Espacio de Banach

Espacio B

2010 Clasificación de las materias matemáticas: Primaria: 46B Secundaria: 46E15 ${newcommand{abs}{left|#1\right|}{newcommand{\norm}{left|#1\right|}{newcommand{\nset}{left{#1\right}}$

Un espacio vectorial completo normado. Los problemas relacionados con los espacios de Banach son de diferentes tipos: la geometría de la bola unitaria, la geometría de los subespacios, la clasificación topológica lineal, las series y secuencias en espacios de Banach, las mejores aproximaciones en espacios de Banach, las funciones con valores en un espacio de Banach, etc. En cuanto a la teoría de operadores en espacios de Banach hay que señalar que muchos teoremas están directamente relacionados con la geometría y la topología de los espacios de Banach.

Historia

Los espacios de funciones introducidos por D. Hilbert, M. Fréchet y F. Riesz entre 1904 y 1918 sirvieron de punto de partida para la teoría de los espacios de Banach. En estos espacios se estudiaron originalmente los conceptos fundamentales de convergencia fuerte y débil, compacidad, funcional lineal, operador lineal, etc. Los espacios de Banach deben su nombre a S. Banach, quien en 1922 comenzó un estudio sistemático de estos espacios, basado en axiomas introducidos por él mismo, y que obtuvo resultados muy avanzados.

La teoría de los espacios de Banach se desarrolló en paralelo con la teoría general de los espacios topológicos lineales. Estas teorías se enriquecieron mutuamente con nuevas ideas y hechos. Así, la idea de las seminormas, tomada de la teoría de los espacios normados, se convirtió en una herramienta indispensable para construir la teoría de los espacios topológicos lineales localmente convexos. Las ideas de convergencia débil de los elementos y de los funcionales lineales en los espacios de Banach evolucionaron finalmente hacia el concepto de topología débil. La teoría de los espacios de Banach es una rama del análisis funcional muy estudiada, con numerosas aplicaciones en diversas ramas de las matemáticas -directamente o a través de la teoría de operadores.

Generalidades

Un espacio de Banach $X$ es un espacio vectorial sobre $\R$ o $\C$ con una norma $\norm{\cdot}$ que es completa con respecto a esta norma, es decir, toda secuencia de Cauchy en $X$ converge.

Para dos espacios de Banach $X$, $Y$, denótese por $B(X,Y)$ el espacio de mapas lineales continuos de $X$ a $Y$. Es en sí mismo un espacio de Banach con respecto a la norma$$\norm{T} = \sup_{x \neq 0} \frac{\norm{Tx}}{\norm{x}}.$$

Ejemplos

Los espacios de Banach que se encuentran en el análisis son en su mayoría conjuntos de funciones o secuencias de números que están sujetos a ciertas condiciones.

1. $\ell_p$, $p \geq 1$, es el espacio de secuencias numéricas $\set{xi_n}$ para las que $$ \sum_{n=1}^infty \abs{xi_n}^p < \infty$$ con la norma $$ \norm{x} = \left( \sum_{n=1}^infty \abs{xi_n}^p \right)^{1/p}. $$
2. $m$ es el espacio de las secuencias numéricas acotadas con la norma $$ \norm{x} = \sup_nabs{\xi_n}.$$
3. $c$ es el espacio de las secuencias numéricas convergentes con la norma $$\norm{x} = \sup_nabs{\xi_n}.$$
4. $c_0$ es el espacio de las secuencias numéricas que convergen a cero con la norma $$ \norm{x} = \max_n\abs{xi_n}.$$
5. $C$ es el espacio de las funciones continuas $x=x(t)$ en $$ con la norma $$\norm{x} = \max_{a \leq t \leq b}abs{x(t)}.$$
6. $C$ es el espacio de las funciones continuas en un compacto $K$ con la norma $$\norm{x} = \max_{t \en K}\abs{x(t)}$$.
7. $C^n$ es el espacio de las funciones con derivadas continuas hasta e incluyendo el orden $n$, con la norma $$\norm{x} = \sum_{k=0}^n \max_{a \leq t \leq b}abs{x^(k)}(t)}. $$
8. $C^n$ es el espacio de todas las funciones definidas en un cubo de $m$ dimensiones que son continuamente diferenciables hasta e incluyendo el orden $n$, con la norma de acotación uniforme en todas las derivadas de orden como máximo $n$. (Cf. espacio de Hölder.)
9. $M$ es el espacio de las funciones acotadas medibles con la norma $$\norm{x} = \mathop{\mathrm{ess;max}_{a \leq t \leq b} \abs{x(t)}.$$
10. $A(D)$ es el espacio de las funciones que son analíticas en el disco unitario abierto $D$ y son continuas en el disco cerrado $\bar{D}$, con la norma $$\norm{x} = \max_{z{en \bar{D}}\abs{x(z)}. $$
11. $L_p(S ; \Sigma, \mu)$, $p \geq 1$, es el espacio de funciones $x(s)$ definidas en un conjunto $S$ provisto de una medida contablemente aditiva $\mu$, con la norma $$\norm{x} = \left( \int_S \abs{x(s)}^p \mu(\mathrm{d}s) \right)^{1/p}.$$ (Cf. espacios $L^p$.)
12. $L_p$, $p \geq 1$, es un caso especial del espacio $L_p(S ; \Sigma, \mu)$. Es el espacio de las funciones medibles por Lebesgue, sumables de grado $p$, con la norma $$\norm{x} = \left( \int_a^b \abs{x(s)}^p \,\mathrm{d}s \right)^1/p}.$$
13. $AP$ es el espacio de Bohr de las funciones casi periódicas, con la norma $$\norm{x} = \sup_{-\infty < t < \infty} \abs{x(t)}. $$

Los espacios $C$, $C^n$, $L_p$, $c$, $\ell_p$ son separables; los espacios $M$, $m$, $AP$ son no separables; $C$ es separable si y sólo si $K$ es un espacio métrico compacto.

Otros ejemplos incluyen los espacios de Sobolev y el espacio de Hardy $\mathcal{H}^1$. Todos los espacios de Hilbert son espacios de Banach a forteriori.

Cotientes

Un subespacio (lineal cerrado) $Y$ de un espacio de Banach, considerado aparte del espacio envolvente $X$, es un espacio de Banach. El espacio cociente $X/Y$ de un espacio normado por un subespacio $Y$ es un espacio normado si la norma se define como sigue. Sea $Y_1 = x_1 + Y$ un coset. Entonces$$ \norm{Y_1} = \inf_{y \in Y} \Si $X$ es un espacio de Banach, entonces $X/Y$ también lo es.

En este caso, si $Z$ es otro espacio normado y $T\ en B(X,Z)$ cumple $T(Y)={0\}$, entonces existe $\hat T \ en B(X/Y,Z)$ tal que $T = \hat T \circ Q$ y $\norm{T}=\norm{hat T}$, donde $Q:X \ a X/Y$ es el mapeo cociente.

Funcionales lineales, espacio dual

El conjunto de todas las funcionales lineales continuas definidas en el espacio normado $X$, con la norma$$\norm{f} = \sup_{x \in X} \frac{abs{f(x)}}{norm{x}}, \quad x \neq 0 $$ se dice que es el espacio dual de $X$, y se denota por $X^*$. Es un espacio de Banach.

Teorema de Hahn-Banach

Los espacios de Banach satisfacen el teorema de Hahn-Banach sobre la extensión de funcionales lineales: Si un funcional lineal está definido en un subespacio $Y$ de un espacio normado $X$, puede extenderse, conservando su linealidad y continuidad, a todo el espacio $X$. Además, se puede hacer que la extensión tenga la misma norma:$$ \norm{f}_X = \sup_{x \in X} \frac{abs{f(x)}}{\norm{x} = \norm{f}_Y = \sup_{y \in Y} \frac{abs{f(y)}}{norm{y}}.$$Incluso es válido un teorema más general: Sea una función de valor real $p(x)$ definida en un espacio lineal que satisface las condiciones$$ p(x+y) \leq p(x) + p(y), \quadp(\lambda x) = \lambda p(x), \quad \lambda \geq 0, \quad x,y \n X,$$y dejemos que $f(x)$ sea una función lineal de valor real definida en un subespacio $Y \Nsubconjunto X$ y tal que$$ f(x) \leq p(x), \Ncuadra x \Nen Y.$$Entonces existe un funcional lineal $F(x)$ definido en el conjunto de $X$ tal que$$ F(x) = f(x), \cuadrado x \ en Y; \cuadradoF(x) \leq p(x), \cuadrado x \ en X.Una consecuencia del teorema de Hahn-Banach es la fórmula «inversa» que relaciona las normas de $X$ y de $X^*$:$$orm{x} = \max_{f \in X^*} \El máximo de esta fórmula se alcanza para algún $f=f_X en X^*$. Otra consecuencia importante es la existencia de un conjunto separador de funcionales lineales continuos, lo que significa que para cualquier $x_1 \neq x_2 \in X$ existe un funcional lineal $f$ en $X$ tal que $f(x_1) \neq f(x_2)$ (cf.Conjunto completo de funcionales).

Estructura general de los funcionales lineales

La forma general de un funcional lineal se conoce para muchos espacios de Banach específicos. Así, en $L_p$, $p>1$, todas las funcionales lineales vienen dadas por una fórmula$$ f(x) = \int_a^b x(t)y(t) \mathrm{d}t,$$donde $y \n L_q$, $1/p + 1/q = 1$, y cualquier función $y(t) \Nen L_q$ define un funcional lineal $f$ por esta fórmula, además$$ \norm{f} = \left( \int_a^b \abs{y(t)}^q \Nmathrm{d}t \Nright)^1/q.Así, el espacio dual de $L_p$ es $L_q$: $L_p^* = L_q$. Los funcionales lineales sobre $L_1$ se definen por la misma fórmula, pero en este caso $y \Nen M$, de modo que $L_1^* = M$.

Biduales, reflexividad

El espacio $X^{**}$, dual de $X^*$, se dice que es el segundo dual o bidual. Los espacios duales tercero, cuarto, etc., se definen de forma similar. Cada elemento de $X$ puede identificarse con alguna función lineal definida en $X^*$:$$ \text{$F(f) = f(x)$ para todo $f \Nen X^*$ ($F \Nen X^{**}$, $x \Nen X$),}$$donde $\norm{F} = \norm{x}$. Se puede considerar entonces que $X$ es un subespacio del espacio $X^{**}$ y que $X \\Nsubconjunto X^{**} \Nsubconjunto X^texto{IV} \cdots$, $X^* \subconjunto X^{***} \N – Subconjunto \N – Puntos$. Si, como resultado de estas inclusiones, el espacio de Banach coincide con su segundo dual, se llama reflexivo. En tal caso todas las inclusiones son igualdades. Si $X$ no es reflexivo, todas las inclusiones son estrictas. Si el espacio cociente $X^{**}/X$ tiene dimensión finita $n$, se dice que $X$ es cuasi-reflexivo de orden $n$. Los espacios cuasi-reflexivos existen para todo $n$.

Criterios de reflexividad para espacios de Banach

1. $X$ es reflexivo si y sólo si para cada $f \ en X^*$ es posible encontrar un $x \ en X$ en el que se alcanza el «sup» en la fórmula $$ \norm{f} = \sup_{x \ en X} \frac{abs{f(x)}}{\norm{x}}, \quad x \neq 0, $$.
2. En espacios de Banach reflexivos y sólo en tales espacios cada conjunto acotado es relativamente compacto con respecto a la convergencia débil: Cualquiera de sus partes infinitas contiene una secuencia débilmente convergente (teorema de Eberlein-Shmul’yan). Los espacios $L_p$ y $\ell_p$, $p>1$, son reflexivos. Los espacios $L_1$, $\ell_1$, $C$, $M$, $c$, $m$, $AP$ son no reflexivos.

Casos especiales

Espacios débilmente completos

Se dice que un espacio de Banach es débilmente completo si cada secuencia débil de Cauchy en él converge débilmente a un elemento del espacio. Todo espacio reflexivo es débilmente completo. Además, los espacios de Banach $L_1$ y $\ell_1$ son débilmente completos. Los espacios de Banach que no contienen un subespacio isomorfo a $c_0$ forman una clase aún más amplia. Estos espacios se parecen a los espacios débilmente completos en varios aspectos.

Espacios estrictamente convexos

Se dice que un espacio de Banach es estrictamente convexo si su esfera unitaria $S$ no contiene segmentos. Los módulos de convexidad se introducen para una estimación cuantitativa de la convexidad de la esfera unitaria; son el módulo de convexidad local$$ \delta(x,\epsilon) =\inf\set{1 – \norm{frac{x+y}{2} :y \ en S,\, \norm{x-y} \y el módulo de convexidad uniforme$$ \delta(\epsilon) = \inf_{x \in S} \Si $delta(x,\epsilon) > 0$ para todo $x \en S$ y todo $\epsilon > 0$, se dice que el espacio de Banach es localmente convexo uniforme. Si $\delta(x) > 0$, se dice que el espacio es uniformemente convexo. Todos los espacios de Banach uniformemente convexos son localmente uniformemente convexos; todos los espacios de Banach localmente uniformemente convexos son estrictamente convexos. En los espacios de Banach de dimensión finita también son ciertas las inversas. Si un espacio de Banach es uniformemente convexo, es reflexivo.

Espacios lisos

Se dice que un espacio de Banach es liso si para cualquier elemento linealmente independiente $x$ e $y$ la función $\psi(t)=\norm{x+ty}$ es diferenciable para todos los valores de $t$. Se dice que un espacio de Banach es uniformemente suave si su módulo de suavidad$$ \rho(t) = \sup_{x,y \in S}\set{frac{\norm{x + \tau y} + \norm{x – \tau y}{2} -1}, \quad \tau > 0,$$ satisface la condición$$ \lim_{\tau \rightarrow 0}\frac{\rho(\tau)}{\tau} = 0.$$En espacios uniformemente suaves, y sólo en tales espacios, la norma es uniformemente Fréchet diferenciable. Un espacio de Banach uniformemente suave es suave. Lo contrario es cierto si el espacio de Banach es de dimensión finita. Un espacio de Banach $X$ es uniformemente convexo (uniformemente suave) si y sólo si $X^*$ es uniformemente suave (uniformemente convexo). La siguiente relación relaciona el módulo de convexidad de un espacio de Banach $X$ y el módulo de suavidad de $X^*$:$$ \rho_{X^*}(\tau) = \sup_{0 < \epsilon \leq 2}\set{\frac{\epsilon\tau}{2} – Si un espacio de Banach es uniformemente convexo (uniformemente suave), también lo son todos sus subespacios y espacios cocientes. Los espacios de Banach $L_p$ y $\ell_p$, $p>1$, son uniformemente convexos y uniformemente suaves, y$$ \delta(\epsilon) \simeq\begin{cases}\silon^2 & (1 < p \leq 2) \\\\\delta(\epsilon^p & (2 \leq p < \infty);\end{cases}$$$$ \rho(\tau) \simeq\begin{cases}\tau^p & (1 < p \leq 2) \\tau^2 & (2 \leq p < infty);\end{cases}$$$$ \left(f(\epsilon) \simeq \phi(\epsilon) \Leftrightarrow a < \frac{f(\epsilon)}{phi(\epsilon)} < b\right).$$Los espacios de Banach $M$, $C$, $A$, $L_1$, $AP$, $m$, $c$, $\ell_1$ no son estrictamente convexos y no son suaves.

Operadores lineales

Los siguientes teoremas importantes para operadores lineales son válidos en espacios de Banach:

El teorema de Banach-Steinhaus.

Si una familia de operadores lineales $T=conjunto{T_alfa}$ está acotada en cada punto,$$sup_alpha \norm{T_alfa x} < \infty, \quad x \ en X,$$ entonces está acotada por la norma:$$ \sup_alpha \norm{T_alfa} < \infty.$$

El teorema del mapa abierto de Banach.

Si un operador lineal continuo mapea un espacio de Banach $X$ sobre un espacio de Banach $Y$ en una correspondencia uno a uno, el operador inverso $T^{-1}$ también es continuo.

El teorema del gráfico cerrado.

Si un operador lineal cerrado mapea un espacio de Banach $X$ en un espacio de Banach $Y$, entonces es continuo.

Isometrías e isomorfismos

Las isometrías entre espacios de Banach ocurren raramente. El ejemplo clásico viene dado por los espacios de Banach $L_1$ y $\ell_2$. Los espacios de Banach $C$ y $C$ son isométricos si y sólo si $K_1$ y $K_2$ son homeomorfos (teorema de Banach-Stone). Una medida de proximidad de los espacios de Banach isomórficos es el número$$ d(X,Y) = \ln\inf\bigl\|T\bigr\|\bigl\|T^{-1}\bigr\|,$$ donde $T$ recorre todos los operadores posibles que realizan un isomorfismo (topológico lineal) entre $X$ y $Y$. Si $X$ es isométrico a $Y$, entonces $d(X,Y)=0$. Sin embargo, también existen espacios no isométricos para los que $d(X,Y)=0$; se dice que son casi isométricos. Las propiedades de los espacios de Banach que se conservan bajo un isomorfismo se denominan topológicas lineales. Incluyen la separabilidad, la reflexividad y la completitud débil. La clasificación isomórfica de los espacios de Banach contiene, en particular, los siguientes teoremas:$$ L_r \neq L_s; \quad \ell_r \neq \ell_s, \quad r \neq s$$$$ L_r \neq \ell_s, \quad r \neq s; \quadL_r = \ell_s, \quad r = s = 2;$$$$ M=m; \cuadra C \neq A(D);$$$C = C$ si $K$ es un compacto métrico con la cardinalidad del continuo;$$ C^n \neq C.$$

Cada espacio de Banach separable es isomorfo a un espacio de Banach localmente convexo uniforme. No se sabe (1985) si existen espacios de Banach que no sean isomorfos a ninguno de sus hiperplanos. Existen espacios de Banach que no son isomorfos a espacios estrictamente convexos. Independientemente de la naturaleza lineal de los espacios normados, es posible considerar su clasificación topológica. Dos espacios son homeomorfos si se puede establecer entre sus elementos una correspondencia continua uno a uno, tal que su inversa sea también continua. Un espacio incompleto normado no es homeomorfo a ningún espacio de Banach. Todos los espacios de Banach separables de dimensión infinita son homeomorfos.

En la clase de los espacios de Banach separables, $C$ y $A(D)$ son universales (cf. Espacio universal). La clase de los espacios de Banach separables reflexivos no contiene ni siquiera espacios universales isomorfos. El espacio de Banach $\ell_1$ es universal en un sentido algo diferente: Todos los espacios de Banach separables son isométricos a uno de sus espacios cocientes.

Subespacios no complementables

Cada uno de los espacios de Banach mencionados anteriormente, excepto $L_2$ y $\ell_2$, contiene subespacios sin complemento. En particular, en $m$ y $M$ todo subespacio separable de dimensión infinita es no complementable, mientras que en $C$ todos los subespacios reflexivos de dimensión infinita son no complementables. Si todos los subespacios de un espacio de Banach son complementables, el espacio es isomorfo a un espacio de Hilbert. No se sabe (1985) si todos los espacios de Banach son o no sumas directas de algunos dos subespacios de dimensión infinita. Un subespacio $Y$ es complementable si y sólo si existe una proyección que mapea $X$ sobre $Y$. El límite inferior de las normas de las proyecciones sobre $Y$ se llama constante de proyección relativa $\lambda(Y,X) $ del subespacio $Y$ en $X$. Cada subespacio $n$-dimensional de un espacio de Banach es complementable y $\lambda(Y_n,X) \leq \sqrt{n}$. La constante de proyección absoluta $\lambda(Y)$ de un espacio de Banach $Y$ es$$ \lambda(Y) = \sup_X \lambda(Y,X),$$donde $X$ recorre todos los espacios de Banach que contienen $Y$ como subespacio. Para cualquier espacio de Banach separable de dimensión infinita $Y$ se tiene $\lambda(Y) = \infty$. Los espacios de Banach para los que $\lambda(Y) \leq Y < \infty$ forman la clase $\mathcal{P}_\lambda$ ($\lambda \geq 1$). La clase $\mathcal{P}_1$ coincide con la clase de espacios $C(Q)$ donde $Q$ son compactos extremadamente desconectados (cf.Espacio extremadamente desconectado).

Caso finito-dimensional

Teoremas fundamentales sobre espacios de Banach finito-dimensionales:

1. Un espacio de dimensiones finitas es completo, es decir, es un espacio de Banach.
2. Todos los operadores lineales en un espacio de Banach de dimensiones finitas son continuos.
3. Un espacio de Banach de dimensiones finitas es reflexivo (la dimensión de $X^*$ es igual a la dimensión de $X$).
4. Un espacio de Banach es de dimensiones finitas si y sólo si su bola unitaria es compacta.
5. Todos los espacios de Banach de $n$ dimensiones son isomorfos por pares; su conjunto se vuelve compacto si se introduce la distancia

$$ d(X,Y) = \ln\inf_T\bigl\|T\bigr\||T^{-1}\bigr\|.$$

Convergencia de las series

Una serie{comenzar{ecuación}{suma_{k=1}^infty x_k, \cuadrado x_k{en X}{etiquetar{ec:se dice que es convergente si existe un límite $S$ de la secuencia de sumas parciales:$$ \lim_{n \rightarrow \infty}\norm{S – \sum_{k=1}^n x_k} = 0.$$If$$\sum_{k=1}^\infty \norm{x_k} < \Ninfty,$$ la serie $\Neqref{eq:serie}$ es convergente, y se dice en tal caso que es absolutamente convergente. Se dice que una serie es incondicionalmente convergente si converge cuando se reordenan arbitrariamente sus términos. La suma de una serie absolutamente convergente es independiente de la disposición de sus términos. En el caso de series en un espacio de dimensiones finitas (y, en particular, para series de números) la convergencia incondicional y la absoluta son equivalentes. En los espacios de Banach de dimensión infinita, la convergencia incondicional se deriva de la convergencia absoluta, pero lo contrario no es cierto en ningún espacio de Banach de dimensión infinita. Esto es una consecuencia del teorema de Dvoretskii-Rogers: Para todos los números $\alpha_k \geq 0$, sujetos a la condición $\sum\alpha_k^2 < \infty$, existe en cada espacio de Banach de dimensión infinita una serie $\sum x_k$ incondicionalmente convergente tal que $\norm{x_k} = \alpha_k$, $k=1,2,\ldots$. En el espacio $c_0$ (y por tanto también en cualquier espacio de Banach que contenga un subespacio isomorfo a $c_0$), para cualquier secuencia $\alpha_k \geq 0$ que converge a cero, existe una serie incondicionalmente convergente $\sum x_k$, $\norm{x_k} = \alpha_k$. En $L_p(S ; \Sigma, \mu)$ la convergencia incondicional de la serie $\sum x_k$ implica que$$ \sum_{k=1}^infty \norm{x_k}^s < \infty,$$donde$$ s = \begin{cases}2 & (1 \leq p \leq 2), \p & (p \geq 2).\En un espacio de Banach uniformemente convexo con módulo de convexidad $\delta(\epsilon)$ la convergencia incondicional de la serie $\sum x_k$ implica que$$ \sum_{k=1}^infty\delta(\norm{x_k}) < \infty.$$

Se dice que una serie $\sum x_k$ es débilmente incondicional de Cauchy si la serie de números $\sum\abs{f(x_k)}$ converge para cada $f \ en X^*$. Cada serie de Cauchy débilmente incondicional en $X$ converge si y sólo si $X$ no contiene ningún subespacio isomorfo a $c_0$.

Una secuencia de elementos $\set{e_k}_1^\infty$ de un espacio de Banach se dice que es mínima si cada uno de sus términos queda fuera del cierre de $X^{(n)} = _{k \neq n}$, el casco lineal de los elementos restantes. Se dice que una secuencia es uniformemente mínima si$$ \rho(e_n ; X^{(n)}) \geq \gamma\norm{e_n}, \quad0 < \gamma \leq 1, \quadn = 1, 2, \ldots.$$ Si $\gamma=1$, se dice que la serie es un sistema de Auerbach. En cada espacio de Banach de $n$ dimensiones existe un sistema de Auerbach completo $\set{e_k}_1^n$. No se sabe (1985) si existe o no un sistema de Auerbach completo en cada espacio de Banach separable. Para cada sistema mínimo existe un sistema adjunto de funcionales lineales $\set{f_n}$, que está conectado con $\set{e_k}$ por las relaciones de biortogonalidad: $f_i(e_j) = \delta_{ij}$. En tal caso el sistema $\set{e_k,f_k}$ se dice que es biortogonal. Se dice que un conjunto de funcionales lineales es total si aniquila sólo el elemento cero del espacio. En cada espacio de Banach separable existe un sistema completo y mínimo con un adjunto total. Cada elemento $x \Nen X$ puede desarrollarse formalmente en una serie por el sistema biortogonal:$$ x \sim \\sum_{k=1}^\infty f_k(x)e_k,$$pero en el caso general esta serie es divergente.

Bases

Un sistema de elementos $\set{e_k}_1^\infty$ se dice que es una base en $X$ si cada elemento $x \ en X$ puede representarse unívocamente como una serie convergente$$x = \sum_{k=1}^infty \alpha_k e_k, \quad \alpha_k = \alpha_k(x). $$Cada base en un espacio de Banach es un sistema mínimo uniforme completo con un adjunto total. Lo contrario no es cierto, como puede verse en el ejemplo del sistema $\set{e^{int}_{-\infty}^\infty$ en $C$ y $L_1$.

Se dice que una base es incondicional si todos sus reordenamientos son también bases; en caso contrario se dice que es condicional. El sistema $\set{e^{int}_{-\infty}^\infty$ en $L_p$, $p>1$, $p \neq 2$, es una base condicional. El sistema de Haar es una base incondicional en $L_p$, $p >1$. No hay ninguna base incondicional en los espacios $C$ y $L_1$. No se sabe (1985) si cada espacio de Banach contiene o no un subespacio de dimensión infinita con una base incondicional. Cualquier espacio de Banach no reflexivo con una base incondicional contiene un subespacio isomorfo a $\ell_1$ o $c_0$.

Dos bases normalizadas $\set{e_k^\prime}$ y $\set{e_k^{prime\prime}} $ en dos espacios de Banach $X_1$ y $X_2$ se dice que son equivalentes si la correspondencia $e_k^\prime \leftrightarrow e_k^{prime\prime}$, $k=1,2,\ldots$, puede extenderse a un isomorfismo entre $X_1$ y $X_2$. En cada uno de los espacios $\ell_2$, $\ell_1$, $c_0$ todas las bases incondicionales normalizadas son equivalentes a la base natural. Las bases construidas en espacios de Banach que tienen aplicaciones importantes no siempre son adecuadas para resolver problemas, por ejemplo, en la teoría de operadores. En este contexto se han introducido las bases $T$, o bases sumatorias. Sea $\set{t_{i,j}_1^\infty$ la matriz de un método de suma regular. El sistema de elementos $\set{e_n} \Se dice que el subconjunto X$ es una base $T$ correspondiente al método de suma dado si cada $x \Nen X$ puede representarse unívocamente por una serie$$ x \sim \sum_{k=1}^\infty \alpha_k e_k,$$ que es sumable a $x$ por este método. El sistema trigonométrico $\set{e^{int}_{-\infty}^\infty$ en $C$ es una base sumatoria para los métodos de Cesàro y Abel. Cada base $T$ es un sistema completo mínimo (no necesariamente uniformemente mínimo) con un adjunto total. Lo contrario no es cierto. Hasta los años 70, uno de los principales problemas de la teoría de los espacios de Banach era el problema de las bases tratado por el propio Banach: ¿Existe una base en cada espacio de Banach separable? La cuestión de la existencia de una base en espacios de Banach específicamente definidos seguía abierta también. El primer ejemplo de un espacio de Banach separable sin base se construyó en 1972; se han construido bases en los espacios $C^n(I^m)$ y $A(D)$.

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