Froude-tal

Geofysiske massestrømme som f.eks. laviner og strømme af murbrokker finder sted på skrå skråninger, som derefter går over i bløde og flade udløbszoner.

Så disse strømme er forbundet med højden af de topografiske skråninger, der fremkalder den potentielle tyngdeenergi sammen med den potentielle trykenergi under strømmen. Derfor bør det klassiske Froude-tal omfatte denne yderligere effekt. I en sådan situation er det nødvendigt at omdefinere Froude-tallet. Det udvidede Froude-tal er defineret som forholdet mellem den kinetiske og den potentielle energi:

F r = u β h + s g ( x d – x ) , {\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {\beta h+s_{g}\left(x_{d}-x\right)}}}},}

hvor u er den gennemsnitlige strømningshastighed, β = gK cos ζ, (K er jordtrykskoefficienten, ζ er hældningen), sg = g sin ζ, x er kanalens nedadgående position og x d {\displaystyle x_{d}}

er afstanden fra masseafgivelsespunktet langs kanalen til det punkt, hvor strømmen rammer det vandrette referencepunkt; Ep
pot = βh og Eg
pot = sg(xd – x) er henholdsvis trykpotentialet og tyngdepotentialet energierne. I den klassiske definition af Froude-tallet for lavvands- eller granulær strømning tages der ikke hensyn til den potentielle energi, der er forbundet med overfladehøjden, Eg
pot. Det udvidede Froude-tal adskiller sig væsentligt fra det klassiske Froude-tal ved større overfladehøjder. Udtrykket βh opstår som følge af ændringen af den bevægelige masses geometri langs skråningen. Dimensionsanalyse tyder på, at for lavvandede strømninger βh ≪ 1, mens u og sg(xd – x) begge er af ordenen enhed. Hvis massen er lavvandet med en praktisk talt bundparallel fri overflade, kan der ses bort fra βh. Hvis der i denne situation ikke tages hensyn til tyngdepotentialet, er Fr ubegrænset, selv om den kinetiske energi er begrænset. Så hvis man formelt tager højde for det ekstra bidrag fra gravitationspotentialenergien, fjernes singulariteten i Fr.

Omrørte tankeRediger

I undersøgelsen af omrørte tanke styrer Froude-tallet dannelsen af overfladehvirvler. Da løbehjulets spidshastighed er ωr (cirkulær bevægelse), hvor ω er løbehjulets frekvens (normalt i rpm) og r er løbehjulets radius (inden for teknikken anvendes diameteren langt hyppigere), har Froude-tallet derefter følgende form:

F r = ω r g . {\displaystyle \mathrm {Fr} =\omega {\sqrt {\frac {r}{g}}}.}

Froude-tallet finder også en lignende anvendelse i pulverblandere. Det vil nemlig blive brugt til at bestemme, i hvilket blandingsregime blanderen arbejder. Hvis Fr<1, bliver partiklerne blot omrørt, men hvis Fr>1, overvinder de centrifugalkræfter, der påføres pulveret, tyngdekraften, og partikelsengen bliver fluidiseret, i det mindste i en del af blanderen, hvilket fremmer blandingen

Densimetrisk Froude-talRediger

Når det anvendes i forbindelse med Boussinesq-approksimationen er det densimetriske Froude-tal defineret som

F r = u g ′ h {\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {g’h}}}}

hvor g′ er den reducerede tyngdekraft: g ′ = g ρ 1 – ρ 2 ρ 1 {\displaystyle g’=g{\frac {\rho _{1}-\rho _{2}}}{\rho _{1}}}}

Det densimetriske Froude-tal foretrækkes normalt af modeludviklere, der ønsker at nondimensionalisere en hastighed, frem for Richardson-tallet, som er mere almindeligt forekommende, når man overvejer stratificerede forskydningslag. For eksempel bevæger den forreste kant af en tyngdekraftstrøm sig med et forreste Froude-tal på ca. en enhed.

Froude-tal for gangenRediger

Froude-tallet kan bruges til at studere tendenser i dyrs gangmønstre. I analyser af dynamikken ved benbevægelse modelleres et gående lem ofte som et omvendt pendul, hvor massecentret går gennem en cirkelbue med centrum ved foden. Froude-tallet er forholdet mellem den centripetale kraft omkring bevægelsescentret, foden, og vægten af det gående dyrs vægt:

F r = centripetalkraft gravitationskraft = m v 2 l m g = v 2 g l {\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {\text{centripetalkraft}}}{\text{gravitationskraft}}}}={\frac {\;{\frac {mv^{2}}}{l}}}\;}{mg}}}={\frac {v^{2}}}{gl}}}

hvor m er massen, l er den karakteristiske længde, g er accelerationen på grund af tyngdekraften og v er hastigheden. Den karakteristiske længde l kan vælges, så den passer til den pågældende undersøgelse. I nogle undersøgelser er der f.eks. anvendt hoftehælens lodrette afstand fra jorden, mens andre har anvendt den samlede benlængde.

Froude-tallet kan også beregnes ud fra skridtfrekvensen f på følgende måde:

F r = v 2 g l = ( l f ) 2 g l = l f 2 g . {\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {v^{2}}}{gl}}={\frac {(lf)^{2}}}{gl}}={\frac {lf^{2}}}{g}}.}

Hvis den samlede benlængde anvendes som den karakteristiske længde, så har den teoretiske maksimale hastighed ved gang et Froude-tal på 1,0, da enhver højere værdi ville resultere i, at man letter, og foden ikke rammer jorden. Den typiske overgangshastighed fra tobenet gang til løb forekommer med Fr ≈ 0,5. R. M. Alexander fandt ud af, at dyr af forskellig størrelse og masse, der bevæger sig med forskellige hastigheder, men med samme Froude-tal, konsekvent udviser ensartede gangarter. I denne undersøgelse blev det konstateret, at dyrene typisk skifter fra en skridtgang til en symmetrisk løbegang (f.eks. trav eller skridt) omkring et Froude-tal på 1,0. Der blev observeret en præference for asymmetriske gangarter (f.eks. galop, tværgående galop, drejende galop, bundet eller pronk) ved Froude-tal på mellem 2,0 og 3,0.