloin saavutetaan erittäin tarkkoja approksimaatioita.